经济计量模型的合理性问题

Kx=g（）

2.1式中为空间,为线性或非线性算子（）式所表示的关系可提出两方面的问题,一Hilbert K

2.1是将作为自变量，来求得的值，这可称为一般经济模型的正问题；另外是已得的值来推导应满足的关系，我们所要讨论的计量经济模型就是这种形式，这称反演方程从数学的角度看，正问题有解并非必导致反演问题有解，反演方程的解并不是无条件能得到的，相反，反演问题在许多情况下从数学上看是不适定的（一个数学方程称为适定的是指满射、双射且连续，否K则问题不适定），即它的解不一定存在，即使解存在也不唯一，或在解存在唯一的条件下也不稳定（即解不连续依赖于初始资料，不连续）为分析更有针对性，我们不去讨论解的存在唯一性问题（可以认为计量经济预测模型存在唯一解）,而是依计量经济模型的特点去讨论解的稳定性问题（）关于计量经济预测模型Lucas1976批判讨论的不适定问题来自模型假设方面，即理论偏差（我们认可的结论，不再做进一Lucas步分析）我们这里从数据误差上入手，考察是否存在一稳定的理论近似解来逼近真解要使（）的反演方程成立，由于是统计得到的，故有误差，记为的近似，实际上我们要讨

2.1g g论的方程为，由于不连续，所以不能用来作为近似解，因为当时不能保证这就需要设法构o造一近似解，使当时，o自然我们要提的核心问题是，为什么计量经济模型的解一般是不稳定的为回答这个问题,我们对方程存在唯一解的情况进行讨论设为紧线性算子（即为线性算子且将中有界集映成中相对紧集），为的共粗算子，，由数学理论（泛函分析）知，是中非负的紧的自共甄算子，其特征值可记为，对应的特征向量记为设，同时记的算术平方根，可以得到我们令代入上式得回〃=\un

2.2分别为、中的标准正交系我们又记，称为的0空间，故对有1oo心=工儿人x，G%（）i

2.3（（）中的符号表示两变量的内积）在为紧算子时，对反演问题有以下的定理:

2.3定理方程（）可解的充要条件是Picard

2.

1、g《N（K*）aoo[2司依,〃）|+°°♦、b14此时得到的解为8]%二〃〃〉乙27314〃（

2.4）从（）式看到，反演问题不适定是由引起的理由是，设为的近似值，即，其中

2.4是一充分小的量，则有将相对应的解记为，则从（）式知，故得估计式所以，在

2.4时，因为，引起，即不适定问题就出现了计量经济预测模型之所以会出现不适定问题，是因为经济统计数据作为经济系统的输出受到了各种各样的干扰，从而产生了误差（异方差性和自相关），用这些数据作为初值来确定经济模型，就会出现问题的不适定，所以试图用传统计量方法（如最小二乘法）来直接构造经济模型及至预测经济变动，一般是不可行的因为计量预测模型对初值（统计数据）的过度敏感，使模型预测能力失去了能力为了使计量经济预测模型可用，就需要想办法去消除的作用可以这样直观地考虑，对可能产生不适定结果的（）式进行变换，加进称为阻尼函数的项，

2.4将（）式变换为

2.4试图通过来抵消的作用对阻尼函数提出的要求是

2.

5、为上的有界函数，记为；a、对，，使，从而保证能消除的影响；b、，通过本式保证了能逼近c由上面三条假设可得到如下结果如果满足上面、、三个条件，且为单叶紧线性算子，则:a bc二归内引-g-4y-f0f

02.6证明如下

2.6因为为单叶，故，由知或，这时:

2.3,而〈=；qa,4,K,G-K,G44X UX U=—[qa.A-l]x,K^ufl n=由〃-1]〈羽匕可得到:、2火晨_闻=2磔,4-1]2演匕1,可得；当时，取充分小可使:而对，,所以口春―或||4f0«T07g—7C T0“f0这样的依上述思路能找出很多来，但既使由而得到了并不等于就解决了问题，反而产生了新问题，我们来看若存在唯一解，记为，为的近似值即充分小对应于来解方程，

2.1设其解为，这个解是否适合？事情并非必然如此因为X，—x—x+R Kx—g—x引TTgb—R%卜忸ag—Xg

2.7立的道理在于若要求，则必须，所以该式不会必然趋于而是只对特殊的如

2.70,此由此可知，选择合适的以使，就成了解决不适定问题的关键

2.1但是，我们看到上面提出问题的方式虽然直观，但不严密，寻找的过程中是一个凑合问题的思路，为使问题的解决更严谨，可利用的正则化方法来进行分析正则化方Tikhonov1977法的特点是将问题转化成一个变分问题，以保证当初始数据误差很小时，近似解能收敛于真解我们的基本思路是，假设观测所得到的数据误差不大，并使，这时求问题的反演等

2.1价于求解变分问题minI llx=陀-g|区5,gd-g

32.8而且，可将上式变为容易分析的等周变分问题Kress1989:||x||=min

2.9对于（）型的变分问题通过乘子法又可化为如下无约束条件下的泛函极值问题

2.9Lagrange22M[x,g]=^Kx-g+a x=min

2.10（）式中的称为光滑泛函，称为正则泛函，称为正则化参数对于（）的解的

2.

102.10特征,）得到了如下的定理Tikhonov9772=min{||Kx-g2+a x2}11gz-g||+«ka设为空间，,为常数，，则存在唯一的满足Hilbert、是由如下方程给出的唯一解（是单位向量）（）b

2.

11、儿连续依赖于c g（（）理性是由下面的定理保证的

2.8设为空间，，，，若满足，则对任意，方程（）存在唯一带有偏差为的解（Hilbert

2.1Kress（））1989所以，（）是否有解取决于的性质如何，这与前面直观方法得到的结论相同该方法

2.11的基本想法是，因为模型的不适定来自数据的误差，所以在反演时为避免不适定的出现,应在优化程序中将数据的误差一并考虑，这就是反演方法的基本特征当然在计量经济模型中不仅有来自数据的问题，还有模型的构造误差，但基本思想却是相同的，只不过在考虑误差的方法上有所差别我们的想法是依照计量经济学的传统从最小二乘法入手进行分析以构造反演估计方法

三、消除计量经济模型的不适定一一反演最小二乘法我们看到，上面用抽象的变分方法得到了一条改进计量经济模型估计方法的思路，但却不能直接用，我们从最基本的估计方法入手来使用上面的思想为分析的简便计，我们从考察最基本的估计方法一一最小二乘法开始假定有一组观察数据，想用来拟合一个线性方程（为阶列向量，为阶矩阵（设有个自变量，个观察值），为未知参数的阶列向量，为误差列向量）为使估计有意义,设的元素不是随机的且具有限方差；服从，且的正态分布（为的单位矩阵，为的转置向量），最小二乘法就是在已知观察值的情况下得到估计值，通过优化程序得到:O但是，我们看到，最小二乘法对数据的误差有特定要求，即，在经济数据存在自相关或异方差的情况下该程序得到的结果不合理，而广义最小二乘法针对这一缺陷提供了另一程序，但所用的方法与最小二乘法相同这时令，为一己知的正定矩阵（不一定是单位矩阵），广义最小二乘法就是在已知观察值的的情况下得到估计值而按照线性代数理论，可以对数据进行变换，使变换后的误差项的方差与协方差矩阵为因为，利用与最小二乘法同样的优化程序得当然还有多种与广义最小二乘法相似的改进估计方法（如（）），但它们Hall1992都不能完全解决计量经济模型的不适定问题，看起来要寻找另外的思路，而反演是一种有效的方法反演方法是利用概率论中的贝叶斯推断方法，在给定观测数据信息、理论模型信息及模型参数先验信息后，求模型参数的后验信息（概率密度）先看数据方面设对经济系统的输出进行了观察，用概率密度表示；令为经济系统的真正输出为，但经统计后的输出为的条件概率密度；为，的联合概率密度；又设对经济系统的输出事先不知道，则的概率密度可取为非信息概率密度（非信息概率密度指在全信息空间中反映的信息量最小的信息状态的概率密度），得网⑷=皿加阳）（3J）而由条件概率密度的定义有九”Jd Jd，“〃dm=/d=心刈㈤j vd|d//dJd7320H,依计量经济模型估计的基本假设，最小二乘法及广义最小二乘法都假定输出误差为高斯型,这时有如果数据中有离群点则需用另外的公式u%/d=[2»〃detQ%〃「%exp{-1d-d r[Qd]-1d-d outm/Z out

23.

33.3为被观测的数据空间的维数，为观测数据的协方差算子再看理论模型依Lucas1976的分析，在构造计量经济模型的理论时，因为模型参数设定差异，会得到不同结果，设理论模型为，理论误差的条件概率密度，同样假定误差为高斯型，得wd|m=[21〃det Qm「%exp[——d-gmrQ-1md-gm]

23.

43.4为理论模型的协方差算子，它是模型参数的函数模型空间与数据空间的联合先验信息用表示，当模型参数的先验信息与经济数据输出无关时有而模型参数和经济数据输出的预测理论关系可用联合概率密度来表示，当模型参数处于非信息状态时模型参数的先验信息、观测数据的信息和理论信息的结合形成空间的后验信息，其概率crd,m=4d,m

3.5密度可表为%鬻叫“叫型*crm=J bd,mdd=j

3.

63.5表示非信息状态的概率密度这时模型空间中后验信息的概率密度为:进一步设模型参数先验信息的概率密度分布为高斯型，因为两个高斯型概率密度函数乘积的积分仍为高斯型概率密度函数，

3.6式可化为=apm exp[-:gm-4刈7G gm-d J]mpm=[21〃det%exp[-Jm-Hi”m-m〃]

3.

73.7先验模型参数，为一常数为了分析上的便利可将

3.7合并为:crm=a]exp[-sm]sm=；[gm-d,”了]gm-d®+m-m〃,Qj m-m0]

3.8由此可知，寻找模型参数中心估计值的概率方法在于找到，使达最大，即实际上是求模型参数的最大似然值按计量经济学的传统，我们可设观测数据的误差互不相关加果出现自相关等用广义最小二乘法程序也可得到下面的结果，则、均简化为对角矩阵%:£=Q=M=4exp{一1Z g，m一2}crm=a exp[-ym]xd,〃

23.9这时式简化为

3.8%求达最大，实际上就是求的最小值，我们看到这就是熟悉的最小二乘法，所以将其称为反演最小二乘法但我们应注意到一是反演最小二乘法是在充分考虑了理论建模和数据误差后得到的，所以通过该程序得到的结果自动消除了不适定性因素；二是该程序的理论基础是贝叶斯推断，因为模型和数据中的许多因素事先不知道，只能对先验概率做推断，这种建模方法虽有主观因素在内，但比完全忽视理论和数据误差强如提出的批判和改进都是先验假Lucas1976设，但的思想长期未被计量经济学吸收改进，只是宏观经济学家在建模时用至Lucas」:所以，反演最小二乘法与最小二乘法只是形式上的相似而I A.Estrella andJ.C.Fuhrer2002o已，本质上是两种不同的方法,的思想也吸收其中当然表现形式不同Lucas

四、反演最小二乘法的基本算法1通过反演最小二乘法直接建模的一般算法.从知，可以要通过反演最小二乘法进行直接建模，即通过解极值求得因现实的经济

3.8模型一般都是非线性的，优化程序的选择很重要，一般方法有最速下降法、牛顿法、共钝梯度法等，这些方法在计量经济学教科书有一般概述我们不再详述，而只是给出反演Green1993d2s3m+o|pm『dm2算法的结果依一般优化程序，我们对作泰勒展开

4.15m+—Sm，2sm+Sm=5m+记，称为梯度，为海赛算子，称为最速上升方向并可由此得到Hesser=Gf gm—d.+Q m—m〃

4.2将上面的讨论放到某一个具体空间点，则可用离散化的优化计算程序来求出结果如在n点记为o、最速下降法a所谓最速下降法就是在点沿方向进行搜索，又称直线搜索因为这里要找在所在直线的极小值，故要从点出发沿方向搜索，可令为正常数这时可记搜索过程为:,上式中括号内第一个变量为搜索起始点，第二个变量为搜索方向，这实际上是找使沿方向上的点满足使在此搜索方向上最小这时，过点沿方向的直线必与的等值相切，而切点就是通过一个优化过程可得产丁力⑺+⑺产⑺y Q/G

4.3b、牛顿法牛顿法的基础泰勒级数近似，设为的二次函数，表为s（m）=a+brm+g mrhm则有梯度，在离散状态下有，由此可得=m⑺-0G⑺+可「©.可（g（m）—%）+阂（m—mJ]这时可用前述的直线搜索法

4.4求得夕（〃）或在m附近将g（m）线性化（取二⑺=1）c、共规梯度法该方法的思路是先令为反演的起始点，为处的最速上升方向，沿进行直线搜索确定一极小点；以为新起始点再进行直线搜索，通过多次搜索得到最小值，具体算法是a的重复当然还有数种反演算法，但上面三种是最基本的

2.反演最小二乘法的标准估计方法上面利用反演最小二乘法建模，只是取该反演方法与最小二乘法形式上的相似我们知道最小二乘法可以适用于一大类线性建模，是一种标准估计方法依此要求，下面我们将反演最小二乘法标准化，从而变成一种通用估计方法首先，我们看到当理论关系式为线性表达式时，有一系列的表达式都可以简化（

3.8）式这时简化为MmXgKGm-d/QotGm-d〃/）+（m-m），Qj（m_m）]2（

4.5）对（

4.5）在的中心估计值处作泰勒展开并令一阶导数项为0（以求极小值）得而=㈣=[G7•Gm—心+可m-m]…,=0,即，加G1G+阂m=G7■二%“+0,令

4.6Q=Gr^G+^yl=^-^GT^+G^GTyG^得m MM DM MM=皿《『匕丸+=m〃+G7Q G+d-Gmn out=111〃+Q GrQ+GQ Gr-GQMM DM

4.7及由以上各式得到crm=[2乃〃detQm「/exp[-工m—mO，m—m〉]所以，为的极大似然值，同时也是的均值与中位数；为模型参数的后验

4.8协方差算子以此为基础我们来得到线性最小二回归的标准结果在有一组观测数据的基础上试图拟合出关系式，我们令m，=,£/设的误差服从高斯分布且观测数据互不相关，观测数据的误差和模型参数的误差也不相关,故观测数据的协方差矩阵为erf00I0设已经给出了先验模型参数，且模型参数服从高斯分布，故模型参数协方差矩阵为:理£Q=*PO2巴%式中为参数与间的相关系数将上面诸条件代入得

4.6,

4.7，回F j+*式中

4.

94.9Q=Zl[y,-4+%],£=AB-2H---------------16如果模型参数的误差互不相关，则上面式中的；而一若小所有4的观测数据都有同样的标准差,则有，上面的结果还能简化]一个有意思的结果是，如果我们在建模时不考虑模型参数的先验信息即不考虑理论误差,Q-p2„这时可取，得，这时变为

4.6,

4.7m=GrQ1G-,GTQ1d zDD t,H Fn=G GTm我们看到，这一结果与广义最小二乘法估计相似所以，我们达到了想要的结果，既反演最小二乘法确是现有计量经济模型估计方法的推广

五、结论经济系统是一个复杂的人文系统，要对其进行定量分析，通过观测系统产出来推断系统行为的经济计量模型因为受到数据和理论假设误差的影响而会出现不适定的结果要消除不适定利用反演方法，将数据和理论假设误差考虑进模型是一种可行的方法，而且在不考虑理论假设误差时该方法与一般经济计量模型估计方法一致所以，反演方法既能消除批判中提出的Lucas问题，又是经济计量模型估计方法的推广参考文献Amemiya,T,1983JNonlinea.Regressio.Models”.In:Handboo.o.Econometrics.e.by.Z.Griliche.an.M.D.Intriligator,Vbl.l.Amsterdam.North-Holland.Cameron,A.C andTrivedi,P.K,1986,Econometric ModelsBased onCount Data:Comparisions，and Applicationsof SomeEstimators andTests Journal of AppliedEconometrics,!,29-

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