2025届新高三学情摸底考02（新课标卷）教师版）

保密★启用前届新高三学情摸底考新课标卷202502数学注意事项

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.设集合人=卜,一1一12},8=卜£2卜6%6},则AcB的元素的个数为2A.3B.4C.5D.6【答案】C【详解】分析分别求出A和B,再利用交集计算即可.详解A={x|x〉4必—3},8={-6,—5,-4,—3,—2,—1,0,123,4,5,6},则AcB={Y,-5,T,5,6},交集中元素的个数是

5.=3D.2+

5.-iA.——i B.2——i C.—12222故选C.【答案】C【分析】利用复数的乘法和除法运算求解.1-的1一云=1-2训1+石=5=5j【详解】解:fl-iV-^2i-^2i-21故选C.

3.已知向量M=〃1,石=3,㈤,若£与行方向相反，则〃一64二的一个点，则岫褊=-9片由于点A,M是椭圆上的两点，故证明如下设A/（x,y）,A（%!，y）,3（-玉,一,）,2_22_2y±y^y2-yf此时k/^BM=~m=X2—crX+%1Xf两式作差可得宁+宁=,故结论成立.A21回到本题，由题意可知kpA・kpB=—二=—L,a~3设直线PA的方程为y=K（x+3）,则M（6,94）,设直线PB的方程为y=k（x-3）,则N（6,3）,2故％OM,左DN=

3.3=3%#2=T，-3一J故DM±DN,MN为外接圆的直径,设所求的点为£（m,0）（m^9）,9k13k26-m6-m即—（6—〃2）~=27Z/2=—9,解得m=3,（加=9舍去）.综上可得所求点的坐标为（3,0）.

四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间[50,100],从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.X+222212X£+--2XF1求图中的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数同一组中的数据用该组区间的中点值代替；⑵利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间［90,100］的概率.【答案】⑴=

0.03,平均数

74.5,中位数为75；⑵【分析】1利用各小矩形的面积和为1可求=

0.03,利用组中值可求平均数，利用面积等分可求中位数.2利用列举法及古典概型的概率公式可求概率.【详解】1由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10X

0.015+

0.02+Q+

0.025+601=1,角星得a=

0.

03.所以样本中40名学生的竞赛成绩的平均数%=55x

0.15+65x

0.24-75x

0.3+85x

0.25+95x

0.1=

74.

5.设这40名学生的竞赛成绩的中位数为x,由于前2组频率之和为

0.35,前3组频率之和为

0.65,故中位数落在第3组,于是有x—70x

0.03+

0.35=

0.5,解得A

75.即这40名学生的竞赛成绩的中位数为

75.2由分层随机抽样可知，在区间［80,90］应抽取5人，记为a,b,c,d,e,在区间［90,100］应抽取2人,记为A,B,从中任取2人的所有可能结果为a,c,a,e,a,A,a,3,e,c,b,d,b,e,b,A,b,B,c,e,c,A,c,B,d,e,d,A,d,B,e,A,e,B,AB,共21种.其中至少有一人测试成绩位于区间［90,100］内有（a A）,（见3）,（女A）,

（3）,9GB,®A,d,3,e,A,e,B,A,B,共11种.所以，至少有一人的测试成绩位于区间［90,100］内的概率为

16.（15分）已知数列｛%｝是各项均为正数的等比数列，前〃项和为S〃，4=2,35=2S+

5.435

（1）求数列｛%｝的通项公式;〃+1T（、2%=2〃；⑵小/¥+/+〃【答案】

（1）—+10§2^,7；为数列也｝的前〃项和，求T〃.an【分析】

（1）由3s4=283+85,利用等比数列的通项公式，得到%=2%,求得9=2,即可求解数列的通项公式;2由1可得4=+2/1,利用乘公比错位相减法和等差数列的求和公式，即可求解.4〃【详解】

（1）由题意，因为3s4=283+85,得34+4+/+4=24+/+/+4+/+/+〃4+%，即5=24，设公比为4,所以夕=%=2,又4=2,所以为=2〃.4〃+1234n+・・・+21+2d---F〃=4+〃〃+14142434〃+——7234n〃+1其中4=彳+下+不+・・・+——7+---4-〃--4〃-1

（2）由

（1）可得A=R+2〃，1234n

44、4243444〃4〃+i\

①■

②得，=-+—+—4-442434〃444〃+i1--473/14-7123・4角9・4〃所以7/2+〃F・

17.（15分）在四棱锥P-ABC中，为正三角形，平面P4OJL平面A3CD,E为AD的中点，AB//CD,AB±AD.CD=2AB=2AD=

4.1求证平面PCOJL平面雨；2在棱上是否存在点M,使得AMI平面P8E若存在，求出器的值；若不存在，说明理由.【答案】1证明见解析；2存在，黑=；.【分析】1推导出PEIAD,从而P£_L平面ABCD,进而庄_LCO,然后可证得CO_L平面PAD,得证平面PC，平面PAD.2在棱CD上假设存在点M,使得AM工平面PBE,由£_1_平面ABCD,得要使AMI平面PBE成立，只需成立，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DM_1DC-4,【详解】证明1QVP4D为正三角形，E为AD的中点，•••尸石，

40.•・,平面B4DJL底面ABCD,平面底面A5CD=AZ,..P石，平面ABCD.・・・CZu平面ABCD,:.PE±CD.♦:AB//CD,ABLAD,:.CD±AD.・.・PEcAD=E,PE,AD u面PAD\CD八平面PAD.・「CDu平面PCD,・•・平面PCD_L平面PAD.・・・尸石，平面ABCD,:.PE±AM.要使AM1平面PBE成立，只需AM_LEB成立.以过E与CD平行的直线为1轴，EO为V轴，EP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则40,T0,B2,-l,0,C4,l,0,0,1,0,E0,0,0,设M%为，z°,=A.2e[0,1]DM=ADC，即如%—1，Zo=24,O,O.••%=44,%=1,z°二°./EB=2,-L0,W=42,2,0,・•・由丽，湎7，得丽•汨=0，即8%—2=

0.解得％=,

18.（17分）已知动圆的圆心在x轴上，且经过点N（T,0）,动圆C与x轴的另一个交点为A,与y轴的一个交点为3,过点A作x轴的垂线，过点3作y轴的垂线，两条垂线交于点、M.⑴求点M的轨迹方程；⑵设点〃的轨迹为£,曲线£上一点P5,2）,过点P的直线PS,PT交曲线E于S,T两点，且PS_LPT,求证直线ST过定点，并求出定点坐标.【答案】⑴丁=4x

（2）证明见解析，（5,-2）【分析】（I）根据丽・丽=0建立等式即可求解；（k2-4^+44-2〃）/.、

（2）先求出点P,2）,再根据题意分别求出S---—和7（4/+必+卜必—2）,1k卜）再由直线的两点式得到直线ST的方程即可求解.【详解】

（1）由题意设则A（x,），B（o,y）,且丽・丽=0,得到（T—y）・（x,—y）=o,即y2=4x,故M的轨迹方程为y2=4x.

（2）由

（1）知点P（l,2）,直线PS,PT斜率存在且不为0,不妨设直线PS的斜率为k,则直线PS的方程为y—2=Z（x—1）,联立y—2=k（x—1）与V=4x,消掉x得到62_4y+8-4%=0,设点s（ayj,则2J一得到S,K K-代入直线方程得到王尸节+4,器1,土产、，k\k k,因为PS_LPT,将点S坐标中的k换成一；，得至1」7（4公+4%+1,-4%一2）,—k则ksT=攵2+攵一1直线ST的方程为-=告（1入41）,化简得到工—^-5-2,k2+k-Vk2所以直线ST过定点（5,-2）.

19.（17分）给出以下三个材料

①若函数”外可导，我们通常把导函数/（X）的导数叫做“X）的二阶导数，记作了（x）.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作〃

（1）,三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，n-1阶导数的导数叫做及阶导数，记作/（〃）（#=［/（〃一）（同］7之4

②若〃£4，定义〃!=公（〃-1）＞＜（〃-2*・・・*3乂2/1与若函数/（x）在包含/的某个开区间（力）上具有〃阶的导数，那么对于任一有g（x）=/w+中（％7）+粤…+^^（］7），我们将g（x）称为函数/⑴在点x=x0处的〃阶泰勒展开式.例如，y=e在点x=o处的〃阶泰勒展开式为1+工+!/+..・+^光〃.根据以上三段材料，完成下面的题目2n\⑴求出x=sinx在点x=处的3阶泰勒展开式4x,并直接写出力x=cosx在点x=0处的3阶泰勒展开式4%；2比较1中工%与力的大小.3证明ev+sinx+cosx2+2%.【答案】⑴x=x-a x=l-卜2；2答案见解析；3证明过程见解析.o2【分析】1根据“X在点x=x处的〃阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；2令心=/%-%,利用导数可求得从力在R上单调递增，结合力0=0可得〃力的正负，由此可得工X与力的大小关系；3令姒司=力司―%x，利用导数可求得姒司》=，即cosxNl-Ji；

①当I2时，由21+工+12+，/，sinxx-^x3,可直接证得不等式成立；

②当xvO时，分类266讨论，由此可证得不等式成立.【详解】1・・・/；x=cos无，力x=—sinx,爪x=-cosx,⑼=1,40=0,刈=-1,107—11二・3%=sinO+[x_0+Fx_O+—-^-0,即无=九一工/；1!2!3!o同理可得g%=1一J/；乙22由1知/x=sinx,g^x=x-yx3,6}令/zx=x—g]x=sinx—x+gx3,贝ij/九=cosx-l+；f,=-sin x+x,心x=1-cos%20,.・.川%在R上单调递增,又〃0=0,・•・当％«—,0时，^x0,〃x单调递减；当x£,”时，〃x0,〃同单调递增;・.・[x]min=0=1—1+0=0,.h\x0,・・・〃x在R上单调递增，又人=0,.二当％£-oo,0时，/zx0；当%£0,+oo时,/zx0；综上所述:当XV时，工xvgix；当x=O时，%=%;当x0时，工%4%;3令°x=j^x-g2x=cosx-l+gx2,则dx=-sinx+x,.・・°”x=l-cosx0,X在R上单调递增,又“⑼=0,・・・°x在-8,0上单调递减，在0,+巧上单调递增,/.^x^O=O,即cosxNl—，/；2111I07・.・y=e,在点1=0处的4阶泰勒展开式为1+X+7/+4,2624A1+^1^2+-!-X3+—x4l+x+-x2+-x3,当且仅当x=0时取等号，E=+262426

①当xNO时，由2可知，sinxx-^x\当且仅当x=0时取等号，所以

6.111C L

12、c Cv2e+sin x+cos x1+x H—x H—x+x—x+1—x=2+2x；I26J I6J I2J

②当x0时，设Fx=ev+sinx+cosx-2-2x,F0=0,Frx=ev+cosx-sinx-2=ev+V2cos x+--2,I4j/x=e-sinx-cosx,当了£一1,0,由2可知sinxvx」/,所以，

6.i111233—sin x—COS X1+X H—r H—x—x—X—COS X266=l-cosx+—X23+2X0,即有FxF0=0；6I-jr A1i-1i-当X£-oo,—l］时，Frx=eA+V2cos x+—-2-+V2-2-+V2-20,\4e2所以，xvO时,bx单调递减，从而■%网0=0,即e、+sinx+cosx2+2x.综上所述eA+sin x+cos x2+2x.A.54B.8C.3G【答案】B【分析】利用给定条件求出m,再利用向量线性运算的坐标表示及坐标求模，计算作答.一加2=3【详解】向量间，Z与B方向相反，则彳根〈0，解得加二一6，即Z=-73,1,B=3,—6,贝lj a-^3b=-73,1-63,—G=-4A/3,4,所以口_也可=]_4百2+42=

8.故选B

4.已知函数/x在R上满足2—%—2/x=-d—4%+4,则曲线y=/X在点1处的切线方程为A.6x-y-5=0B.6x-y+5=0C.2x-y-l=O D.2x—y+l=0【答案】c【分析】先对/2-x-2/x=-f_4%+4求导数，将.1代入导数求得r⑴=2,再将.1代入/2-X—2/X=—Y—4X+4,求得/⑴=1,用点斜式求出直线方程即可.【详解】由/2—x—2/x=—4x+4,两边求导得2—X•/2—x—2/x=-2x—4即/2—x+2/x=2x+4所以/2—1+2/⑴=2x1+4,因此3/1=6,即/1=2又/2-1-2/l=-l2-4xl+4,即/⑴=1故y=/X在ifl处的切线方程为y-/1=尸⑴・X-1即J2x—y—1=

0.故选C.

5.已知1=频3+*2-5在点⑴处的切线的倾斜角为a,则cos”，=32sin2a+2cos-a138A.—B.--C.2D.255【答案】A【分析】根据导数的几何意义，求得tan，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可.【详解】因为/工=93+白2—5,故可得rx=/+x,J乙则在点1JD处的切线斜率tan”=71=2；□Ba,cos2a cos26Z-sin2a1-tan2a1-41sin2a+2cos2sinacosa+2cos a2tana+24+22故选A.

6.点P2,l的直线中，被圆U/+y2—2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为A.3JC—y-5=0B.3x+y-7=0C.x+3y-5=0D.x-3y+1=0【答案】A【分析】要使得直线被圆C截得的弦长最长，则直线必过圆心，利用斜率公式求得斜率，结合点斜式方程，即可求解.【详解】由题意,圆炉十12-2%+分=0,可得圆心坐标为C,-2,要使得直线被圆C截得的弦长最长，则直线必过圆心，-7_1可得直线的斜率为A=*=3,所以直线的方程为y-1=3-2,即所求直线的方程为3x-y-5=

0.故选A.

7.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，其中有一种金属陀螺如图，它的形状可以认为是上半部分为圆柱，下半部分为倒置的圆锥；现知尖底长PO为3,柱体与锥体部分高之比2:1,底周长为2〃，则陀螺的表面积为pA.4+工-乃B.67r C.D.（5+0）%【答案】D【分析】先利用已知条件得到底面半径，圆柱母线长以及圆锥的高，进而得到圆锥的母线长,再利用圆柱和圆锥的表面积公式求解即可.【详解】由底周长为2》，可得底面半径r=1，又现知尖底长（P0）为3,柱体与锥体部分高之比2:1,得圆柱的高即母线长为2,圆锥的高为1,圆锥的母线长为则陀螺的表面积为〃xlx加+〃xl2+2»乂卜2=（5+）不；

228.已知K分别是双曲线点-a=

1.0力〉0）的左、右焦点过6的直线与圆故选D./+y2=相切且分别交双曲线的左、右两支于人、8两点，割钻|二忸闾，则双曲线的渐近线方程为（）A.3x±y=0C.（百+l）x±y=O D.（G-l）x±y=O【答案】C【分析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解.（2tz）2+（2c）2-（46z）2b在A4耳用中,—=cos ZAFF}22（2〃）（2c）c【详解】由双曲线的定义可知2々=忸周一忸周二忸£|一|4用=|4团，|A段=2a+|A制=4即整理得b2—2ab—2a2=

0.解得2=I+G,a所以双曲线的渐近线方程为y=±（i+6）x.故选c

二、多项选择题本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.在下列关于概率的命题中，正确的有A.若事件A,B满足PA+P3=1,则A,3为对立事件B.若事件A与B是互斥事件，则A与月也是互斥事件C.若事件A与8是相互独立事件，则A与否也是相互独立事件I31D.若事件A,8满足8加=彳，PB=g PAB=-,则A,8相互独立344【答案】CD【分析】对于A举反例判断命题不成立；对于B由互斥事件的定义直接判断；对于C由相互独立事件的性质直接判断；对于D利用公式法直接判断.【详解】对于A若事件A、B不互斥,但是恰好PA=05PB=

0.5,满足PA+PB=1,但是A,B不是对立事件,故A错误；对于B由互斥事件的定义可知，事件A、B互斥，但是A与否也是互斥事件不成立.故B错误；对于C由相互独立事件的性质可知若事件A与B是相互独立事件，则A与月也是相互独立事件.故C正确；对于D因为事件A,B满足PA=]PAB=]所以PA5=PAP3,344所以A,B相互独立.故选CD

10.已知函数/x=2sin,x+}o0,则下列说法正确的是A.若函数〃力的最小正周期为万，则其图象关于直线x=g对称OJT\B.若函数“X的最小正周期为〃，则其图象关于点-,0对称\O7C.若函数/X在区间上单调递增，则0的最大值为2\O71g73D.若函数/⑴在[0,2句有且仅有5个零点，则口的取值范围是三O O【答案】ACD【分析】根据最小正周期可以计算出

①，便可求出对称轴和对称点，可判断A、B选项；根据正弦型函数的单调性可以推出的值，可判断c选项；根据零点情况可以求出的取值范围，可判断D选项.【详解】A选项・.力的最小正周期为〃♦•CD—2”修］=瓜»=夜sing=夜，故A正确;18J184；2B选项・・・〃%的最小正周期为〃俗每n

2.71=0*=6钝,故B错误;7169=27TC选项・.,0x—.,871717171又函数在上单调递增k o7717171842・・.

①2,故C正确;又/x在［，2句有且仅有5个零点，则5乃2710+£6］,1923一，,——,故D正确.717171d7tD选项・・・XE[0,21].二69XH——e—,27rcoH——「・故选ACD

11.已知函数/=卜-卜〃ln龙，则下列说法正确的有A.若〃0,则/x的值域为RB.若4=1,则过原点有且仅有一条直线与曲线y=/x相切C.存在〃〉0,使得“X有三个零点D.若〃x20,则的取值范围为［0,e］【答案】ABD【分析】A选项，根据%趋近于时，函数值趋近于负无穷，当x趋近于正无穷时，函数值趋近于正无穷得到A正确；B选项，求导，设出切点，得到切线方程，把点0,0代入切线方程得lnx°=l-x0e,此方程只有一个根，故B正确；C选项，分工In与%In两种情况,推导出“X至多两个零点;D选项,先得到0不合要求，a=0满足要求，考虑0,X£O,1时，满足要求，故只需不£口,+8时，恒成立，若Qe,/lna=-〃lnlna0,故不合要求，若0〃《e,结合导函数得到函数单调性和最值，得到0〃4e满足要求，得到答案.【详解】A选项，若0,则e，—Q0,故f x=|eA-a-Q Inx=e-a-Q Inx,x0,当x趋近于0时-Inx趋近于负无穷，此时/%=已--〃111%趋近于负无穷，当x趋近于正无穷时，-olnx和9都趋近于正无穷，函数值趋近于正无穷，因此函数“X的值域为R,A正确；B选项，函数定义域为0,+,Q=1时，/x=|e-v-l|-lnx,因为x0时ev-l0，故/x=e-l—lnx,则ra=e-L,设切点坐标为%，为，故国=”一，,x/1A则在x=x°处，y=/x的切线方程为y—e一1一111%=e-x-x,0I xoJ把点,0代入切线方程得，-eA°-l-lnx=e一一O-x,0oI xoJ化简得Inx=1—Xoe”,当不1时，lnx0l-x e^,此方程无解，00当X1时，In%〉〉—占卜，此方程无解，当天=1时，ln%o=O=l—Xoe,且函数y=lnx—l—xe］此时为增函数，故方程1口不=1-x0e”只有方=1这1个解，即过原点有且仅有一条切线和y=/x相切，B正确；C选项，a0,当xvlna时，e-40,/x=-eA-a\nx+a,则尸x=-e-@0,故/x单调递减，故在此区间上函数最多一个零点,X要想这个零点存在，需In4=-alnlna0,当x〉ln〃时，e，-Q0,/x=eA-a-a\nx,则=显然这是一个增函数，JC要想/X函数零点尽可能多，则需存在一个为使得/西=成立，此时/X在In a,由上单调递减，在七,-BX上单调递增，若在x«O,lna上存在一个零点，则故此时在Ino,y上只存在一个零点，此时函数一共有两个零点，不合要求,若在x«0,Ina上不存在零点，则〃lna〉0,又/x在x£lna,xj上单调递减，在西,+上单调递增，故此时函数最多有两个零点，不合要求，综上，不存在〃0,使得函数存在三个零点，C错误；D选项，由A知，当0时，函数的值域为R,不满足当a=0时:/x=er0,满足要求，当〃0时，X£O』时，/x=|ev-tz|-6zlnj0,满足要求，故只需工£口,+8时，/%=卜工一4一1门20恒成立，若ae,/ln6/=-6zlnln6Z0,故不合要求，若0a〈e,/x=ev-a-a\nx,则rm，,显然这是一个增函数,fx=ex--f\\=e-a09函数“X单调递增，则〃%N〃l=e-aN0,故0a We满足题意,乂a=0也满足要求，因此〃£[0,e],D正确；故选ABD

三、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.用

1、

2、

3、

4、5组成没有重复数字的五位数必cde,若满足vc的五位数有〃个，则在l+l+“+l+x2+l+4+…+0+%出的展开式中，f的系数是.用数字作答【答案】56【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出〃，再利用二项式定理结合组合数性计算即得.【详解】由五位数abcdc满足abc，dve,得c=l,从

2、

3、

4、5中任取两个分别作另两个为c,d,因止匕〃=C；=6,l+l+x+l+x『+l+x3+.・・+l+x7的展开式中的系数为C；+C；+C+C；+C；+C；=C；+C；+C；+C；+C；+C；=Cj+C；+C；+C；+C；=C；+C；+C；+C”C+C；=C；=

56.故答案为

5613.在AABC中，角A,民所对的边分别为名c、，若NC=60°*=2,c=26,则【答案】4b「Ac inC1【详解】试题分析由正弦定理得一一=—J,即Sinfi=----------=7,且〃c,所以48=30,sin BsinC c2A=90，所以Q=7京=4,故应填

4.

2214.已知椭圆的方程为三+二=1,A,B为椭圆的左右顶点，尸为椭圆上不同于A.933的动点，直线x=6与直线Q4,依分别交于，N两点，若9,0,则过，M,N三点的圆必过x轴上不同于点的定点，其坐标为.【答案】0,0【分析】利用椭圆的性质首先证明原人・原8=-:，然后结合题意设出直线方程，由点的坐标确定圆的直径所在的位置，最后由直线垂直的充分必要条件可得点D的坐标.【详解】首先22一证明v椭圆]+3=1〃人0,点43是椭圆上关于原点对称的两点，M是椭圆上异于A3上的一个性质椭圆。