《线性代数总复习》课件

线性代数总复习课顾线数识本件旨在帮助学生回性代的基本概念和重要知点课程介绍课程目标课程内容课程安排线数线组阵节课掌握性代的基本概念、理性方程、矩、向量空间每周两，共16周论线换和方法、性变、特征值与特征向课讲习题讲课堂授、解、后作养维逻辑量培抽象思和推理能力业阵数线二次型、矩分解、值性数线数应代、性代的用线性方程组概念1线组线组性方程是指由多个性方程成的系统，每个方程表示一线关个性系解法2线组组时求解性方程的目的是找到一变量的值，使所有方程同成立应用3线组应计领性方程广泛用于科学、工程、经济、算机科学等域问题数，例如解决电路分析、优化、据建模等增广矩阵及其行变换矩阵变换初等行变换行阶梯矩阵阵将线组数阵数项换对阵进过换将阵为阶增广矩是性方程系矩和常初等行变是指增广矩行的以下三种通初等行变，可以增广矩化行阵换将数阵线组列向量合并得到的矩操作交两行，一行乘以一个非零常梯矩，以便更容易求解性方程将数，一行的倍加到另一行线性方程组的解法高斯消元法1过换将数阵为阵通行变系矩化上三角矩高斯-若尔当消元法2将数阵为对阵系矩化角矩矩阵求逆法3阵阵组利用矩的逆矩求解方程克莱姆法则4计利用行列式算解线组线数内当阵莱则这性方程的解法是性代的核心容之一常用的解法包括高斯消元法、高斯-若尔消元法、矩求逆法和克姆法些方法各有优劣，围过习这线组为续习线数内础适用范不同通学些方法，可以掌握性方程的求解技巧，后学性代其他容打下基向量及其基本运算向量定义向量加法过向量是具有大小和方向的量，它向量的加法可以通平行四边形则则来进可以用一个箭头表示向量可以法或三角形法行表示方向，速度和力等物理量向量减法向量乘法将负标向量的减法可以看作是向量向量的乘法包括量乘法和向量积加到第一个向量上点向量的线性相关性线关线数组线关性相性是性代中的一个重要概念，它描述了一向量之间是否性相组线则称该组线如果一向量中的任何一个向量都可以由其他向量性表示，向量性关则称该组线关相；否向量性无线关线关断组质线组性相性和性无性是判向量性的重要工具，在解性方程、求解应向量空间的基底等方面都有重要用向量子空间及其基底向量子空间定义子空间的基底12线关向量子空间是指包含零向量的子空间的基底是由性无的对标组线向量集合，并且加法和量向量成的，可以性表示子闭乘法封空间中的所有向量基底的性质应用实例34维维过子空间的基底不唯一，但其例如，二平面上所有通原线度是唯一的，等于基底中向量点的直都是一个向量子空间数线的个，其基底可以由直上任意一个非零向量构成线性变换的性质线性性线换标质性变保持向量加法和量乘法的运算性结构保持线换线结线关性变保持性空间的构，例如性无性、生成空间等维数不变性线换维数性变不会改变向量空间的线性变换的矩阵表示线换为阵该阵称为线换阵性变可以表示矩形式，矩性变的矩表示阵对应线换结矩的每一列于性变作用在基向量上的果阵线换简阵进矩表示使得性变的运算更加便，可以利用矩乘法行线换性变的复合操作阵观过阵矩表示也提供了一种直的几何理解，可以通矩的特征值来线换质和特征向量分析性变的性特征值与特征向量线数特征值与特征向量是性代中重要的概念们线换对它揭示了性变向量空间的影响线换缩为性变在特定方向上的伸因子即特征值对应为特征值的向量即特征向量11不变伸缩换换仅缩特征向量在变后保持方向特征向量在变后发生放11特征值特征向量缩对应表示放因子特征值的向量相似矩阵及其性质定义性质应用阵当仅当阵阵线数论领两个矩A和B相似，且存在可逆相似矩具有相同的特征值，但特征向量可在矩分析、性代、控制理等域中阵阵质应矩P使得B=P-1AP能不同，相似矩的性被广泛用阵•相似矩有相同的秩、迹和行列式阵项•相似矩有相同的特征多式和最小多项式对角化及其应用对角化概念阵对将阵转为对阵过对阵对为对线矩角化是指一个矩化角矩的程角矩的非角元素都零，角上的元阵素是矩的特征值对角化条件当阵线关时阵对只有矩具有性无的特征向量，矩才能被角化应用举例线换简时性变的化、微分方程的求解以及离散间系统的分析等方面实例演示将对过图观来颜区可以角化的程用形直地展示出，例如用箭头表示特征向量，用色分不同的特征空间二次型及其标准形式二次型定义标准形式关将为标二次型是一个于多个变量的齐二次型化准形式,即所有交项项项次二次多式,包含变量的平方叉都消去的形式,可以用配方法项现和交叉.实.矩阵表示应用对称阵二次型可以用一个矩表示,二次型在几何学、物理学、工程阵数对应领应矩的元素与二次型的系.学等域有广泛的用,例如描述状数曲面形和能量函.正定性与惯性定理线数来断正定性是性代中重要的概念，它用判二次型是否总是大于零惯关负惯数性定理是于二次型的一种重要定理，它揭示了二次型的正性指是保持不变的惯正定性性定理断负惯数判二次型是否总是大于零二次型的正性指保持不变应问题应线数用于优化用于性代和微分方程矩阵的奇异值分解矩阵分解1将阵为阵积矩分解多个矩的乘奇异值2阵阵换矩的奇异值反映了矩的尺度变能力奇异向量3阵换奇异向量定义了矩的变方向应用4维图压缩降、像、推荐系统将阵阵积阵来阵结阵奇异值分解（SVD）是矩分解成三个矩的乘，其中包含了矩的奇异值和奇异向量奇异值分解可以用分析矩的构，理解矩的变换质应维图压缩领性，并用于降、像、推荐系统等域广义逆矩阵定义与性质阵阵论阵广义逆矩是矩理中一个重要的概念，用于解决非方方程组问题许质的求解它具有多性，如可解性条件、解的表达式等应用阵计论领应广义逆矩在统学、控制理、信号处理等域有着广泛的问题线规滤用，例如在最小二乘、性划、信号波等方面线性最小二乘问题问题定义应用寻数线线应数计找最佳拟合据点的直或曲它广泛用于据分析和统建模线问题应数归习领性最小二乘广泛用于据拟合、回分析、机器学等域123解法阵线数线问题寻使用矩分解和性代方法求解性最小二乘最小二乘法求使误差平方和最小的解动态系统及其稳定性稳定性概念态时状态动系统是否会随着间推移而保持在一个特定或平衡点附近系统动力学时规预测来状态研究系统随间变化的律，并系统未的控制理论过计来稳通设控制策略改变系统的定性，使其达到期望的性能定理Cayley-Hamilton阵满项Cayley-Hamilton定理任何方都足其特征多式方程应计阵线用算矩的幂、求解性微分方程证线关明利用特征值与特征向量、性无性等概念标准型Jordan矩阵的相似性块

11.

22.Jordan阵们标两个矩相似意味着它在不Jordan准型由一系列线组同的基底下表示相同的性变Jordan块成，每个块都是换阵对线一个上三角矩，角上都是同一个特征值应用

33.标论数领应Jordan准型在微分方程、控制理和值分析等域有着广泛的用微分方程组及其解齐次线性微分方程组1数阵为数阵系矩常矩非齐次线性微分方程组2数项数包含非零的常或函求解方法3阵数特征值法、矩指法应用4领物理、工程、生物等域组许领应线组赖微分方程在多域都有用，例如物理、工程、生物、经济等性微分方程是其中最常见的类型，其解法主要依于特征值和特征向量傅里叶变换与应用换将时转换频数将傅里叶变是一种信号从域到域的学工具，它可以任何周期性信号分解成一系列正弦波的叠加换图频领应傅里叶变在信号处理、像处理、音处理、通信等域有着广泛的用，例滤图压缩频如噪声波、像、音合成等主成分分析法降维技术特征提取12将维数维维寻数高据降到低空间，找据集中方差最大的方向为保留主要信息，作主成分数据压缩应用领域34数计图识别减少据冗余，提高算效率像处理、模式、机器学释习和可解性等随机矩阵及其性质阵阵阵计领应随机矩是指元素是随机变量的矩随机矩在统学、物理学、工程学等域有广泛的用123独立性分布谱阵独阵阵随机矩的元素通常假设相互立随机矩的元素可以服从不同的概率分布随机矩的特征值和特征向量具有特定的统计质性数值线性代数方法迭代法矩阵分解线组问将阵为简单阵用于求解性方程和特征值矩分解更的矩形式题数线组的值方法例如雅可比迭代，用于求解性方程和特征值赛问题法、高斯-德尔迭代法等，例如LU分解、QR分解等正交化方法数值稳定性将线关组转为数线数稳性无的向量化正交值性代方法的精度和定组关键虑误向量，例如施密特正交化方法性是，需要考舍入差、数等条件等因素矩阵分解及其应用LU分解1线组求解性方程QR分解2问题最小二乘奇异值分解3维图压缩降、像特征值分解4主成分分析阵将阵阵积将阵阵阵积应线组矩分解是一个矩分解成多个矩的乘LU分解矩分解成一个下三角矩和一个上三角矩的乘，主要用于求解性方程将阵阵阵积问题QR分解矩分解成一个正交矩和一个上三角矩的乘，常用于解决最小二乘将阵阵积维图压缩应将阵应奇异值分解矩分解成三个矩的乘，可以用于降、像等用特征值分解矩分解成特征向量和特征值，常用于主成分分析等用总结与讨论课程回顾未来展望线数础论应数线数习仅仅开还许论应性代是一门基学科，其理和方法广泛用于学、物理性代的学是一个始，有多更深入的理和用领、工程、经济等各个域需要探索课习线组线换数线数阵论领线数本程学了性方程、向量空间、性变、特征值与特征例如，值性代、矩、泛函分析等域都与性代密阵论关应场向量、矩分解等重要概念和理切相，并拥有更加丰富的用景。