课时分层作业25 二面角及其度量

课时分层作业

（二十五）二面角及其度量（建议用时:分钟）45［基础达标练］已知平面内有一个以为直径的圆，点在圆周上（异于点

1.a ABPA_L a,C A,）点分别是点在上的射影，则（）B,D,E APC,PB是二面角的平面角A.ZADE A-PC-B是二面角的平面角B.NAED A-PB-C是二面角的平面角C.NDAE B-PA-C是二面角的平面角D.NACB A-PC-B［由二面角的定义及三垂线定理，知选］B B.已知和均为边长为的等边三角形，且则二面角

2.AABC ABCD a AD=a,A-BC-D的大小为（）【导学号］33242311A.30°B.45°C.60°D.90°［如图取的中点为连接、由题意得C BCE,AE DE,AE±BC,DE±BC,且又AE=DE=a,AD=a,即二面角的大小为］A ZAED=60°,A-BC-D60・

3.如图3-2-38所示，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为则侧面与底面所成的二面角为（）8,图3-2-38A.B.C.D.［设正四棱锥的底面边长为侧面与底面所成的二面角为高为斜高为Da,0,h,h,则=,/.=,，即］/.sin9=9=.已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量

4.a-1-B anl=6为，则二面角的大小为（）【导学号）n2=a-1-B33242312A.120°B.150°或或C.30°150°D.60°120°[设所求二面角的大小为，则，所以或C|cos0|===30°150°.]如图所示，是二面角棱上的一点，分别在平面内

5.3-2-39P Q-AB-B Q,B引射线如果那么二面角的大PM,PN,NBPM=NBPN=45°,ZMPN=60°,a-AB-B小为（）图3-2-39A.60°B.70°C.80°D.90°[不妨设作交于点交于点D PM=a,PN=b,ME±AB ABE,NF±AB ABF（图略），因为故,于是•=

（一）•（—）=•—NEPM=NFPN=45°,PE=,PF=•—•+•=abcos60°—a•cos45°—ebcos45°+•=一一+=

0.因为EM,FN分别是内的两条与棱垂直的线段，所以与之间的夹角就是所求二面a,8AB EMFN角的大小，所以二面角a-AB-8的大小为90°・]若二面角内一点到两个面的距离分别为和两垂足间的距离为则这个

6.58,7,二面角的大小是.或[设二面角大小为由题意可知60°120e,所以或cos e===,9=60120°.]若是所在平面外一点，且和都是边长为的正三角

7.P aABC4PBC aABC2形,,则二面角的大小为.PA=P-BC-A[取的中点连接（图略），则就是二面角的平面角.90°BC0,PO,AO NPOAP-BC-A又,所以.]PO=AO=,PA=NPOA=

90.在空间四面体中,，则〈，〉的8O-ABC OB=OC,NAOB=NAOC=cos值为.【导学号】332423130[OABC=OAOC-OB=OAOC-OAOBf f兀-f兀=|OA|-|OC|COST-|CA|-|OB|-COST=^\OA\\OC\-\OB\=Q.Iff f皆-.cos OABC==

0.］\OA\\BC\如图所示，在四棱柱中，平面平

9.3-2-40ABCD-A1B1C1D1AA1_L ABCD,面是一个直角梯形,为梯形的两腰，且ABCD AB_L AD,AB,CD AB=AD=AAl=a.图3-2-40若截面的面积为求点到平面的距离；1ACD1S,D ACD1当为何值时，平面平面2AB1C_L AB1D1［解］⑴由，过作垂足为V=V CCEJ_AD,E.平面••平面平面平面•••AA1_L ABCD,・ABCD_L AA1D1D,.••CE_L AA1D1D,是到平面的距离，ACE=a CADD1设点到平面的距离为D ACD1h,由得卜=.Sh=X a2Xa,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所2A1B1,A1D1,A1A x,y,z示.则Al0,0,0,A0,0,a,Bl a,0,0,设且是平面的法向量,Ca,b,a,nl=x,y,z ABIC••=a,0,a,=a,b,

0.贝即U nl•=0,nl•=0,ax—az=0,ax+by=0,得2=*,y=_x,取则x=L y=—,z=l,则为平面的一个法向量.nl=ABIC同理可得平面的一个法向量为AB1D1n2=l1/.若平面ABIC，平面AB1D1,则nl・n2=0,，=2,即当=2时，平面ABIC，平面AB1DL如图所示，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直

10.3-2-41P-ABCD PAD于底面是的中点.图ABCD,AB=BC=AD,ZBAD=ZABC=90°,E PD3-2-411证明直线CE〃平面PAB；点在棱上，且直线与底面所成角为,求二面角2M PCBM ABCD45°M-AB-D的余弦值.【导学号33242314】［解］1证明取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点，所以EF〃由得又所以四边AD,EF=AD.ZBAD=NA3C=90BC//AD.BC=AD,EF BC,形BCEF是平行四边形，CE〃BF.又平面平面故〃平面BFc PAB,CE PAB,CE PAB.由已知，得以为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长,2BAJ_AD,A x建立如图所示的空间直角坐标系则Axyz,AOQO,B1,0,0,C1,1,0,P0,l,,=1,0,-,=1,0,

0.设则Mx,y,zOxl,—x—1,y,z,=x,y—1,z—.因为与底面所成的角为而是底面的法向量，所BM ABCD45°,n=0Ql ABCD以|cos〈,n|=sin45°，即=,即x—l2+y2—z2=0

①又在棱上，设=入，则M PCx=A,y=h z=—/2由

①②解得舍去，或所以M,从而i一乎，1，坐.设是平面的法向量,则m=x0,yO,zO ABM机・AM=O,（2—也）x（）+2yo+y[6zo=0,xo=O,mAB=O,所以可取m=0,—,

2.于是〈cos m,n==.因此二面角的余弦值为^M-AB-D［能力提升练］如图所示，已知点为菱形外一点，且平面

1.3-2-42P ABCDPAJ_ABCD,PA=点为中点，则二面角的正切值为AD=AC,F PCC-BF-D图3-2-42A.B.C.D.［如图所示，连接连接•以为原点，所在直线分别D BD,ACDBD=O,OF O为必,轴建立空间直角坐标系.设则=.所以x,Oxyz PA=AD=AC=1,BD B,F,C,D.结合图形可知，=且为平面的一个法向量，BOF由=，=，可求得平面的一个法向量BCF n=l,,.所以〈〉=〈〉=,cos n,,sin n,所以〈〉=］tan n,..在正方体中，点为的中点，则平面与平面2ABCD-A1B1C1D1E BB1A1ED所成的二面角的余弦值为【导学号］ABCD33242315A.—B.C.D.［建系如图,设正方体棱长为则、、B1,D0,0,0All,0J E.=1,0,1,=.设平面的一个法向量为A1ED n=x,y,z.则.令则一,x=l,z=-l,y=.又平面的一个法向量为.\n=ABCD=0,0,

1.〈〉==一,**•cos n,又平面与平面所成的二面角为锐角，A1ED ABCD2，平面与平面所成二面角的余弦值为］A\ED ABCD已知正四棱锥的体积为底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面

3.12,2角等于.•底面对角线长为•.底面边长为从而利用体积得四棱锥的高为2,・2,3,所求二面角的正切为==.JT二•侧面与底面所成的二面角为王］已知正四棱锥的底面边长为,高为.则侧面与底面所成的二面角等于

4.23［如图，四棱锥为正四棱锥，连接相交于点连接60°P-ABCD AC.BD O,PO,则平面,作连接则即为侧面与底面所成二面角的PO_L ABCDOE_LCD,PE,NPEO平面角.由题意知PO=3,OE=,•tan NPEO==..ZPEO=6Q°.］.如图所示，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形及其内53-2-43ABCD部以边所在直线为旋转轴旋转得到的,是的中点.AB120G图3-2-43设是上的一点，且求的大小；1P APLBE,NCBP当时，求二面角的大小.2AB=3,AD=2E-AG-C【导学号33242316】［解］因为平面所以1AP±BE,AB±BE,AB,APc ABP,ABAAP=A,BE_L平面ABP.又平面所以BPc ABP,BE±BP.又所以NEBC=120°,NCBP=30°.法一如图，取的中点连接2H,EH,GH,CH.因为，NEBC=120所以四边形为菱形，BEHC所以AE=G£=AC=GC=FT^=T1取的中点连接AG M,EM,CM,EC,则EM±AG,CM±AG,所以为所求二面角的平面角.NEMC又AM=1,小.所以EM=CM=713—1=2在△BEC中，由于NEBC=120°,由余弦定理得EC2=22+22—2X2X2Xcos120°=12,所以，所以为等边三角形，EC=2AEMC故所求的角为60°.法二以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图B BE,BP,BA x,y,z所示的空间直角坐标系.由题意得A0,0,3,E2,0,0,Gl,,3,C-l,,0,故=2,0,-3,=1,,0,=2,0,

3.设是平面m=xl,yl,zl的一^个法向量，AEG—3zi=0,2xixi+gyi=

0.m・AE=0,由可得j_、/n・AG=0,取可得平面的一个法向量一zl=2,AEG m=3,,

2.n-AG=0由j X2+小y2=0,9可得_.n-CG=0,2X2+3Z2=O设是平面的一个法向量，n=x2,y2,z2ACG取可得平面的一个法向量z2=-2,ACG n=3,—,-

2.所以cos m,n==.故所求的角为60°.。