2025版·《考点一遍过》高考理数考点02命题及其关系、充分条件与必要条件含答案

专题命题及其关系、充分条件与必要条件02与、考博晨女1理解命题的概念.2了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.知识整合._____________/

一、命题及其关系

1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.

2.四种命题及其关系1四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若可，贝1J F逆否命题若F,贝1J「p⑵四种命题间的关系互逆原命题逆命题若P，则若Q则〃q否命题逆否命题若则＜:若「则「互逆4p【解析】对于A选项，利用特称命题的否定是全称命题，且只需否定结论可得，命题“三毛6[0,1],使X；-1・.0”的否定应为心£1],都有12_]0，，,所以A错误；对于B选项，其逆命题为“若・5〉0,则向量与〃的夹角为锐角”，由〃•力0得a-bcos30,7T可得cos6»0,则£0,-,所以该命题错误，所以B错误;；L2jr IT7T，兀、对于C选项，A+B-=-A——B0,可得sinAsin——B=cosB,所以C错误.222U故选D.【名师点睛】本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积等知识，属于中档题.

3.【答案】C11【解析】由loga2log〃2，得^---------------------,log alog b22flog t209所以了或log〃log bQ或0log.alogb,2[log200---[06Zl即《或dbi或Qbal9[bl由222，得abl，故log.2^2是“2〉2〉2的必要不充分条件，故选C.【名师点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数、对数不等式的解法，是基础题.解答本题时，根据对数函数以及指数函数的性质求解力的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可.

4.【答案】B【解析】B选项，〃〉人+1是的充分不必要条件；A选项，ab-l是a〉b的必要不充分条件；C选项，ab是a〉的既不充分也不必要条件;D选项，2〉2〃是〃〉人的充要条件.故选B.【名师点睛】本题考查的知识点是充分不必要条件的定义，属于基础题.解答本题时，根据充分不必要条件的定义，逐一分析给定四个选项与人的关系，可得答案.

45.【答案】me于

2.【解析】由4g+3m2Vo得Xx—3m，又加0,所以mx3m,由,一3|1得一1VX—31,即2Vx

4.设A={x xm^x3m1,B=^x x2^x4},若可是F的充分不必耍条件，则A是8的真子集，0/n2所以、/,3m4~4~解得加£-,

2.【名师点睛】本题主要考查不等式的解法和复合命题的真假的判断，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.解答本题时，，先求出一和F,再列出不等式组，即得〃2的取值范围.专题冲关

1.【答案】A【解析】若无=1且y=i,则盯=1,显然成立.若，孙=1不一定推出x=l且y=Lx=1所以,是盯=1的充分不必要条件.[y=l根据原命题与其逆否命题真假相同可得“孙1»是“x w1或y1”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】本题考查原命题与逆否命题真假相同，充分不必要条件的概念，属于基础题.解答本题时,可以探索x=l且y=1是xy=1的什么条件，利用原命题与其逆否命题真假相同进行判断.

2.【答案】Dm+l2,解得《m-11[m2【解析】命题的逆命题为若1工2，则成立，即实数机的取值范围是[1,2],故选D.【名师点睛】本题主要考查四种命题的关系，结合逆命题的定义求出命题的逆命题是解决本题的关键.解答本题时，求出命题的逆命题，结合不等式的关系进行求解即可.

3.【答案】B【解析】求解对数不等式lgx+11可得0%+110,・,•一1V%V9,结合选项可得,使lgx+11成立的必要不充分条件是%-

1.故选B.

4.【答案】B【解析】逐一分析所给命题的真假对于A,命题“若盯=0,则％=0”的否命题是“若盯W0,则%0”,题中说法错误；对于B,命题“若％+y=0,则居y互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确；对于C,命题Tx GRx2-2x+20”的否定是“V%ERx2-2x+2F,题中说法错误；对于D,命题“若cos%f f=cosy,则％=y”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误.故选B.

5.【答案】B【解析】由线面垂直的判定定理得若4ua,baa,则不能推出由“人，”，根据线面垂直的性质定理，可得即“6是“人_1_”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6.【答案】C【解析】设4=Q+bi（Q/wR）,则Z2=〃—此则㈤=闫=所以原命题为真命题，故其.逆否命题为真命题.原命题的否命题为“若马/2不互为共辗复数，贝Z1|w|z2|,因为4=1+2和Z2=2+J5i不互为共甄复数，但㈤=3=3,所以否命题为假命题，故原命题的逆命题为假命题•故选C.

7.【答案】D【解析】:表示与方向相同的单位向量，因此六二g成立的充要条件是与〃同向即可，故选D.

8.【答案】B【解析】p:4x-mQ,即p:x一,4・/q:—x—20,「.

一、q:—x—2«0,即一14x W2,・「〃是F的一个必要不充分条件，，可得F=即F的范围比P的范围小，故,〉2,即771C（8,+OO）.故选B项.【名师点睛】本题考查逻辑联结词，必要不充分条件，属于简单题.解答本题时，根据P是的一个必要不充分条件，可得「P一夕，然后得到加的取值范围.

9.【答案】“若XW1且XW2,则W—3x+2wO”【解析】因为若原命题为“若〃，则4，那么它的逆否命题为“若F,则所以命题“若f—3x+2=0,则%=1或x=2”的逆否命题为“若xwl且xw2,则3工+20”.【名师点睛】本题考查了写出原命题的逆否命题，关键是要知道原命题与逆否命题的关系.解答本题时,根据若原命题为“若P,则4，那么它的逆否命题为“若F,则即可得解.

10.【答案】［0,1）【解析】命题p的逆命题若了〃，则x0,该命题是真命题，则

20.命题乡的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则a—2v—1,QVL故实数的取值范围是［0,1）.直通高考【解析】当0,人0时，〃而，则当时，有2而V〃+Z«4,解得加44,充分性成立；当〃=1,〃=4时，满足出44,但此时a+〃=54,必要性不成立，综上所述，“〃+ZW4”是“打4”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】易出现的错误一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

2.【答案】B【解析】由f—5工0可得0x5,由|x—1|1可得0x2,易知由0vx5推不出0x2,由0x2能推出0x5,故0%5是0x2的必要而不充分条件，即“V—5%0”是“|x—1|1的必要而不充分条件.故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到了的取值范围.

3.【答案B【解析】由面面平行的判定定理知内有两条相交直线都与夕平行是〃尸的充分条件；由面面平行的性质定理知，若a〃/，则】内任意一条直线都与夕平行，所以内有两条相交直线都与夕平行是〃，的必要条件.故a///3的充要条件是a内有两条相交直线与B平行.故选B.【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.

4.【答案】C【解析】・・・A、C三点不共线，「・1通+01|与心|=|4§+衣||北-丽I^\AB+AC\2\AC-AB\2^AB•衣0而与衣的夹角为锐角,故“血与女的夹角为锐角”是“I AB^AC\\BC『的充分必要条件.故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.

5.【答案】A【解析】因为m Can u〃几，所以根据线面平行的判定定理得m〃

0.由n〃a不能得出TH与a内任一直f线平行，所以血〃九是小〃a的充分不必要条件，故选A.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法直接判断喏p则q、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合，例如“pnq”为真,则p是q的充分条件.2等价法利用p=q与非qn非p,q3P与非p=非q,p=q与非qQ非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.3集合法若则/是8的充分条件或8是/的必要条件；若4=8,贝〜是8的充要条件.

6.【答案】A【解析】绝对值不等式,-1=0X1,由1=%

1.据此可知％.V是％31的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7.【答案】A【解析】若320,使m=An,则两向量也反向，夹角是180°，那么m-n=\m\|n|cos180°=-\m\|w|0；若那么两向量的夹角为90°,180°］,并不一定反向,即不一定存在负数4,使得机所以是充分而不必要条件，故选A.

8.卜答案】A【解析］1=片〉1,/或々V一1,所以是充分不必要条件，故选A.

399.【答案】.fx=—X—52答案不唯一33【解析】对于/©=—X——2,其图象的对称轴为x=—,则/x/-0对任意的工£0,2］都成立，但/x在［0,2］上不是单调函数.⑶常见的否定词语止面词语—是都是任意所有的任两个至多有1〃个至少有1个否定词不是不都是某个某两个至少有2〃+1个1个也没有

3.四种命题的真假关系1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动.

二、充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件的概念1若则p是q的充分条件，q是p的必要条件；2若p=q且q*p,则〃是乡的充分不必要条件；3若p*q且q♦p,则p是q的必要不充分条件；4若poq,则〃是q的充要条件；5若且q右p,则〃是q的既不充分也不必要条件.

2.必记结论1等价转化法判断充分条件、必要条件

①〃是q的充分不必要条件O r是的充分不必要条件；

②p是q的必要不充分条件O r是M的必要不充分条件；

③〃是q的充要条件O f是一的充要条件；@p是q的既不充分也不必要条件O F是力的既不充分也不必要条件.2集合判断法判断充分条件、必要条件若〃以集合A的形式出现，9以集合3的形式出现，即pA=[x\px},q8={x|式x},则

①若A口3,则〃是q的充分条件；

②若则〃是9的必要条件；

③若A*8,则〃是q的充分不必要条件；

④若则〃是q的必要不充分条件；

⑤若A=3,则p是q的充要条件;

⑥若且则〃是q的既不充分也不必要条件.点考向,考向一四种命题的关系及其真假的判断四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点（如函数、不等式、三角、向量、立体几何等）进行综合考查,常见的解法如下

1.判断四种命题间关系的方法

①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.

②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用.

2.命题真假的判断方法

①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可.

②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.典例引领S__________r典例1设、原命题“若则X Q2+/，，,则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A.逆命题与否命题均为真命题B.逆命题为假命题，否命题为真命题C.逆命题为假命题，逆否命题为真命题D.否命题为假命题，逆否命题为真命题【答案】A【解析•设〃、ZeR,原命题“若X，（Q+Z）2,则1十户’是假命题（取折可进行验证），・•・原命题的逆否命题是假命题；・・•原命题的逆命题“若XA4+bZ,则是真命题，2，原命题的否命题是真命题.故选A.【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.解答本题时，判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题.变式拓展

1.能说明“设a，b为实数，若/0,则直线方+b_1=0与圆/+/=1相切，，为假命题的一组b的值依次为.典例引领S_________r7T典例2命题“若a=—,则sina=1”的逆否命题是2兀71A.若w—,则sinew1B.若二=一,则sinowl22兀71C.若sinewl,则GW—D.若sine=1,则=一22【答案】C7T【解析】命题“若P，则的逆否命题是“若r,则一p，故命题“若=—,则sina=1”的逆否命题是7T若sinorwl,则aw—,故选C.2【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.变式拓展

2.下列说法正确的是A.命题咱使X；-LO的否定为,都有――L,0B.命题“若向量〃与力的夹角为锐角，则〃•方＞0”及它的逆命题均为真命题C.命题“在锐角VABC中，sin Avcos3”为真命题D.命题“若％2+入=0，则x=0或x=-l”的逆否命题为“若xwO且xw-l,则―+工工”考向二充分、必要条件的判断充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下:

1.命题判断法设“若p,则矿为原命题，那么1原命题为真，逆命题为假时，则〃是4的充分不必要条件；2原命题为假，逆命题为真时，则p是^的必要不充分条件；3当原命题与逆命题都为真时，则〃是q的充要条件；4当原命题与逆命题都为假时，则〃是夕的既不充分也不必要条件.

2.集合判断法同必记结论

3.等价转化法同必记结论典例引领S___________r典例3设a,b是两条不同的直线，a是平面，a9a,b u%则，〃力是，〃a成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】0%b ua,，当〃/时，一定有〃a,即充分性成立.反之，当时，a,可能平行，可能异面，即必要性不成立，故，〃仁是，〃a”成立的充分不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若pnq,则〃是q的充分条件，若qnp,则〃是4的必要条件，若p=q,则〃是q的充要条件；从集合的角度看，若AqB,则A是3的充分条件,若8=则A是3的必要条件，若A=3,则A是3的充要条件，若A是8的真子集，则A是B的充分而不必要条件，若8是A的真子集，则A是5的必要而不充分条件.变式拓展

3.设圆都是不等于1的正数,贝J“log〃2Vkg匕2”是“2“2b2”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件典例引领S___________r典例4若条件p:xVl,且「p是夕的充分不必要条件，则4可以是A.%1B.x〉0C.x2D.—1x0【答案】B【解析】若一/2是q的充分不必要条件，则区间l,+o是9的真子集，本题选B.【名师点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项;其次，利用以小推大的技巧，即可得结论.变式拓展

4.已知下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是A.ab-T B.ab+lC・同〉问D.2〉2考向三充分、必要条件的应用充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下

1.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式组求解.

2.求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.J------------------------典例引领S r尤3—4Y典例5设p:-------------0,q:x2-2m+lx+m2+m0,若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值2x范围为A.[-2,1]B.[-3,1]C.[-2,0U0,1]D.[-2,-1U0,1]【答案】D【解析】p对应的集合为{x|-2W xV0或0V%W2},q对应的集合为{x|zn%m+l},•・・p是q的必要不充分条件，*纥或f解得一2工血〈一1或0〈m41,故选D.lm+l0lm+l2变式拓展

5.设命题〃:实数次满足d—4初％+3m2Vo；命题9实数x满足

1.若加0,且一P是F的充分不必要条件，求实数小的取值范围.关汉百点冲

1.“孙W1”是XW1或ywl”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知命题“若根—Ivxvm+1,则lx2”的逆命题是真命题，则根的取值范围是A.1,2B.[1,2C.1,2D.[1,2]

3.设汽e R,则使lg%+11成立的必要不充分条件是A.-1%9B.x—1C.%1D.1%

94.下列关于命题的说法正确的是A.命题“若%y=0,则％=0”的否命题是“若%y=0,则％W OB.命题“若％+y=0,则％y互为相反数”的逆命题是真命题C.命题Fx e Rx2-2x+20”的否定.是“V%eRx2-2x+20”f fD.命题“若cos%=cosy,则％=y”的逆否命题是真命题

5.已知直线/和平面若au，bya,则“是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.若原命题为“若Z|『2为共轨复数，则Z1=Z2，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为A真真真B.真真假c.假假真D.假假假

7.设〃力都是非零向量,下列四个条件,成立的充要条件是A.a=b B.a=2bC.a//b豆a=b D.a〃〃且方向相同

8.已知4x—机0,q2--20,若〃是「9的一个必要不充分条件，则〃2的取值范围为x xA.[8,+00）B.（8,+co）（））C.-4,+oc D.[-4,+oo

9.命题“若X2—3x+2=0，则x=l或x=2”的逆否命题为.

10.命题p若x0,则x〃；命题g若ma-2,则mvsinxfxwR）恒成立,若p的逆命题、g的逆否命题都是真命题，则实数〃的取值范围是.%通高考甚S___________r

1.（2019年高考浙江）若公0,b0,则563是〜活W4”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2019年高考天津理数）设x$R,则“f—5工0”是“|x—1|1的B.必要而不充分条件A.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件C.充要条件夕为两个平面，则〃夕的充要条件是

3.（2019年高考全国H卷理数）设a,B.内有两条相交直线与夕平行A.a内有无数条直线与夕平行D.a,4垂直于同一^面C.a,£平行于同一条直线C不共线，则“而与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC\\BC\

4.（2019年高考北京理数）设点A,8,的B.必要而不充分条件A.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件C.充分必要条件〃满足机2a,nua,则是冽〃a”的

5.（2018浙江）已知平面a,直线形,B.必要不充分条件A.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2018天津理科）设工£区，则-是d1”的22A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2017北京理科）设孙〃为非零向量，则“存在负数使得加=力1”是“机・〃0”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2016上海理科）设则“〃1”是“片1，，的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.（2018北京理科）能说明“若/（%）

（0）对任意的xR（0,2］都成立，则/（x）在［0,2］上是增函数”为假命题的一个函数是___________________.1初考答案,变式拓展

1.【答案】1,1（答案不唯一）10+0-11可得I--------------==即为〃2+从=1，若为真命题,【解析】设〃，〃为实数，若/+/W0,则直线以+勿一1=0与圆f+y2=i相切,若为假命题，只要要说明“设，为实数，若4+〃0,则直线火+力_1=0与圆/+9=］相切,，为假命题的一组〃，的值依次可为1,1（答案不唯一）.故答案为1,1（答案不唯一）.【名师点睛】本题考查命题真假的判定条件，解题的关键是先求出命题为真命题时等价的条件，属于基础题.解答本题时，根据条件求出命题为真命题时等价的〃，〃的关系式，由关系式可得到命题为假命题时Z的一组取值.

2.【答案】D。