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8.4412第九章贪心算法未排序的部分找出最小或最大的元素，将其放在已排序部分的末12尾选择排序的具体步骤如下1首先在未排序序列中找到最小大元素，存放到排序序列的起始位置2再从剩余未排序元素中继续寻找最小大元素，然后放到已排序序列的末尾3重复步骤1和2,直到所有元素均排序完毕选择排序的时间复杂度为0rT2,空间复杂度为
016.4插入排序插入排序是一种简单的排序算法，其基本思想是将一个记录插入到已经排好序的有序表中，从而得到一个新的、记录数增加1的有序表插入排序的具体步骤如下1从第一个元素开始，该元素可以认为已经排好序2取出下一个元素，在已经排好序的元素序列中从后向前扫描3如果该元素已排序大于新元素，将该元素移到下一位置4重复步骤3,直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置5将新元素插入到该位置后6重复步骤2~5,直到所有元素均排序完毕插入排序的时间复杂度为0rT2,空间复杂度为01第七章查找算法
7.1查找算法概述查找是数据结构与算法中的一种基本操作，其目的是在给定的数据集合中找到满足特定条件的数据元素查找算法根据数据集合的性质和存储方式不同，可以分为多种类型本章将重点介绍顺序查找、二分查找和哈希查找等常见查找算法
7.2顺序查找顺序查找是最简单的查找算法，它逐个检查数据集合中的每个元素，直到找到满足条件的元素或遍历完整个数据集合顺序查找适用于未排序的数据集合,其时间复杂度为0n,其中n为数据集合中的元素个数顺序查找的基本步骤如下1从数据集合的第一个元素开始，逐个检查每个元素2如果找到满足条件的元素，则返回该元素的索引3如果遍历完整个数据集合仍未找到满足条件的元素，则返回lo
7.3二分查找二分查找是一种高效的查找算法，它适用于有序数据集合二分查找的基本思想是将待查找的数据集合分为两部分，然后根据中间元素与目标值的比较结果，确定目标值所在的区间，从而缩小查找范围二分查找的步骤如下1确定查找区间的上界和下界2计算查找区间的中间位置3比较中间位置的元素与目标值4如果中间位置的元素等于目标值，则返回该位置的索引5如果中间位置的元素小于目标值，则将查找区间的下界更新为中间位置的后一个位置6如果中间位置的元素大于目标值，则将查找区间的上界更新为中间位置的前一个位置7重复步骤26,直到找到目标值或查找区间为空二分查找的时间复杂度为0log n,其中n为数据集合中的元素个数
7.4哈希查找哈希查找是一种基于哈希表的查找算法哈希表是一种通过哈希函数将关键码映射为存储位置的数据结构哈希查找利用哈希表的这一特性，将待查找的关键码通过哈希函数计算得到存储位置，然后直接访问该位置以找到目标值哈希查找的步骤如下1根据待查找的关键码，通过哈希函数计算得到存储位置2访问该存储位置，判断是否存储了目标值3如果存储了目标值，则返回该位置的索引4如果未存储目标值，则根据冲突解决策略，继续查找下一个可能的存储位置5重复步骤34,直到找到目标值或遍历完整个哈希表哈希查找的时间复杂度取决于哈希函数的设计和冲突解决策略，通常情况下，其查找效率较高第八章动态规划
8.1动态规划概述动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，它通常采用递归或迭代的方式，将子问题的解存储起来以避免重复计算，从而提高计算效率
8.2最长公共子序列最长公共子序列Longest CommonSubsequence,LCS问题是指在两个序列中找到一个长度最长的子序列，这个子序列在两个序列中都保持原有的元素顺序解决LCS问题可以采用动态规划的方法，通过构建一个二维数组来保存中间计算结果，从而避免重复计算，最终得到最长公共子序列的长度
8.3最小路径和最小路径和问题是指在给定一个加权图中，寻找一条从起点到终点的路径，使得路径上的权值之和最小动态规划可以应用于解决此类问题，通过构建一个二维数组来保存到达每个节点的最小路径和，逐步迭代更新，最终得到从起点到终点的最小路径和
8.4最大子段和最大子段和Maximum SubarrayProblem问题是指在给定一个整数数组中，找到一个具有最大和的连续子数组动态规划是解决这一问题的一种有效方法采用动态规划求解最大子段和问题时，可以构建一个一维数组来保存以每个位置结尾的子数组的最大和，通过迭代更新得到全局最大子段和还可以使用Kadane算法来高效地解决这一问题第九章贪心算法
8.5贪心算法概述贪心算法是一种在问题求解过程中，每一步都采取当前状态下最优的选择,从而希望导致结果是全局最优的算法策略该算法的核心思想是局部最优解，即每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优的选择，从而希望能得到全局的最优解但是贪心算法并不总是能得到全局最优解，这是其局限性
8.6活动选择问题活动选择问题是一类经典的贪心算法问题给定一组活动，每个活动都有开始时间和结束时间，要求选择一组互不重叠的活动，使得选择的活动的数量最多解决这个问题的贪心策略是每次选择结束时间最早且未与已选择活动冲突的活动
8.7背包问题背包问题是另一类常见的贪心算法问题01背包问题是指给定一组物品，每个物品都有一定的价值和重量，要求在限定的背包容量内，选择一组物品，使得选取的物品的总价值最大贪心策略是每次选择价值密度最大的物品，即价值与重量的比值最大的物品
9.4最小树问题最小树问题是指在加权无向图中，找到一个边的子集，这个子集构成一棵包含图中所有顶点的树，且所有边的权值之和最小解决这个问题的贪心策略是:从空集开始，每次选择一条连接两个顶点的边，这条边的权值最小且不与已选择的边构成环，直到所有顶点都被连接常用的算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法第十章分治算法
10.1分治算法概述分治算法是一种重要的算法设计思想，其基本思想是将一个难以直接解决的问题分解成若干个规模较小的相同问题，递归地解决这些子问题，然后将子问题的解合并以得到原问题的解分治算法的核心思想可以概括为“分而治之”，其主要包括三个步骤分解、递归求解和合并
10.2快速排序快速排序是一种基于分治算法的排序方法，其基本思想是选择一个基准元素,将数组划分为两个子数组，使得一个子数组中的所有元素都不大于基准元素,另一个子数组中的所有元素都不小于基准元素，然后递归地对这两个子数组进行快速排序
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2.1快速排序算法描述1选择基准元素通常选择数组的第一个元素或最后一个元素作为基准元素2划分数组将数组划分为两个子数组，使得左边子数组的元素都不大于基准元素，右边子数组的元素都不小于基准元素3递归排序对左右两个子数组分别进行快速排序
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2.2快速排序算法实现下面是快速排序算法的伪代码实现function quicksortarr,low,high:if lowhigh:pivotindex=partitionarr,low,highquicksortarr,low,pivotindex1quicksortarr,pivotindex1,high其中，partition函数负责划分数组，并返回基准元素的正确位置
10.3归并排序归并排序是一种基于分治算法的排序方法，其基本思想是将一个序列分为两个子序列，递归地对这两个子序列进行归并排序，最后将两个有序子序列合并为一个有序序列
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3.1归并排序算法描述1划分数组将原数组从中间划分为两个长度相等的子数组2递归排序递归地对两个子数组进行归并排序3合并有序子数组将两个有序子数组合并为一个有序数组
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3.2归并排序算法实现下面是归并排序算法的伪代码实现function mergeSortarr,low,high:if lowhigh:mid=low high/2mergeSort arr,low,midmergeSortarr,mid1,highmerge arr,low,mid,high其中，merge、函数负责将两个有序子数组合并为一个有序数组
10.4最大子数组和问题最大子数组和问题是指在给定整数数组中找到一个具有最大和的连续子数组该问题可以使用分治算法求解
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4.1分治算法求解最大子数组和问题1将数组从中间划分为两个子数组2递归地求解左右两个子数组的最大子数组和3计算跨越中间位置的最大子数组和4将三个子问题的解合并，得到原问题的最大子数组和
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4.215第一章基本概念与算法效率分析
1.1算法基本概念算法是计算机科学中一个核心概念，指的是解决问题的一系列明确且有效的步骤算法通常用程序设计语言来实现，其目的是将输入数据转化为期望的输出结果算法可以解决各种类型的问题，如排序、查找、组合等问题算法具有以下特点
（1）明确性算法的每一步操作都必须有明确的定义，无歧义
（2）有效性算法必须在有限的步骤内完成，且每一步操作都是可行的
（3）有穷性算法在执行过程中，操作步骤的数量是有限的
（4）输入与输出算法具有零个或多个输入，以及一个或多个输出
1.2算法效率评价算法效率评价是衡量算法功能的重要指标评价算法效率的主要因素包括时间复杂度和空间复杂度算法效率的评价可以帮助我们选择最优的算法来解决特定问题
1.3时间复杂度分析时间复杂度是衡量算法执行时间的一种指标，通常用大0符号表示时间复杂度分析主要关注算法执行过程中最坏情况下的时间消耗常见的时间复杂度有常数时间
01、线性时间on、对数时间0log n、平方时间0发2等分析时间复杂度的步骤如下1确定算法的基本操作2计算基本操作的执行次数3找出执行次数最多的基本操作4用大符号表示算法的时间复杂度
1.4空间复杂度分析空间复杂度是衡量算法在执行过程中所需存储空间的一种指标，同样使用大0符号表示空间复杂度分析主要关注算法在最坏情况下的空间消耗常见空间复杂度有常数空间
01、线性空间0n、对数空间0log n等分析空间复杂度的步骤如下1确定算法中使用的变量和数据结构2计算每个变量和数据结构所需的存储空间3找出所需存储空间最多的变量或数据结构4用大0符号表示算法的空间复杂度第二章线性表
1.1线性表的定义与基本操作线性表Linear List是一种基本的数据结构，由有限个数据元素组成数据元素之间存在着线性关系，即除了第一个元素和最后一个元素外，每个元素一个直接前驱和一个直接后继线性表的基本特征如下有且一个第一元素；有且一个最后元素；除第一个元素和最后一个元素外，每个元素都有一个直接前驱和一个直接后继线性表的基本操作包括初始化创建一个空的线性表；销毁释放线性表所占用的存储空间；清空将线性表中的所有元素删除，但不释放存储空间；插入在线性表的指定位置插入一个新元素；删除删除线性表中指定位置的元素；查找在线性表中查找特定元素的位置；遍历访问线性表中的所有元素；长度获取线性表中元素的数量
2.2顺序存储结构顺序存储结构Sequential StorageStructure是线性表的一种存储方式,它使用一段连续的存储单元顺序存储线性表中的元素顺序存储结构的特点如下逻辑上相邻的元素在物理位置上也相邻；随机访问元素的时间复杂度为01;插入和删除操作的时间复杂度较高，可能需要移动大量元素常用的顺序存储结构有数组、栈和队列等
2.3链式存储结构链式存储结构Linked StorageStructure是线性表的另一种存储方式，它使用指针将线性表中的元素连接起来链式存储结构的特点如下非连续的存储单元；随机访问元素的时间复杂度为0n；插入和删除操作的时间复杂度为01,不需要移动大量元素常用的链式存储结构有单向链表、双向链表和循环链表等
2.4线性表的应用实例以下是一些线性表的应用实例数组用于存储一组具有相同数据类型的元素，如整数数组、浮点数数组等；栈用于实现函数调用、表达式求值等操作；队列用于实现进程调度、消息队列等操作；链表用于实现动态数据结构，如链表、双向链表、循环链表等；字符串用于处理文本数据，如单词、句子等；向量用于表示向量空间中的向量，如二维向量、三维向量等；稀疏矩阵用于存储稀疏矩阵，降低存储空间的需求在实际应用中，线性表的选择取决于具体的需求和场景通过合理选择线性表的存储结构，可以有效地提高程序的功能和可维护性第三章栈与队列
3.1栈的定义与基本操作栈Stack是一种先进后出First InLast Out,FILO的数据结构在栈中，数据的插入和删除都限定在表的一端进行，这一端称为栈顶Top,而另一端称为栈底Bottom栈的基本操作包括初始化InitStack创建一个空的栈判断空IsEmpty判断栈是否为空入栈Push在栈顶插入一个元素出栈Pop从栈顶删除一个元素，并返回该元素获取栈顶元素GetTop获取栈顶元素，但不删除
3.2栈的顺序存储结构栈的顺序存储结构是利用一组连续的存储单元来存储栈中的元素，通常使用数组来实现在顺序存储结构中，栈的存储空间是一段连续的内存区域，栈顶位置是动态变化的，通常用一个整型变量来表示栈顶位置以下是栈的顺序存储结构的主要操作初始化分配一个固定大小的数组，并将栈顶位置设置为1,表示栈为空判断空检查栈顶位置是否为lo入栈将元素插入到栈顶位置，并将栈顶位置加lo出栈将栈顶位置的兀素取出，并将栈顶位置减1获取栈顶元素返回栈顶位置的元素
3.3栈的链式存储结构栈的链式存储结构是利用链表来实现栈链表中的每个节点包含一个数据域和一个指向下一个节点的指针在链式存储结构中，栈顶位置是链表的头部，链表的尾部是栈底以下是栈的链式存储结构的主要操作初始化创建一个头节点，表示栈为空判断空检查头节点的下一个节点是否为空入栈在链表的头部插入一个新节点，并将新节点作为栈顶出栈删除链表的头部节点，并返回该节点的数据获取栈顶元素返回链表头部节点的下一个节点的数据
3.4队列的定义与基本操作队列Queue是一种先进先出First InFirst Out,FIFO的数据结构在队列中，数据的插入操作发生在队列的尾部，而删除操作发生在队列的头部队列的基本操作包括初始化InitQueue创建一个空的队列判断空IsEmpty判断队列是否为空入队EnQueue在队列尾部插入一个元素出队DeQueue从队列头部删除一个元素，并返回该元素获取队头元素GetFront获取队列头部的元素，但不删除队列的存储结构通常分为顺序存储结构和链式存储结构顺序存储结构使用数组实现，链式存储结构使用链表实现两种存储结构在操作上具有相似性，但具体实现细节略有不同第四章树与二叉树
3.5树的定义与基本操作树Tree是一种重要的非线性数据结构，由节点Node组成在树中，每个节点有零个或多个子节点，并且没有形成闭环的路径树的定义是递归的，一个节点如果没有子节点被称为叶子节点Leaf,而拥有子节点的节点被称为内部节点Internal Node基本操作包括创建树初始化树的节点及其关系插入节点在树中添加新的节点删除节点从树中移除节点，同时维护树的结构杳找节点在树中寻找特定的节点父节点与子节点操作获取和设置节点的父节点或子节点兄弟节点操作获取和设置节点的兄弟节点
4.2二叉树的定义与性质二叉树Binary Tree是树的一种特殊形式，每个节点最多有两个子节点,通常称为左子节点和右子节点二叉树具有以下性质节点的度节点的子节点数称为节点的度二叉树中节点的度最多为2深度与高度树的根节点深度为0,其他节点的深度为其父节点深度加1树的高度是树中节点的最大深度满二叉树每个节点都有0个或2个子节点的二叉树完全二叉树除最后一层外，每一层都是满的，并且最后一层的节点都集中在左侧
4.3二叉树的遍历算法二叉树遍历是指按照某种顺序访问二叉树中的所有节点主要的遍历算法有先序遍历Preorder Traversal访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树中序遍历Inorder Traversal先遍历左子树，访问根节点，然后遍历右子树后序遍历Postorder Traversal先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点层次遍历Levelorder Traversal按照树的层级顺序遍历节点，通常使用队列实现
5.4线索二叉树线索二叉树Threaded BinaryTree是对二叉树的一种改进，它通过在节点中添加额外的指针，使得遍历操作更加高效这些额外的指针被称为线索，指向节点在遍历序列中的先驱或后继节点在线索二叉树中，定义以下两种线索前驱线索指向前一个遍历的节点后继线索指向下一个遍历的节点线索二叉树的优点是可以在不使用栈或递归的情况下进行遍历，从而节省了存储空间，并且提高了遍历的效率根据线索的设置，线索二叉树又可以分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树线索化过程包括遍历二叉树并为每个节点设置相应的线索指针第五章图
5.1图的定义与基本概念图是一种复杂的数据结构，它由顶点Vertex和边Edge组成在图中,顶点通常表示实体，而边则表示实体之间的关系图可以用来模拟现实世界中的各种复杂关系，如社交网络、交通网络等根据边是否有方向，图可以分为有向图和无向图在有向图中，边具有方向性，表示从一个顶点到另一个顶点的单向关系；而在无向图中，边没有方向性，表示两个顶点之间的双向关系根据边是否具有权重，图还可以分为加权图和无权图在加权图中，每条边都有一个权重，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价；而在无权图中，所有边的权重都视为lo
5.2图的存储结构图的存储结构主要有邻接矩阵和邻接表两种邻接矩阵用一个二维数组表示图，数组的行和列都对应图的顶点如果顶点i与顶点j之间存在一条边，则矩阵的第i行第j列的元素为1有向图或2无向图；否则，该元素为0邻接表用一个数组和一个链表表示图数组中的每个元素对应一个顶点，链表中的节点表示与该顶点相连的其他顶点对于无向图，每个顶点对应的链表中会包含两个节点，分别指向与该顶点相连的两个顶点；对于有向图，链表中只包含一个节点，指向该顶点的出边
5.3图的遍历算法图的遍历算法主要有深度优先搜索DFS和广度优先搜索BFS两种深度优先搜索DFS从图的某个顶点开始，递归地访问所有与该顶点相邻的未被访问过的顶点DFS的时间复杂度为OVE,其中V表示顶点数，E表示边数广度优先搜索BFS从图的某个顶点开始，逐层遍历所有与该顶点相邻的顶点BFS的时间复杂度也为OVE
6.4最短路径算法最短路径算法用于求解图中两点之间的最短距离以下介绍两种常用的最短路径算法Dijkstra算法适用于求解单源最短路径问题，即从某个源点出发到其他所有顶点的最短路径Dijkstra算法的基本思想是从源点出发，逐步扩展到其他顶点，每次都选择距离源点最近的顶点进行扩展算法的时间复杂度为0V2oFloyd算法适用于求解多源最短路径问题，即求解图中所有顶点对之间的最短路径Floyd算法的基本思想是通过中间顶点逐步更新两个顶点之间的最短距离算法的时间复杂度为0/3第六章排序算法
6.1排序算法概述排序算法是计算机科学中一类重要的算法，其目的是将一组数据按照特定的顺序进行排列排序算法在数据处理、查询优化、算法分析等领域具有广泛的应用根据排序过程中元素间比较的次数和移动的次数，可以将排序算法分为内部排序和外部排序两大类内部排序是指整个排序过程都在内存中完成，外部排序则涉及到数据的内外存交换本章将介绍几种常用的内部排序算法
6.2冒泡排序冒泡排序是一种简单的排序算法，其基本思想是通过相邻元素的比较和交换，使较大或较小的元素逐渐从前往后或从后往前移动冒泡排序的具体步骤如下1从第一个元素开始，比较相邻的两个元素，如果它们的顺序不对，就交换它们的位置2对每一对相邻元素做同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对这步做完后，最后的元素会是最大的数3针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个4重复步骤13,直到排序完成〜冒泡排序的时间复杂度为0rT2,空间复杂度为
017.3选择排序选择排序是一种简单直观的排序算法，其基本思想是遍历整个数组，每次从。
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