二次函数图象及性质课件

二次函数图象及性质二次函数的一般表达式通用形式顶点形式y=ax²+bx+c y=ax-h²+k根式形式y=ax-r₁x-r₂二次函数的定义域和值域定义域值域确定值域123二次函数定义域通常为所有实数，即根据二次函数的开口方向和顶点坐标需要考虑开口方向和顶点坐标，并根，值域可以是或据函数图像确定值域-∞,+∞a,+∞-∞,a二次函数的零点定义求解使二次函数值为零的自变量的值称为二次函数的零点通过解方程，可以找到二次函数的零点****fx=0二次函数的极值极值定义最大值当二次函数开口向下时，函数在顶点处取得最大值最小值当二次函数开口向上时，函数在顶点处取得最小值二次函数的渐变趋势上升趋势当二次函数的系数大于时，函数图像呈开口向上的抛物线，从a0左到右，函数值逐渐增大下降趋势当二次函数的系数小于时，函数图像呈开口向下的抛物线，从a0左到右，函数值逐渐减小二次函数图象的对称性二次函数图象关于对称轴对称对称轴是一条垂直于轴的直线，x其方程为对称轴将抛物线分成两个完全相同的半部分x=-b/2a对称轴的位置由二次函数的系数和决定当时，对称轴是b a b=0y轴二次函数的平移性质向上平移1将函数图像向上平移个单位，则函数解析式变为a y=fx+a向下平移2将函数图像向下平移个单位，则函数解析式变为a y=fx-a向左平移3将函数图像向左平移个单位，则函数解析式变为a y=fx+a向右平移4将函数图像向右平移个单位，则函数解析式变为a y=fx-a二次函数的拉伸性质纵向拉伸1当时，函数图象沿轴方向拉伸，拉伸倍数为当a1y a0横向拉伸2当时，函数图象沿轴方向压缩，压缩倍数为01x1/a二次函数应用案例抛物线1轨迹二次函数在现实生活中有着广泛的应用，其中一个典型例子是抛物线轨迹当物体以一定的初速度和角度抛出时，其运动轨迹通常呈现为抛物线我们可以利用二次函数来描述抛物线轨迹，并计算物体的飞行时间、落地点以及最大高度等信息二次函数应用案例求最大利润2生产成本销售收入利润生产成本通常包括固定成本和可变成本固销售收入是指企业销售商品或服务所获得的利润是指企业销售商品或服务所获得的收入定成本是指与产量无关的成本，例如租金和收入销售收入与产品的售价和销量有关减去生产成本后的余额利润是企业经营活设备折旧可变成本是指与产量相关的成本动的目标，也是衡量企业经营效益的重要指，例如原材料和劳动力成本标二次函数应用案例最短距离问题3很多现实问题都可以转化为求最短距离问题，例如，求点到直线的距离，求两条平行线之间的距离，求点到曲线的距离等等运用二次函数的性质可以解决这类问题，例如，利用二次函数的顶点坐标来求最短距离二次函数图象的画法步骤确定对称轴1利用对称轴公式x=-b/2a求顶点坐标2将代入函数表达式，求得顶点坐标x=-b/2a找几个关键点3根据函数表达式，找出几个关键点，如函数与坐标轴的交点连接关键点4根据对称轴和关键点，连接成一条光滑曲线画二次函数图像的几种方法解析式法平移法根据二次函数的解析式，求出几个关键点，如顶点、对称轴、与坐利用二次函数的平移性质，将已知函数图像平移到新的位置，得到标轴的交点，然后连接这些点，即可画出二次函数图像所求函数图像对称法利用导数法利用二次函数图象的对称性，以对称轴为中心，将已知图像的一半利用导数求出二次函数的极值点和拐点，结合其他信息，画出函数翻折到另一半，得到完整图像图像二次函数性质总结定义域值域单调性对称性所有实数当时，值域为当时，在上递关于直线对称a0[f-a0-b/2a,+∞x=-b/2a，当时，值域为增，在上递减，当b/2a,+∞a0-∞,-b/2a时，在上递减-∞,f-b/2a]a0-b/2a,+∞，在上递增-∞,-b/2a二次函数的导数及导数性质12导数公式导数性质基本公式单调性的导数为导数大于时，函数单调递增，导数小于y=ax^2+bx+c y=2ax+b0时，函数单调递减034极值凹凸性极值点凹凸性导数等于或不存在的点为极值点，对应二阶导数大于时，函数图像向上凹，二00函数的极值阶导数小于时，函数图像向下凹0二次函数的积分及积分性质fx=x^2Integral offx二次函数的积分可以用来求解面积、体积等问题二次函数的微分应用求极值求切线利用导数求二次函数的极值，可以解决实际问题中的最大值、最小导数可以用来求二次函数在某点的切线方程，从而解决与切线相关值等问题的几何问题二次函数的积分应用求面积求体积求平均值利用定积分可以求解二次函数图像与坐标利用定积分可以求解由二次函数图像旋转利用定积分可以求解二次函数在某一区间轴围成的面积而成的旋转体的体积上的平均值二次函数在物理中的应用自由落体运动抛射运动物体的自由落体运动可以用二次函数抛射运动是指物体被抛出后在重力作来描述，其中时间是自变量，高度是用下的运动，其轨迹可以用二次函数因变量来表示简谐运动简谐运动是指物体在回复力的作用下进行的周期性运动，其位移可以用二次函数来描述二次函数在几何中的应用几何图形面积计算二次函数可用于描述抛物线、圆利用二次函数求曲边形的面积，锥曲线等几何图形，为解决几何如求抛物线与直线围成的面积问题提供新的思路和方法几何性质通过分析二次函数的性质，可以推导出几何图形的某些性质，如对称性、焦点、准线等二次函数在经济中的应用成本分析利润最大化二次函数可用于描述企业的生产通过建立利润函数，企业可以找成本，例如固定成本和可变成本到利润最大化的产量和价格二通过分析成本函数，企业可以次函数可以帮助企业确定最佳定确定最佳产量和最小成本价策略，以实现盈利最大化需求预测二次函数可用于分析市场需求，预测产品的销量和价格通过分析需求函数，企业可以制定更合理的营销策略和生产计划二次函数在生活中的其他应用建筑设计运动信号处理二次函数可用于设计拱桥、抛物线形二次函数可以用来描述运动轨迹，例二次函数在信号处理中有着广泛应用屋顶等建筑结构，使结构更稳定、更如跳高、投掷等运动中的物体运动轨，例如音频信号、图像信号等美观迹二次函数的习题演练基础练习综合练习巩固基本概念和公式，例如求函将多个知识点结合起来，例如应数的解析式，判断函数的单调性用二次函数解决实际问题，画二等次函数的图像等拓展练习对一些更深层次的知识点进行探究，例如二次函数的导数，积分应用等二次函数典型试题解析应用题图像题结合实际问题，建立二次函数模通过对二次函数图像的分析，判型，并利用其性质解决问题断函数的性质，并解决相关问题方程题利用二次函数的零点、对称轴等性质，求解二次方程或不等式二次函数知识点回顾定义图象性质二次函数是形如的二次函数的图象为抛物线，其开口方向、二次函数的性质包括定义域、值域、零y=ax2+bx+c a≠0函数，其中、、为常数对称轴和顶点坐标与系数、、相关点、极值、对称性、平移性质和拉伸性质ab c abc二次函数知识网络图从基本定义到应用案例，我们探索了二次函数的核心知识，并构建了知识网络图通过网络图，可以清晰地看到各知识点之间的相互联系，帮助学生理解概念、掌握方法、提高解题能力课后思考与练习知识回顾联系实际回顾本节课学习的二次函数图象你能举出生活中哪些现象可以用及性质，你能总结出哪些关键要二次函数来描述？点？拓展延伸尝试用所学知识解决一些实际问题，例如设计一个抛物线形状的桥梁，计算一个物品抛出的最高高度等等总结与展望知识点学习目标通过本课的学习，我们掌握了二次函数的基本概念、图形性质、应进一步深入学习二次函数的性质，并运用这些知识解决实际问题用等内容参考资料教科书网络资源老师指导。