复合函数单调性课件

复合函数单调性复合函数单调性是数学中一个重要的概念，它描述了复合函数在不同区间上的单调性变化理解复合函数的单调性变化规律，可以帮助我们更好地分析函数性质，解决相关问题什么是复合函数函数的组合嵌套关系复合函数是指将两个或多个函数复合函数中，内层函数的输出值组合在一起形成的新函数，其中作为外层函数的输入值，形成嵌一个函数的输出作为另一个函数套关系的输入数学表达复合函数通常用符号∘表示，例如∘表示将函数的输出值作为函f gg数的输入值f复合函数的定义两个函数组成内层函数的输出作为

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22.外层函数的输入复合函数由两个函数组成，一个叫内层函数，另一个叫外层内层函数的输出值作为外层函函数数的输入值，得到复合函数的输出值函数组合表示方式

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44.复合函数可以看作是将两个函复合函数通常用符号∘或括“”数组合在一起，形成一个新的号表示，例如或fgx函数∘f gx复合函数的基本性质可导性单调性奇偶性复合函数由内层函数和外层函数组成如果复合函数的单调性取决于内层函数和外层函复合函数的奇偶性取决于内层函数和外层函内层函数在定义域内可导，外层函数在其定数的单调性如果内层函数和外层函数都单数的奇偶性如果内层函数和外层函数都是义域内可导，则复合函数在其定义域内也一调递增或都单调递减，则复合函数也单调递奇函数或都是偶函数，则复合函数为偶函数定可导增如果内层函数和外层函数单调性相反，如果内层函数和外层函数一奇一偶，则复则复合函数单调递减合函数为奇函数常见的复合函数形式一次函数复合一次函数三角函数复合三角函数指数函数复合指数函数对数函数复合对数函数例如，是将一例如，是将例如，是将指数函例如，是fx=2x+12fx=sincosx fx=23x fx=log2log3x次函数作为内层函数，余弦函数作为内层函数数作为内层函数，再将指数将对数函数作为内层2x+1cosx3x log3x再将一次函数作为外层函数，再将正弦函数作为外函数作为外层函数复合而成函数，再将对数函数x2sinx2x log2x复合而成层函数复合而成作为外层函数复合而成如何判断复合函数的单调性步骤一分析内层函数判断内层函数的单调性，即判断内层函数的导数符号步骤二分析外层函数判断外层函数的单调性，即判断外层函数的导数符号步骤三综合判断根据内层函数和外层函数的单调性，综合判断复合函数的单调性步骤一分析内层函数确定内层函数1首先，我们要确定复合函数中，哪个函数是内层函数一般来说，内层函数是出现在复合函数中的最里层函数，也就是先进行运算的函数分析内层函数单调性2接下来，我们要分析内层函数的单调性，判断它是单调递增还是单调递减可以使用导数法或其他方法进行判断这里可以借助函数图像进行直观的判断单调性符号3最后，我们要确定内层函数单调性对应的符号如果内层函数单调递增，符号为，如果内层函数单调递减，符号为“+”“−”内层函数单调递增定义图形特征实例当自变量增大时，函数值也随函数图像从左到右上升，呈上例如，，，y=x y=x^2x0之增大，称为单调递增函数升趋势都是单调递增函数内层函数单调递减复合函数单调性复合函数单调性当内层函数单调递减，外层函数单调递增时，复合函数单调递减当内层函数单调递减，外层函数单调递减时，复合函数单调递增例如，当内层函数为，外层函数为时，复合例如，当内层函数为，外层函数为时，复fx=-x gx=x^2fx=-x gx=-x^2函数为，复合函数单调递增合函数为，复合函数单调递减gfx=-x^2=x^2gfx=--x^2=-x^2步骤二分析外层函数确定外层函数1根据复合函数的表达式，找到外层函数判断单调性2根据外层函数的类型和定义域，判断其单调性注意符号3外层函数是单调递增或递减，直接影响复合函数的单调性外层函数单调递增单调递增复合函数单调性外层函数的定义域在内层函数的值域范围内，且外层函数在该值域当外层函数单调递增时，复合函数的单调性与内层函数的单调性相范围内单调递增同外层函数单调递减外层函数的影响递减趋势外层函数是复合函数的第二部分当外层函数单调递减时，它会反，它对内层函数的结果进行操作转内层函数的单调性复合函数的单调性如果内层函数单调递增，则复合函数单调递减；如果内层函数单调递减，则复合函数单调递增综合判断复合函数单调性确定内外函数单调性1分析函数的结构，找出内外函数判断内外函数的单调性2使用单调性判定方法，分别判断内外函数的单调性综合分析3根据内外函数单调性，综合判断复合函数的单调性综合分析内外函数的单调性，可以得到复合函数的单调性结论例如，当内层函数单调递增，外层函数单调递增时，复合函数也单调递增复合函数单调性的应用函数图像分析优化问题经济数学复合函数单调性可以帮助我们分析函数的图复合函数单调性可以用于求解最值问题，例复合函数单调性可以帮助我们分析经济学模像变化趋势如，在经济学中，我们可以利用复合函数单型中的变量关系，例如，我们可以利用复合调性来优化生产成本或利润函数单调性来分析价格变动对需求的影响求解最值问题确定目标函数1首先，确定需要求解最值的函数，即目标函数目标函数通常表示需要最大化或最小化的量确定自变量范围2确定目标函数自变量的取值范围，即函数定义域自变量范围可以是给定的区间或集合利用单调性求解3利用复合函数单调性，在自变量范围内寻找使目标函数取得最大值或最小值的点最值问题举例一求函数的最小值fx=x+1^2/x^2+1首先分析内层函数，它在定义域上单调递增gx=x+1外层函数在定义域上单调递增hx=x^2/x^2+1由于内外层函数都单调递增，因此复合函数也单调递增fx所以的最小值在定义域的左端点处取得fx的最小值为fx f-1=0最值问题举例二已知函数，求函数在区间上的最大值和最fx=x+1/x^2+1fx[0,2]小值首先，我们分析的单调性，当fx fx=-x^2+2x-1/x^2+1^20≤x≤时，，说明在上单调递减2fx≤0fx[0,2]所以，在处取得最大值，在处取得最小值fx x=0fx x=2最值问题举例三求函数在区间上的最大值和fx=x^2+2x+2/x+1[-2,1]最小值首先，我们需要找到函数的导数，然后求解导数等于的点，即0可能的极值点然后，我们需要比较函数在极值点、区间端点处的函数值，从而确定函数的最大值和最小值复合函数单调性证明定理一1若在上单调递增，在上单调递增，且的值域包含在的定义域内，则复合函数fx a,b gxc,d fx gx在上单调递增hx=gfx a,b定理二2若在上单调递减，在上单调递增，且的值域包含在的fx a,b gxc,d fxgx定义域内，则复合函数在上单调递减hx=gfx a,b定理三若在上单调递增，在上单调递减，且fx a,b gxc,d3的值域包含在的定义域内，则复合函数fxgxhx=gfx在上单调递减a,b定理一证明基本假设证明过程

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22.定理一假设内层函数在定义域取定义域内任意两点，x1,x2上单调递增，外层函数在内层且，根据内层函数的x1x2函数的值域上单调递增单调性，有fx1fx2结论图形解释

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44.根据外层函数的单调性，有定理一表明，两个单调递增函，即复合函数复合后仍保持单调递增，可gfx1gfx2数在定义域上单调递以用函数图像来直观理解gfx增定理二证明定理二证明若函数在区间上单调递增，函数在区间上设由于在上单调递增，所以fx[a,b]gx[c,d]a≤x1x2≤b,fx[a,b]fx1单调递减，且则复合函数在区间由于在上单调递减，所以fa=c,fb=d,y=gfx fx2gx[c,d]gfx1gfx2上单调递减因此，在上单调递减[a,b]y=gfx[a,b]定理三证明证明步骤证明步骤推理证明首先，假设复合函数单调递减证明过程需要利用复合函数的定义和单调递经过逻辑推理和数学推导，最终得出结论，y=fgx减的定义证明定理三的结论复合函数单调性的意义函数变化趋势函数性质应用领域理解函数的单调性可以帮助我们了解函数的复合函数的单调性是函数的重要性质之一，复合函数单调性在优化问题、经济学模型、变化趋势，从而更好地预测和分析函数的行它在函数图像分析、求解最值、函数证明等决策分析等领域都有着重要的应用价值为方面有着广泛的应用在优化中的应用寻找最优解设计算法

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22.复合函数的单调性可以帮助我通过分析复合函数的单调性，们确定函数的最值点，从而找我们可以设计更高效的优化算到问题的最优解法，例如梯度下降法预测优化方向

33.根据复合函数的单调性，我们可以预测优化方向，例如在某一区间内，函数值会随着自变量的增加而增加在函数图像分析中的应用函数图像的单调性分析函数图像的拐点分析通过复合函数的单调性，可以更复合函数的单调性分析可以帮助准确地判断函数图像在不同区间我们找到函数图像的拐点位置，的单调性变化，从而更好地理解进而分析函数图像的曲率变化情函数的性质况函数图像的极值分析函数图像的渐近线分析利用复合函数的单调性可以判断复合函数的单调性可以帮助我们函数图像的极值点，并根据单调分析函数图像在无穷远处或奇点性变化判断极值的类型的行为，从而判断函数图像是否存在渐近线在经济数学中的应用成本函数分析利润函数优化复合函数的单调性可以帮助分析通过复合函数的单调性，可以找企业的成本函数，例如，确定生到利润函数的最值点，从而确定产成本随产量变化的趋势最优的生产规模和销售策略需求函数预测投资收益分析利用复合函数的单调性分析需求复合函数的单调性可以应用于投函数，可以预测商品价格变化对资收益的分析，例如，确定投资需求量的影响回报率随时间变化的趋势在决策分析中的应用策略选择例如，投资决策、产品开发决策等，通过分析不同方案的单调性，可以帮助决策者选择最佳方案风险控制复合函数的单调性可以帮助决策者评估风险，并制定相应的风险控制策略优化问题例如，生产计划优化、库存管理优化等，通过分析目标函数的单调性，可以帮助决策者找到最优解总结与展望复合函数单调性理论在数学领域具有重要意义，为函数分析提供了有力工具未来研究方向包括拓展应用领域，例如机器学习和数据分析。