二次函数复习定义、图象课件

二次函数复习本节课我们将复习二次函数的定义、图像及其性质，并通过例题讲解，帮助大家更好地理解和应用二次函数知识什么是二次函数定义图象二次函数是一种函数，其表达式为，二次函数的图象为抛物线，其形状由系数决定，开口方向由系数y=ax^2+bx+c a≠0a其中为常数的正负决定a,b,c a二次函数的定义一般形式图象抛物线y=ax²+bx+c a≠0自变量x二次函数的标准形式定义特点二次函数的标准形式为，其中、、为顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的符号y=ax-h^2+k ah k h,k x=h a常数，这种形式可以清晰地反映出二次函数的特征，如开决定a≠0口方向、对称轴和顶点坐标二次函数的一般形式定义系数12任何二次函数都可以表示为、、分别表示二次项系数y a b c的形、一次项系数和常数项=ax²+bx+c a≠0式，其中、、为常数，且abc不等于零a应用3这种形式便于分析二次函数的性质和图像，例如开口方向、对称轴和顶点坐标如何判断二次函数的类型查看二次项系数观察常数项利用配方如果二次项系数为正，则抛物线开口向常数项表示抛物线与轴的交点纵坐标将一般形式的二次函数配方化为标准形y上；如果二次项系数为负，则抛物线开如果常数项为正，则抛物线与轴交式，可以直观地看出抛物线的顶点坐标y口向下于正半轴；如果常数项为负，则抛物线和开口方向与轴交于负半轴y二次函数图象的特点二次函数的图象是抛物线，它是一个对称的曲线，具有以下特点对称轴抛物线关于一条直线对称，这条直线叫做抛物线的对称轴•顶点抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点•开口方向抛物线开口向上或向下，取决于二次项系数的符号•抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线上离对称轴最近的点，也是抛物线上的最高点或最低点顶点的坐标可以通过公式计算得出，例如对于标准形式的抛物线y=ax-，顶点的坐标为h²+kh,k抛物线的轴对称抛物线关于它的对称轴对称对称轴是一条垂直于抛物线的直线，它将抛物线分成两个完全相同的部分对称轴与抛物线的交点称为顶点，也是抛物线的对称中心抛物线的平移上移1轴方向上平移y下移2轴方向下平移y左移3轴方向上平移x右移4轴方向下平移x抛物线的开口方向系数的影响向上开口a12二次函数当时，抛物线向上开口y=ax²+bx+c a0中，系数决定了抛物线的开，表示函数值随着的增大而a x口方向增大向下开口3当时，抛物线向下开口，表示函数值随着的增大而减小a0x抛物线的性质开口方向对称轴抛物线开口方向取决于二次项系抛物线关于对称轴对称，对称轴数的正负号正系数表示开口向是一条垂直于轴的直线，其方程x上，负系数表示开口向下为x=-b/2a顶点抛物线的顶点是抛物线上最低点或最高点，坐标为，顶-b/2a,f-b/2a点也是抛物线与对称轴的交点利用性质描述抛物线开口方向1向上或向下对称轴2垂直于轴的直线x顶点3抛物线与对称轴的交点二次函数图象的变换平移变换1改变函数图象的位置对称变换2关于直线或点进行对称倍数变换3改变函数图象的形状平移变换向上平移将函数图像向上平移个单位，对应解析式中常数项加上a a向下平移将函数图像向下平移个单位，对应解析式中常数项减去a a向左平移将函数图像向左平移个单位，对应解析式中自变量加上b xb向右平移将函数图像向右平移个单位，对应解析式中自变量减去b xb对称变换关于轴对称x1将函数图像关于轴对称，只需将的值取相反数x y关于轴对称y2将函数图像关于轴对称，只需将的值取相反数y x关于原点对称3将函数图像关于原点对称，只需将和的值同时取相反数x y倍数变换y=afx1当时，图象沿轴方向拉伸，拉伸倍数为a1y ay=afx2当0y=afx3当时，图象关于轴对称，并沿轴方向拉伸或压缩，拉伸或a0x y压缩倍数为|a|三种变换的综合平移、对称、倍数综合运用三种变换，可以更加灵活地绘制二次函数图象顺序和方向注意变换的顺序和方向，确保最终图象的正确性举例分析通过具体例子，理解三种变换的综合应用分析二次函数图象的变换平移变换对称变换倍数变换改变函数图像的位置，不改变图像的形状和关于某条直线或某个点进行对称变换，改变改变函数图像的大小，不改变图像的位置大小图像的位置，不改变图像的形状和大小如何绘制二次函数的图象标准形式绘制法1利用函数的顶点坐标和开口方向，直接在坐标系中描点连线一般形式绘制法2通过取点法或配方法，求出几个点的坐标，然后在坐标系中描点连线利用抛物线性质绘制3根据抛物线的对称轴和顶点等性质，进行快速绘制利用变换绘制二次函数4将已知函数的图象进行平移、对称或伸缩变换，得到目标函数的图象标准形式绘制法1234确定顶点确定对称轴确定开口方向确定开口大小顶点的坐标为对称轴为当时，开口向上；开口大小由决定，h,k x=h a0|a||a|当时，开口向下越大，开口越窄a0一般形式绘制法确定开口方向1根据系数的正负判断a求对称轴2利用公式x=-b/2a求顶点3将对称轴代入函数表达式找特殊点4如与轴的交点、与轴的交点x y利用抛物线性质绘制对称性1顶点2开口方向3利用变换绘制二次函数平移变换通过改变常数项，可以将抛物线上下平移对称变换通过改变自变量的符号，可以将抛物线关于轴对称y倍数变换通过改变系数，可以改变抛物线的开口方向和开口大小综合案例分析已知函数图像，求表达式根据图像信息，确定函数类型、顶点坐标等代入公式，求解参数的值二次函数的应用物理问题建模几何问题分析经济问题计算抛射运动、自由落体等物理现象可以用二求解面积、周长等几何问题可以用二次函利润最大化、成本最小化等经济问题可以次函数来描述数来解决用二次函数来分析物理问题建模物理模型数学公式图像分析将实际问题抽象成数学模型，简化问题，便利用二次函数公式描述物理规律，例如自由通过二次函数图像，直观地展现物理过程和于分析和计算落体运动、抛射运动等规律，方便理解和分析几何问题分析图形特征数量关系12分析几何问题时，要观察图形利用数学知识，建立图形元素的形状、大小和位置等特征之间的数量关系，例如面积、周长、角度等解题策略3选择合适的解题方法，例如代数方法、几何方法或坐标方法经济问题计算利润最大化成本控制投资收益利用二次函数求解利润函数的极值点，从而利用二次函数分析成本函数的变化趋势，制利用二次函数模拟投资收益的变化规律，预确定最佳产量和最大利润定合理的生产策略，降低成本测未来收益并优化投资策略总结与反思巩固知识练习应用拓展思考回顾二次函数的定义、图象特点和性质，通过练习，提升对二次函数知识点的掌握思考二次函数在不同领域中的应用，激发加深对知识点的理解，并能灵活应用于实际问题解决学习兴趣，探索更深层次的数学知识。