复合函数课件

复合函数及其性质复合函数是数学中一种重要的函数类型，它由多个函数组合而成简单来说，复合函数就是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数复合函数在数学建模和应用中有着广泛的应用复合函数的定义定义例子设函数的定义域分别为且⊆则例如是复合函数其中为内函数为外函数y=fu,u=gx Df,Dg,gDg Df,,y=sinx2,x2,sinu.称为复合函数其中为内函数为外函数y=fgx,gx,fu.复合函数的表示形式复合函数可以多种形式表示，例如•函数表达式直接用函数公式表示，例如fgx•函数图象通过函数图象来描述函数关系•函数表格使用表格的形式记录函数的对应关系复合函数的运算法则复合函数的定义1由两个或多个函数复合而成复合函数的表示形式2或∘fgx fgx复合函数的运算法则3先计算内层函数的值，再计算外层函数的值复合函数的导数公式4链式法则dfgx/dx=fgx*gx复合函数的运算法则是指求复合函数的值或导数的方法复合函数的运算遵循先内后外的顺序，即先计算内层函数的值，再将该值代入外层函数进行计算复合函数的导数公式则被称为链式法则，它将复合函数的导数与内层函数和外层函数的导数联系起来复合函数的导数公式公式描述y=fu,u=gx y=fu*gxy=fgx y=fgx*gx复合函数的导数公式是求复合函数导数的关键利用链式法则，将复合函数的导数分解成内外函数的导数相乘复合函数的微分运算求导法则1复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数链式法则2链式法则是一种求解复合函数导数的重要工具，它将复合函数的导数分解为多个函数的导数的乘积应用场景3复合函数的微分运算广泛应用于物理、化学、工程等领域，例如求解运动轨迹、速度、加速度等复合函数的性质可加性可乘性复合函数的性质是如果两个函复合函数的性质是如果两个函数都可加，那么它们的复合函数数都可乘，那么它们的复合函数也是可加的也是可乘的可逆性保号性复合函数的性质是如果两个函复合函数的性质是如果两个函数都可逆，那么它们的复合函数数都保号，那么它们的复合函数也是可逆的也是保号的复合函数的单调性单调递增若复合函数的导数大于零，则该函数在定义域内单调递增fgx单调递减若复合函数的导数小于零，则该函数在定义域内单调递减fgx单调性判断通过导数的符号变化来判断复合函数的单调性，正值对应递增，负值对应递减复合函数的极值定义求解步骤判定方法设函数fx在x=x0处取得极值，则fx0为•求导数fx若fx在x0处由正变负，则fx在x0处取得的极值，为的极值点极大值；若在处由负变正，则在fx x0fx fxx0fx•求导数fx的零点，即fx=0处取得极小值x0•判断零点是否为极值点复合函数的凹凸性二阶导数凹函数12复合函数的凹凸性取决于其二阶导数的符号当二阶导数小于零时，复合函数为凹函数，图形向下弯曲凸函数拐点34当二阶导数大于零时，复合函数为凸函数，图形向上弯曲当二阶导数等于零时，可能存在拐点，图形从凹到凸或从凸到凹复合函数的渐近线复合函数的渐近线是指当自变量趋于正负无穷大时，函数值趋于某个常数或无穷大的直线复合函数的渐近线可以分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线，它们分别反映了函数在自变量趋于正负无穷大、自变量趋于某个值和自变量趋于正负无穷大时的函数行为在分析复合函数的渐近线时，需要结合函数的定义域、函数的性质和极限的性质等方面进行综合考虑复合函数的定积分换元法将复合函数的积分变量替换为另一个变量，简化积分运算分部积分法将复合函数分解为两个函数的积，并利用分部积分公式计算积分几何意义复合函数的定积分代表了复合函数曲线与坐标轴之间围成的面积应用计算体积、面积、平均值、概率等问题复合函数的不定积分基本公式1利用复合函数的求导公式，可以得到复合函数的不定积分公式换元法2将复合函数的内层函数用新变量替换，转化为简单函数的积分分部积分法3对复合函数的内外层函数进行分别积分，简化积分运算复合函数的不定积分计算方法主要包括基本公式、换元法和分部积分法复合函数应用题一应用场景解题思路常见类型复合函数在实际问题中有着广泛的应用，例通过分析题目中的条件和要求，建立起复合求复合函数的定义域、值域•如物理学、化学、经济学、工程学等领域函数的数学模型，并利用复合函数的性质进求复合函数的导数、微分•行求解求复合函数的单调性、极值、凹凸性•求复合函数的渐近线、定积分、不定积•分复合函数应用题二函数图像交点曲线面积复合函数的应用之一是求解函数图像的交点，这需要利用复合函数复合函数还可以用来计算曲线所围成的面积，例如，求解复合函数的定义和性质来解方程与坐标轴围成的面积复合函数应用题三1122设，求的导数$fx=x^2+1$$gx=$y=\sin^2x$，求\sin x$$f\circ gx$3344求的导数求的导数$y=e^{\cos x}$$y=\ln\sin x$复合函数应用题四函数的复合求导与极值已知函数，求的表达式求的导数可以使用链式法则，得到fx=1/x+1ffx ffx ffx ffx=-1/x+2^2首先，将代入中，得到fx fxffx=1/fx+1令，解得因为在处不存在，所以ffx=0x=-2ffx x=-2然后，将的表达式代入，得到fxffx=1/1/x+1+1在处没有极值ffx x=-2化简得到ffx=x+1/x+2可以看出，在处有间断点，这与复合函数的性质有关ffx x=-2复合函数应用题五应用场景解题步骤复合函数在现实生活中有很多应首先要识别出题目中的复合函数用，例如计算利率、模拟物理模关系，然后利用复合函数的性质型等和公式进行求解常见类型练习题复合函数应用题主要包括求导、通过练习题来巩固对复合函数应求积分、求极限、求单调性、求用题的理解，并提高解题技巧极值等复合函数应用题六时间问题图像分析计算技巧复合函数应用题中，时间问题往往涉及多个利用图像分析可以帮助我们直观理解复合函应用题通常需要进行复杂的计算，掌握一些阶段，需要根据不同阶段的函数关系进行求数的性质，并得出关键信息计算技巧可以提高解题效率解复合函数应用题七应用题背景解题步骤复合函数在实际问题中有着广泛的应用例如，在物理学中，速度首先，要根据题意将问题转化为数学模型，建立复合函数表达式是位置的函数，而位置又是时间的函数，因此速度可以看成时间的然后，利用复合函数的性质和运算规律，求解问题复合函数解题技巧练习与总结要善于观察问题，找出变量之间的关系，并利用复合函数的性质简多做一些复合函数应用题，并对解题思路和技巧进行总结化计算复合函数应用题八湖边小屋风景田野风景画山顶夕阳风景一间位于湖边的小屋，风景秀丽，宁静祥和一幅美丽的田野风景画，描绘着绿色的田野站在山顶俯瞰夕阳西下，金色的光辉洒满大和蓝色的天空地复合函数应用题九应用场景解题步骤复合函数在实际应用中非常常见例如，解答复合函数应用题需要首先理解题意，在物理学中，速度是时间的函数，而位移并找到相关变量之间的关系然后将问题又是速度的函数，因此位移可以表示为时转化为数学模型，并利用复合函数的性质间的复合函数和公式进行求解复合函数应用题十

11.题目背景

22.函数模型这道应用题通常涉及实际生活题干中会给出相关信息，例如中的问题，例如，求某物体在，速度关于时间的函数关系，特定时间段内的位移或速度，或销售量关于价格的函数关系或求某商品在特定时间段内的通过分析这些信息，我们可销售量以构建出相应的复合函数模型

33.运用知识

44.解题步骤利用复合函数的性质、导数、首先，我们要认真阅读题目，积分等知识，我们可以求解题理解题意，并确定需要求解的目所提出的问题例如，利用问题其次，根据题干信息构导数求出速度的极值，或利用建复合函数模型最后，利用积分求出物体在特定时间段内相关知识求解问题的位移复合函数应用题综合应用题类型理解题意步骤解析灵活运用复合函数应用题涵盖多种类型仔细阅读题意，明确已知条件将问题分解为步骤，并利用复复合函数应用题需要灵活运用，例如速度、距离、体积等，和未知量，并将其转化为数学合函数的性质和公式逐一解决知识，结合实际情况，找到最需要根据题意构建复合函数模表达式佳解题方法型复合函数知识点总结定义运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数，其中一个函数的输复合函数的运算遵循一定的规则，例如，fgx表示先对x作用g出作为另一个函数的输入函数，再对gx作用f函数表示形式导数公式复合函数可以用符号∘或括号表示，例如或∘复合函数的导数可以用链式法则计算，即fgx fgx[fgx]=fgx*gx复合函数习题演练基础练习1基本定义、运算进阶练习2单调性、极值综合练习3函数性质、应用模拟试题4考点覆盖、难点突破习题演练是巩固知识、提升能力的重要环节通过针对性练习，逐步掌握复合函数的定义、性质和应用复合函数考点分析函数定义与性质函数图像复合函数定义、性质、运算性质、导复合函数图像的绘制、单调性、极值数公式、微分运算等、凹凸性、渐近线等微积分运算应用问题复合函数的定积分、不定积分、求导利用复合函数解决实际问题，如物理、求积分等、经济等领域的应用复合函数重点难点剖析复合函数的求导复合函数的单调性

11.

22.链式法则是求导的关键，需熟需要结合复合函数的导数判断练掌握求导步骤函数的增减性复合函数的极值复合函数的应用

33.

44.需利用导数判断函数的极值，复合函数在物理、经济等领域并注意复合函数的定义域有广泛的应用，需要理解其应用原理复合函数常见错误解析混淆定义域忽视复合过程复合函数定义域是内层函数值域复合函数求值要按顺序进行，先与外层函数定义域的交集，要注求内层函数值，再将结果代入外意判断并求解层函数错误使用导数公式复合函数的导数公式要正确应用，要注意链式法则的使用复合函数课堂练习基础练习1熟悉复合函数的基本概念和定义应用练习2将复合函数应用于实际问题，例如求导数、求极值等综合练习3综合运用复合函数的各种知识，解决较复杂的题目课堂练习旨在巩固学习成果，提高解题能力通过练习，学生可以更好地理解复合函数的概念和性质，并将其应用于实际问题复合函数课后作业基础练习1复习课本相关知识点，完成课本习题巩固练习2尝试解答课本习题中难度较高的题目，深入理解概念拓展练习3探索更具挑战性的题目，锻炼思维能力，拓展知识面。