高数下册知识点 2

高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数

（一）向量及其线性运算

1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面;

2、线性运算加减法、数乘；空间直角坐标系坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；利用坐标做向量的运算设口，口，（（）则a±b=a±b,a±b,a±b\Aa=Aa,Aa,Aax x y yz z xyz;）1向量的模、方向角、投影）2向量的模口；）3两点间的距离公式口）4方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角口方向余弦口Ocos a+cos P+cos/=1投影口，其中□为向量口与口的夹角.

1、数量积，向量积数量积口2r rr1a=a-A--»2H±Z oa b=0—►垃a-b=ah++ar人人y yzz向量积口定义口，［乂ydy一映工砥，4△%.k=\

1、向量形式口

2、性质/•—A----►/•—►用匕表示L的反向弧，则J厂厂羽，・dr=-L月羽y,dr

3、计算设Px,y,Qx,y在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为口，其中口在□上具有一阶连续导数，且口，则Px,ydx+Qx,ydy=『{P[^r,+Q[0«,〃⑺]〃«}d,L Ja两类曲线积分之间的关系设平面有向曲线弧为口，口上点口处的切向量的方向角为口，口，口,则工Pdx+Qdy=JjPcos a+2cos/3^s.三格林公式dQ_8P^dx上具有连续一阶偏导数，则有JJ dxdy=1Pdx+QdyD dyL

1.格林公式设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数□在

2.□为一个单连通区域,函数□在口上具有连续一阶偏导数，则曲线积分JRk+Qdy在G内与路径无关dQ_dPLdx dy=曲线积分0PdLo羽丁川%+羽丁1y在6内为某一个函数的全微分

（四）对面积的曲面积分

1、定义:设口为光滑曲面，函数□是定义在□上的一个有界函数,）力）定义JJ J（羽乂z dS=lim,/4AS，Z=1计算----------“一单二投三代人”口，口，则/22JV x，y，z dS=Jj f[x.y.,y]J1+z x,y+zx,ydxdyZ JCxyX，

1、预备知识:曲面的侧,曲面在平面上的投影，流量

（五）对坐标的曲面积分

2、定义:设口为有向光滑曲面，函数□是定义在□上的有界函数，定义口♦同理，艮Px,y,2dydz=lim,r/,£AS,%iZ=1nz羽乂zdzdx=lim,%,《ASJ〃i=\）

3、性质:1口，则JL尸dydz+Qdzdx+R dxdyPdydz+Qdzdx+R dxdy=LL Pdydz+Qdzdx+R dxdy+j22计算一“一投二代三定号”J，Rdxdy=-JJjdxdy）22一表示与2取相反侧的有向曲面,则

4、□,□,口在口上具有一阶连续偏导数，□在口上连续，则口，口为上侧取“十二两类曲面积分之间的关系:zPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ^Fcosa+Qcos/3+Reosy dS（）其中心/,/为有向曲面£在点x,y,z处的法向量的方向角

（六）高斯公式高斯公式:设空间闭区域口由分片光滑的闭曲面□所围成，口的方向取外侧，函数dP dQdRccdxdydz=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy-------1--------1------Jjzdx dydzdP dQdR1dy dxdydz=Pcos二+Qcos〃+Rcosy dS-------1--------dz□在口上有连续的一阶偏导数，则有

1、通量与散度通量向量场□通过曲面□指定侧的通量为口divA=dP dQdR散度:------1-------1-----dx dydz

（七）斯托克斯公式斯托克斯公式设光滑曲面（的边界（是分段光滑曲线，（的侧与（的正向符合右手法则，\dP dRdQdxdy=£dydz+dzdx+Pdx+Qdy+Rdzdz dx、dx/口在包含（在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有为便于记忆，斯托克斯公式还可写作:dydz dzdxdxdyd ddJIPdx+Qdy+Rdzdx dzpR

1、环流量与旋度环流量向量场口沿着有向闭曲线（的环流量为口dR dQrotA=旋度:Sz dzOx dxSy,、办第十二章无穷级数（-）常数项级数

1、定义）1无穷级数口部分和匚I,正项级数匚I,口交错级数匚I,口）2级数收敛若□存在，则称级数口收敛，否则称级数□发散）

2、3条件收敛□收敛，而□发散；

3、绝对收敛□收敛

4、性质）1改变有限项不影响级数的收敛性；）2级数口，□收敛，则□收敛；）3级数□收敛，则任意加括号后仍然收敛；

5、必要条件级数□收敛（注意不是充分条件！）

6、审效法）1正项级数匚I,口）2定义□存在；00）3»〃收敛O{s〃}有界；n=\比较审效法口，□为正项级数，且口）4若□收敛，则□收敛；若□发散，则□发散.）5比较法的推论口,□为正项级数，若存在正整数口，当□时，口，而□收敛,则□收敛；若存在正整数口，当口时，口，而□发散，则□发散..）6比较法的极限形式口，□为正项级数，若口，而□收敛，则□收敛；若□或□,而□发散，则□发散.）7比值法□为正项级数，设口，则当□时，级数□收敛；则当□时，级数□发散；当□时，级数□可能收敛也可能发散.根值法□为正项级数，设口，则当口时，级数□收敛；则当□时，级数□发散；当□时，级数□可能收敛也可能发散.极限审效法□为正项级数，若□或口，则级数□发散；若存在口，使得口，则级数口收敛.交错级数莱布尼茨审致法交错级数口，□满足口，且口，则级数口收敛任意项级数□绝对收敛，则口收敛常见典型级数几何级数口级数口

（二）p-:三函数项级数

1、定义函数项级数口，收敛域，收敛半径，和函数；幕级数口

2、收敛半径的求法口，则收敛半径口

3、泰勒级数/X:Z:x_4〃O limR〃x=lim4—焊x-/严=0“=o n\〃一°°〃+°5+1!1展开步骤直接展开法2求出了〃%,几=1,2,3,…；3求出/⑺%,〃=0,1,2,…;4写出Z―7—x—%；n=0〃・55+1⑶5验证11«1扁=11111，^%一%向二°是否成立，一877—00〃+]!间接展开法利用已知函数的展开式CO[1ex=^—xn,X£fo,+oo；n=0〃•1oo2smx=^-ir+1---x2w+1,xe-oo,+oo n=0y十JJ・；001COSX=V-1，7+1-------X2，\X G-GC,+

00.、3a2〃！\0047—=Z^xe-l,l;1%n=0185谷-Unk…Dlnl+x=y^-xH+\-1,1]〃=o+1XG61002-1xe-l,17--^二廿mm-l---m-n+l00W=l+Z8nln=l1+x M

4、傅里叶级数）1定义正交系□函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间口上积分为零傅里叶级数:□）2系数口（）收敛定理:（展开定理）设f x是周期为2兀的周期函数，并满足狄利克雷））（Dirichlet条件:1在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;）2在一个周期内只有有限个极值点,（则f g的傅里叶级数收敛，且有a gZ4cosnx+b smnx=」+n/£+/厂2=\n、2傅里叶展开:

①求出系数:□;

②写出傅里叶级数/%=才+£〃〃cosnx+b sin〃x.n乙n=\

③根据收敛定理判定收敛性大小口，方向口符合右手规则—►）1ax a=0―►―►—►）2allb oaxb=0—►—►—*■i jk—►axb=a aY7么by b运算律反交换律口z

（二）曲面及其方程

1、曲面方程的概念□旋转曲面口面上曲线口，绕口轴旋转一周口

2、绕□轴旋转一周□

3、柱面

4、口表示母线平行于口轴，准线为口的柱面

5、二次曲面1）椭圆锥面□椭球面口）2旋转椭球面□）3单叶双曲面口）4双叶双曲面口）5椭圆抛物面□）6双曲抛物面（马鞍面）□）7椭圆柱面口）8双曲柱面□抛物柱面口

（三）空间曲线及其方程1一方程□

2、参数方程口，如螺旋线口

3、空间曲线在坐标面上的投影□,消去口，得到曲线在面口上的投影口

（四）平面及其方程点法式方程:□

1、.法向量匚过点口一般式方程:□

2、截距式方程口两平面的夹角□,□,cos8=n J_n A+B]+G B2=0TT//TT A_g_G仄丁口〃口20点□到平面□的距离:_|Ax+By+Cz+D\r00C✓V~~+B2+C2

（五）空间直线及其方程

1、一般式方程口

2、方向向量口，过点口对称式（点向式）方程口

3、参数式方程口m m+々几P\Pi\x22+cos p=+〃；+Q.‘根；++Pi—^=而两直线的夹角口，口,m n p mL=L=12L,//L=2np22七n\n20m mL]_L2O i2++P1P2=Am+Bn+Cp\sin p=直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角,d A2+炉+CT

2.+〃2+〃2Am+Bn+Cp=OABC第九章多元函数微分法及其应用

（一）基本概念

1、距离，邻域,内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集

2、多元函数口，图形

3、极限，1加/x,y=A曲,％x,yf

4、连续,岬fx,y=fx,y00与,如x,yf/—九-/%，%f,x^=lim00Ax/%,%+Ay-/%,%4x,=nm oJo o

5、偏导数△ycos/其中为I的方向角=^^COSO+dl dx方向导数:

6、梯度口，则口二全微分设口，则口三性质函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:

1、闭区域上连续函数的性质有界性定理，最大最小值定理，介值定理

2、微分法）1定义复合函数求导链式法则口若口，则口口dz dz du dz dv dz dzdudz dvdx dudx dvdx dydu dydv dy

（四）隐函数求导两边求偏导，然后解方程（组）

（五）应用

1、极值无条件极值求函数□的极值解方程组口求出所有驻点，对于每一个驻点口，令

①口，口，口，若口，口,函数有极小值，

②若口，口，函数有极大值；）1若口，函数没有极值；）2若口，不定条件极值求函数口在条件□下的极值令□---------Lagrange函数L=0解方程组j4=o）9（x,y=

2、几何应用）1曲线的切线与法平面曲线口，则□上一点口（对应参数为口）处的切线方程为□）2法平面方程为口）3曲面的切平面与法线曲面口，则□上一点口处的切平面方程为（（（（）工（Xo，为，Zo）x—%）+4Xo，%,Zo）y—%）+K（Xo，%,Zo）z—z0=0法线方程为□第十章重积分

（一）二重积分

1、定义JJ/（x，y）db=四D k=l

2、性质（6条）

3、几何意义曲顶柱体的体积）1直角坐标y（p2（）x axb

4、计算于）（JJ（X,y dxdy=Jdxj；/羽V）dy Dcyd°i（y）Wx4°2（y））（）jf/（X,y dxdy=『dyj；/x,y dxD）夕夕）］0（442（a0/3J打（内喇=口喧;（f pcos ap sin0}pAp

（二）三重积分

1、定义□

2、性质

3、计算）1直角坐标〕JV（x»，z）d吁fdz--------------------“先二后）（）〕JV（%，Mz dv=JJ户dyjf x,y,zdz-------------------------------------------“先一后）2柱面坐标pcosOx=y—psin0）JJV（zdv=Jj]c（）//cos apsin仇z/d夕dOdz9z=z）3球面坐标x=〃sin0cos gvy=r sinsin3z=r coscp仇/x,y,zdv=/rsin^cos

0.r sin°sin rcos^r2sin°dnd°d0J J J JJJQ三应用曲面□的面积A也”（沙+（制d如第十一章曲线积分与曲面积分

（一）对弧长的曲线积分n

1、定义£/，丁心=鹭2/（配7）4Z=

12、性质1Jj/羽y+B,y]ck=yds+^£gx,yds.21/乂y ds=，fx,yds+L/x,yds.L=4+L.2）3在□上，若口，则口）4Jds=/（/为曲线弧

2.的长度）

3、计算设□在曲线弧□上有定义且连续，□的参数方程为口，其中□在□上具有一阶连续导数，且口，则）（）（工/（%,y ds=J/[^r,〃⑺]J*⑺+⑺市,a v4）

（二）对坐标的曲线积分定义设L为口面内从A到B的一条有向光滑弧，函数口，□在L上有界,。