《实数及其运算》课件

实数及其运算本课件将带您探索实数的世界，了解其性质及其运算规则，为后续数学学习奠定基础实数的概念定义表示方法实数是包含所有有理数和无理数的集合它们可以表示为数轴上实数可以使用各种符号来表示，例如十进制数、分数、根号和科的点，并涵盖所有可能的数字，包括正数、负数和零学计数法它们可以是有限的、无限的、循环的或非循环的正数、负数和零正数负数大于零的数称为正数，用“+”号表小于零的数称为负数，用“−”号表示示零零既不是正数，也不是负数实数的性质加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律对于任意两个实数a和b，有a对于任意三个实数a、b和c，对于任意两个实数a和b，有a对于任意三个实数a、b和c，+b=b+a有a+b+c=a+b+c×b=b×a有a×b×c=a×b×c绝对值的定义任何实数到原点的距离称为该实数的用符号||表示，例如|a|表示实数a的绝绝对值对值|a|=a，当a≥0时；|a|=-a，当a0时绝对值的性质非负性对称性12任何实数的绝对值都是非负数任何实数的绝对值与其相反数，即大于或等于零的绝对值相等三角不等式3两个实数的绝对值之和大于或等于这两个数之差的绝对值实数的大小比较数轴1在数轴上，右边的数总是大于左边的数比较大小2可以使用数轴上的位置来比较两个实数的大小符号3大于号，小于号和等于号=用于表示实数的大小关系数轴上的实数数轴是一条直线，以原点为中心，向左右无限延伸，上面标有刻度，每个点代表一个实数数轴的刻度可以是整数、分数或小数，每个点都可以表示一个实数数轴上的点与实数之间存在一一对应关系，即每个实数都对应着数轴上的一个点，反之亦然有理数与无理数有理数无理数可以表示成两个整数的比值，包不能表示成两个整数的比值，例括整数、有限小数和无限循环小如圆周率π和根号2数整数、分数与小数整数分数整数是自然数、零和负整数的统分数表示一个整体的一部分，由称，例如-

3、

0、5分子和分母组成，例如1/

2、3/4小数小数可以用十进制表示，分为有限小数和无限小数，例如

0.

5、

1.2345实数的加法运算定义实数的加法运算指的是将两个实数相加，得到一个新的实数加法运算满足交换律和结合律运算规则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值示例例如，2+3=5，-2+-3=-5，2+-3=-1实数的减法运算减法定义1a-b=a+-b减法性质2a-b=-b-a运算规律3a-b+c=a-b-c实数的乘法运算交换律1两个实数相乘，交换因数的位置，积不变结合律2三个或三个以上的实数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数分配律3两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加实数的除法运算除数不为零1任何实数除以零都是没有意义的同号相除得正2两个同号的实数相除，结果为正数异号相除得负3两个异号的实数相除，结果为负数除法与乘法的互逆4除法是乘法的逆运算运算律与性质交换律结合律分配律加法交换律a+b=b+a加法结合律a+b+c=a+b+c a×b+c=a×b+a×c乘法交换律a×b=b×a乘法结合律a×b×c=a×b×c乘方与根号乘方根号乘方是将一个数（底数）自身连乘若干次（指数）的运算根号是乘方的逆运算，用来表示求一个数的根乘方与根号的运算乘方运算1同底数幂的乘法am·an=am+n除法运算2同底数幂的除法am/an=am-n a≠0,m≥n根式运算3同次根式的乘法√a·√b=√ab根式运算4同次根式的除法√a/√b=√a/b b≠0指数的定义与性质底数指数性质表示重复乘法的基数，可以是任何非零实数表示底数重复乘的次数，可以是任何实数包括底数相同时的指数运算规则，例如am*an=am+n指数的运算同底数幂的乘法am*an=am+n同底数幂的除法am/an=am-n a≠0,m≥n幂的乘方amn=am*n积的乘方a*bn=an*bn商的乘方a/bn=an/bn b≠0对数的概念与性质对数定义对数性质对数是指数运算的逆运算如果ab=N（a0且a≠1，N0）•loga1=0，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b•logaa=1•logaM·N=logaM+logaN•logaM/N=logaM-logaN•logaMn=n·logaM对数的运算加法1logaM+logaN=logaMN减法2logaM-logaN=logaM/N乘法3logaMn=n logaM科学计数法表达极大或极小数格式用科学计数法表示极大或极小的N×10m，其中1≤|N|＜10，m为数，可以简化数字的书写和运算整数应用场景例如，光速约为3×108米/秒，而一个原子的半径约为10-10米科学计数法的运算加减法将系数相加减，指数不变乘除法系数相乘除，指数相加减乘方系数乘方，指数相乘开方系数开方，指数除以根指数实数的近似表示有限小数无限循环小数近似值小数部分位数有限的数，例如

3.14，

0.5小数部分无限循环的数，例如1/3=

0.

333...用有限位数的小数来表示无限小数或无法用，1/7=

0.

142857142857...分数表示的无理数实数的四舍五入规则保留位数如果小数点后第一位数字大于或四舍五入可以保留到指定的位数等于5，则将前一位数字加1，并，例如保留到小数点后两位将小数点后所有数字舍去应用四舍五入广泛应用于科学计算、工程设计和日常生活中，用于简化数值表示和提高计算效率误差的概念与性质误差是指测量值与真实值之间的差异绝对误差是指误差的绝对值，表示误，表示测量结果的准确程度差的大小相对误差是指绝对误差与真实值的比值，表示误差相对于真实值的比例相对误差与绝对误差相对误差绝对误差相对误差是近似值与真值的差与真值的比值绝对误差是近似值与真值的差的绝对值实数的应用举例现实生活中，许多问题都可以用实数来描述，例如测量长度、面积、体积等实数在科学研究、工程技术、金融经济等领域都有着广泛的应用例如，物理学中，速度、加速度、时间等都是实数，并用于描述物体的运动规律；工程技术中，测量数据、设计参数、计算结果等都需要用到实数实数运算的综合应用工程领域1计算结构强度、桥梁承载力、电路设计金融领域2利率计算、投资收益率分析、风险评估科学研究3物理公式、化学反应、数据分析实数运算在各个领域都有着广泛的应用，它为解决各种实际问题提供了强大的工具总结与思考本节课我们学习了实数及其运算，并掌握了一些实数的性质和运算规律在今后的学习中，我们要继续深入理解实数的本质，并熟练运用实数的运算规则，解决各种实际问题。