根的判别式、韦达定理

第三讲『元二次方的应用及根的判别.I式、韦达定理已»WE一中考要求内容基本要求略高要求较高要求一元二次了解一兀一次方程的概能由一元一次方程的概念确定一次项系数中所方程念，会将一元二次方程化含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待为一般形式，并指出各项定系数的值系数；了解一元二次方程的根的意义一元二次理解配方法，会用直接开能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程能利用根的判别式说明含有字母系方程的解平方法、配方法、公式法、的根的判别式判别方程根的情况数的一元二次方程根的情况及由方法因式分解法解简单的数字程根的情况确定方程中待定系数的系数的一元二次方程，理取值范围；会用配方法对代数式做解各种解法的依据简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题知识点睛

一、根的判别式一元二次方程根的判别式的定义L/b、2h2-4ac显然只有当一改工时，才能直接开运用配方法解一元二次方程过程中得到/240（X十一）=----A—2a4/b,b2-4ac x+-=±J平方得:---------------------o-2a\4/也就是说，一元二次方程依2+云+=0

（0）只有当系数〃、b、c满足条件△=/—4这20时才有实数根.这里人碇叫做一元二次方程根的判别式.2—

4.判别式与根的关系2在实数范围内，一元二次方程办2+云+=（）（〃0）的根由其系数、匕、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由A=）2—4〃C确定.判别式设一元二次方程为办2+区+=（）

（0）,其根的判别式为A=^—4〃c则

①AAOO方程以2+法+=0（a0）有两个不相等的实数根A；-b±\/b2-4ac2a

②八=0方程以2++C=OQWO有两个相等的实数根玉=々=2a

③AvOo方程办2+版+=0〃0没有实数根.若，为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；b,若为完全平方式，同时—正一是的整数倍,则方程的根为整数根.A b±4ac2a说明用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有1两个不相等的实数根时，△;有两个相等的实数根时，△=;没有实数根时，AvO.2在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式△=/-4〃c判定方程的根的情况有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根.当△=/-时，方程有两个4ac=0相等的实数根二重根，不能说方程只有一个根.1当Q0时o抛物线开口向上o顶点为其最低点；2当QVO时o抛物线开口向下o顶点为其最高点..一元二次方程的根的判别式的应用3一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用运用判别式，判定方程实数根的个数；1利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；2通过判别式，证明与方程相关的代数问题；3借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.4

①，a

①式与

②式也可以运用求根公式得到.人们把公式

①与

②称之为韦达定理，即根与系数的关系.因此，给定一元二次方程依就一定有

①与

②式成立.反过来，如果有两数玉，满足

①与

②，2+bx+C=042那么这两数玉，々必是一个一元二次方程加+区+的根.利用这一基本知识常可以简捷地处理问题.c=0利用根与系数的关系，我们可以不求方程依区+=的根，而知其根的正、负性.2+0在A=Z2—4〃c》0的条件下，我们有如下结论当时，方程的两根必一正一负.若-，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若-£0222o,a a a则此方程的正根小于负根的绝对值.当时，方程的两根同正或同负.若-，则此方程的两根均为正根；若—则此方程的£o22o,a aa两根均为负根.⑴韦达定理b°如果依+法+=的两根是玉，,则玉+尤=一.隐含的条件20wO x2=——,X]%2A0aa2若玉，%是以的两根其中七之/，且加为实数，当时，一般地:22+/zr+c=0aw0A20

①%-mx-m0=%m,xm22

②玉-且为一m%-m0ni+x-m0m,xm222一根且％—根,3X]-mx0m+x-ni0=%x m222特殊地当〃2=0时，上述就转化为ov2+/zx+c=Oa wO有两异根、两正根、两负根的条件.⑶以两个数百,尤为根的一元二次方程二次项系数为是Y一％=.21+%1+%%2其他4

①若有理系数一元二次方程有一根〃+北，则必有一根〃-孤〃，〃为有理数.

②若成则方程改灰+=必有实数根.0,2+040

③若方程以不一定有实数根.QC0,2+ZX+C=OQ wO4若a+b+c=O,则cue2+bx+c=0〃w0必有一才艮x=l.5若a—Z+c=O,则ax2+bx+c=Oa0必有一才艮x=—l.⑸韦达定理主要应用于以下几个方面

①已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；

②已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；

③已知方程的两根，求作方程；4结合根的判别式，讨论根的符号特征；5逆用构造一元二次方程辅助解题当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；

⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的△.一些考试中，往往利用这一点设置陷阱.重、难点转化思想的渗透

1.对根的判别式的理解

2.*例题精讲

一、判断方程根的情况【例】不解方程，判别下列方程的根的情况112Y+3x—4=0；216y2+9=24〉；35X2+1-7X=0O【例】不解方程，判别方程父=的根的情况2W+20+【例】解关于的方程加一=3x1/+2g+m+3【例】已知关于的方程如=

①有两个相等的实数根.4x+1求证关于y的一元二次方程m2y2-4my-m2+4〃=0

②必有两个相等的实数根.【巩固】已知判断关于的方程的根的情况，并给出必要的说明.0,ba+c,x a+bx+c=0【巩固】年山东省竞赛设、、为互不相等的非零实数，求证三个方程1998b cax+2bx+c=0,bx2+2cx+=0,ex2+lax+/=0,Q不可能都有个相等的实数根.2

二、应用题【例5】（2006•湛江市）近年来，我市开展以“四通五改六进村”为载体，以生态文明为主要特色的新农村建设活动取得了明显成效.下面是市委领导和市民的一段对话，请你根据对话内容，替市领导回答市民提出的问题（结果精确到）

0.1%.全市一共有个自然村，年已建成生态文明村个，计划到13233200523152007年全市生态文明村数要达到自然村总数的

24.4%领导，按这个计划，从年到年,平均每年生20052007态文明村增长率约是多少？【巩固】（2006•新疆）2004年，自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市开办区内初中班，重点招收农牧民子女及其他家庭贫困的学生.某市年月招收区内初中班学生名，并2004950计划在年月招生结束后，使区内初中班三年招生总人数达到名.若该市区内初中班招20069450生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率.【例6】（

2006.重庆市）机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油千克，用油的重复利用率为按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克.为9060%,36了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.

（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？60%

（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少千克，用油量的重复利用率将增加这样乙车间

11.6%.加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到千克.问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设12备润滑用油量是多少千克用油的重复利用率是多少？【例7】（2006•南安）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件,后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件.110（）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？1（）设后来该商品每件降价元，，商场一天可获利润元.2x y

①若商场经营该商品一天要获利润元，则每件商品应降价多少元？2160

②求出与之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结y x合题意写出当取何值时，商场获利润不少于元？x2160【例8】（2006•诸暨市）有一根竹竿，不知道它有多长.把竹竿横放在一扇门前，竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前，竹竿长比门的高度多尺；把竹竿斜放，竹竿长正好和门的对角线等长.2问竹竿长几尺？【例9】（2006•广东省）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（）要使这两个正方形的面积之和等于那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多117cm2,/9（）两个正方形的面积之和可能等于吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理212cm2由.

三、韦达定理【例10]（2006・广安市）已知AABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程3）X+朽+34+2%2-（24+的两个实数根，第三边的长为.试问:左取何值时,是以为斜边的直角三角形？=0BC5AABC【例】已知关于的一元二次方程（加一卜+11x f_1m+2=

0.（）若方程有两个相等的实数根，求的值；1m（）若方程的两实数根之积等于加+求而^的值.24-92,【巩固】已知关于的方程/—（相+）祖X2l x+—3=02

（1）当加取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设石、工是方程的两根，且（X（X12=0，求加的值2+%2）2-+%2）-【例12】（2006•济南市）已知关于工的方程2+2x7=有两个不相等的实数根4々，且满足（X]+/）2=1，求的值.2【例】已知%、%是关于％的一元二次方程（）的两个非零实数根，问%与马能否同号？134/+46-l x+/=0若能同号请求出相应的机的取值范围；若不能同号，请说明理由【巩固】证明方程无整数根1997X+1997=0【例］已知%、%是一元二次方程履日+攵+的两个实数根1442-41=0

（1）是否存在实数3使（2%-%）（%-2々）=-三成立？若存在，求出攵的值；若不存在，请说明理由

（2）求使工+卫-2的值为整数的实数攵的整数值【巩固】已知关于的方程的两个实数根的倒数和等于关于的方程x d+3X+Q=03,x（）=有实根，且左为正整数，求代数式上］的值Z-l d+3x-20家庭作业k-

21.已知关于X的方程区2+（2%一1）尤+左一1=只有整数根,且关于的一元二次方程y（左-）的两个实数根为月、为1V_3y+42=0

（1）当攵为整数时，确定攵的值

（2）在

（1）的条件下，若加=2,求始+必？的值已知王、々是关于的一元二次方程（）疗的两个非零实根，问、工能

2.X4/+4m-11+=0X2否同号？若能同号，请求出相应加的取值范围；若不能同号，请说明理由

3.设玉、工2是方程f—4x+2=0的两根，则

①___________________；

②卜—％=_______X|x2

③X]+1%2+1=o以方程的两根的倒数为根的一元二次方程是

4.2d—%—4=0已知方程的两实根差的平方为则

5.M-g+45=0144,m=已知方程/一工+根的一个根是则它的另一个根是的值是

6.3=01,反比例函数的图象经过点其中〃、是一元二次方程日+的

7.y=Pab,b M+4=0x两根，那么点的坐标是O

8.已知再、々是方程/一3x+l=0的两根，贝1」4%；+12々+11的值为o不解方程，判别下列方程的情况

9.13d+4x-2=0；22y+5=6y；34pp-l-3=0；4x-2『+2x-2-8=；5瓜2_缶+2=0；63产—2屈+2=0练习不解方程，判别下列方程的根的情况

10.1a2x2-czx-l=0a00；2f—2岳+2公=o；32M+1£_2mx+1=0南通市据年月日《南通日报》报道今年“五一”黄金周期间，我市实现旅游收入再

11.200558创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占的比例如图所示，其中住宿消费为万元

3438.24求我市今年“五一”黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万1元？对于“五一”黄金周期间的旅游消费，如果我市年要达到亿元的目标，那么年

220073.422005到年的平均增长率是多少？2007年南通市“五一”黄金周旅游各项消费分布统计图:2005团餐饮费由住宿费皿购物费山交通费园娱乐消费函耳它消费

22.76%

12.2006・永州市李大伯承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质油桃，今年已进入第三年收获期.今年收获油桃千克，已知李大伯第一年收获的油桃重量为千克.试求去年和今69124800年两年油桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年油桃的产量为多少千克？

13.已知关于x的方程V—（1—2a）x+/—3=0……

①有两个不相等的实数根，且关于x的方程

②没有实数根，问取什么整数时，方程

①有整数解？-2x+2a-1=0……。