《实数总复习》课件

实数总复习实数的概念和性质实数轴实数集合实数运算数轴上的点与实数一一对应，可以直观地表实数集合包括有理数和无理数，它是一个无实数可以进行加、减、乘、除、乘方、开方示实数的大小关系限且连续的集合等运算实数的表示实数可以用多种方式表示，包括十进制表示例如，•

3.

1415926...分数表示例如，•1/2•科学计数法例如，

3.1415926×10^0图形表示例如，数轴上的点•实数的大小比较数轴比较1在数轴上，右边的数比左边的数大大小关系比较2根据实数的定义，可以比较两个实数的大小关系比较方法3可以使用比较大小的方法，例如比较两个数的绝对值大小绝对值的定义和性质定义性质公式123一个数的绝对值是指该数到原点的距任何一个实数的绝对值都是非负数，当时，当|x|=x x≥0|x|=-x离，用符号表示即，且只有当时，时“||”|x|≥0x=0x0|x|=0绝对值的应用距离计算不等式求解绝对值可以用来计算两个数之间的距离例如，数轴上点和绝对值不等式可以用来描述范围内的数例如，不等式-3|x-2|点之间的距离为表示距离的距离小于的所有数5|-3-5|=8323有理数的概念和性质定义有理数包括整数、分数和小数有理数的性质包括加减乘除运有理数可以在数轴上表示算封闭性任何可以写成两个整数的比值的数称为有理数有理数的表示有理数可以用分数形式表示，即可以表示成两个整数的比值，如1/2,3/4,-等5/6有理数也可以用小数形式表示，分为有限小数和无限循环小数，如

0.5,

1.25,，等

0.

333...

2.

1212...有理数的运算加减法同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数加零等于这个数；零减去一个数等于这个数的相反数乘除法两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与零相乘都得零；除以一个数等于乘以这个数的倒数；零不能做除数乘方任何数的零次方等于（的零次方没有意义）；任何数的101次方等于它本身；一个数的次方等于这个数连乘次n n无理数的概念和性质定义性质无理数是指不能表示为两个整数无理数是无限不循环小数，它们之比的数，即无法写成的形在数轴上是稠密的，这意味着在p/q式，其中和是整数，且任意两个无理数之间，总存在另p qq不等于一个无理数0例子常见的无理数包括圆周率，自然对数的底数，以及所有开方后的非完πe全平方数无理数的表示根式表示符号表示无限不循环小数可以用根号表示，例如，等可以用专门的符号表示，例如，等可以用无限不循环小数表示，例如√2√3πeπ=

3.1415926…无理数的运算加减法1合并同类项，化简结果乘除法2利用乘法分配律或除法运算的性质进行化简开方运算3根据开方运算的性质进行计算乘幂运算4利用乘幂运算的性质进行计算实数的运算加法减法12两个实数的加法遵循交换律和结合律，结果仍为实数减法是加法的逆运算，结果仍为实数乘法除法34两个实数的乘法遵循交换律、结合律和分配律，结果仍为实除法是乘法的逆运算，除数不能为零，结果仍为实数数实数的性质封闭性交换律实数的加法、减法、乘法和除法实数的加法和乘法运算满足交换（除数不为零）运算结果仍然是律，即和a+b=b+a a*b实数=b*a结合律分配律实数的加法和乘法运算满足结合实数的乘法对加法满足分配律，律，即即a+b+c=a+b+a*b+c=a*b+a*c和c a*b*c=a*b*c实数的大小比较数轴1将实数对应到数轴上的点，根据点的左右位置比较大小大小关系2在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数特殊情况3两个数相等时，它们在数轴上对应同一个点实数的四则运算加法两个实数相加，结果仍为实数减法两个实数相减，结果仍为实数乘法两个实数相乘，结果仍为实数除法两个实数相除，结果仍为实数，但除数不能为零实数的乘幂运算定义1表示个相乘，即an na a^n=a*a*...*a性质2a^m*a^n=a^m+n,a^m^n=a^m*n运算3乘幂运算遵循结合律、分配律，但不遵循交换律实数的平方根运算概念1对于一个非负数，它的平方根是指一个数，满足a xx²=a性质2一个非负数有两个平方根，一个是正数，一个是负数我们用表示的正平方根，用表示的负平方根√a a-√a a计算3可以使用计算器或查阅平方根表计算平方根应用4平方根在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用实数的开方运算定义1求一个数的次方根的过程称为开方运算n性质2平方根有正负两个值，立方根只有一个值运算3可以使用开方公式或计算器进行计算实数的三角函数定义类型三角函数是将角度与直角三角形边的比率联系起来的函数，它们常见的三角函数包括正弦、余弦、正切、余切sin costan是数学中重要的工具，在解决各种几何和物理问题中发挥着关键、正割和余割cot seccsc作用实数的指数函数指数函数是将实数作为自变量，以常指数函数常用于描述增长或衰减现象数为底数，幂为自变量的函数，例如人口增长、物价上涨等指数函数的公式为，其中y=a^x a为底数，为自变量，为因变量x y实数的对数函数定义性质应用对数函数是指数函数的反函数对于给定的定义域为对数函数在许多科学领域，如物理学、化学•0,+∞底数且，如果和生物学中都有应用，例如测量声音的强度a a0a≠1ax=N值域为•-∞,+∞，则，其中、地震的烈度以及化学反应的速度等x=logaN N0单调性当时，函数单调递增；•a1当时，函数单调递减0a1实数的幂函数定义性质幂函数是指形如幂函数的性质包括定义域、值域y=x^n∈的函数，其中是自变、单调性、奇偶性、周期性等，n Rx量，是常数当为正整数具体取决于幂指数的取值n nn时，它表示的次方x n应用幂函数广泛应用于科学、工程、经济等领域，例如描述物体运动、计算能量、分析市场趋势等实数的复合函数定义性质应用设函数和，若的值域是复合函数的性质取决于内外函数的性质，复合函数广泛应用于数学、物理、工程等fx gxgx的定义域，则称函数为例如单调性、奇偶性等复合函数的求导领域，例如描述物理量之间的关系，解决fx y=fgx和的复合函数，其中称为可以使用链式法则实际问题fx gxgx内函数，称为外函数fx实数的极限运算定义与概念应用极限是描述函数或数列在自变量趋近于某个值或无穷大时，函数值或数列的趋近行为极限的概念广泛应用于微积分、级数、连续性、导数等领域123求极限方法包括直接代入法、极限的四则运算、夹逼定理、洛必达法则等方法实数的导数运算导数定义导数是函数在某一点的变化率描述了函数在该点处的斜率,导数计算运用求导法则例如求导公式和链式法则可以计算出函数的导数,,导数应用导数在物理、经济、工程等领域有着广泛应用用于解决优化、运动、变化等问题,实数的积分运算积分定义1求导数的反运算积分应用2求面积、体积等积分类型3定积分、不定积分实数的微分方程用一个或多个变量及其导数建立的方程描述变量随时间或其他独立变量的变化关系求解微分方程，得到变量的解析解或数值解实数的应用案例实数在日常生活和科学研究中有着广泛的应用例如，在物理学中，我们使用实数来描述时间、速度、距离等物理量在经济学中，我们使用实数来描述价格、利润、成本等经济指标在计算机科学中，我们使用实数来表示数字、图像、声音等数据除此之外，实数在数学、统计学、工程学等领域也有着重要的应用总结与思考回顾知识点思考问题复习实数的概念、性质、表示、尝试解决一些实数的应用问题，运算、应用等内容，掌握实数的并思考实数在数学和生活中的重基本知识和技能要性拓展学习进一步探索实数的深层理论和应用，例如微积分、线性代数、概率论等复习练习本课件旨在帮助学生全面复习实数的相关知识，包括实数的概念、性质、运算等为了巩固学习成果，课件最后提供了一些练习题，供学生进行自测和复习。