《高等数学上》课件

高等数学（上）本课件旨在帮助学生学习高等数学的基本概念和方法涵盖了微积分、线性代数、概率论等重要内容函数及其图像

1.1函数是高等数学中的基础概念函数图像可以帮助我们直观地理解函数的性质，例如单调性、奇偶性等一对一函数与反函数一对一函数反函数每个输入值对应唯一输出值，且如果函数是一个一对一函数，则f每个输出值也只对应唯一输入值存在一个函数使得且g fgx=x例如，不是一对一函数反函数用表y=x^2gfx=x gf^-1，因为输入值和都有相同的示2-2输出值4反函数的图形常见反函数反函数的图形与原函数的图形关指数函数与对数函数是反函数关于直线对称系，三角函数与其反三角函数也y=x是反函数关系基本初等函数指数函数对数函数

1.

2.12定义域为全体实数，值域为正定义域为正实数，值域为全体实数实数三角函数反三角函数

3.

4.34包括正弦函数，余弦函数，正是三角函数的反函数，如反正切函数等弦函数，反余弦函数函数的基本性质单调性奇偶性函数的单调性是指函数值随自变量变化而变化的趋势函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质如果函数在某个区间上，自变量增大时函数值也增大，则称该函如果函数图像关于原点对称，则称该函数为奇函数数在这个区间上单调递增如果函数图像关于轴对称，则称该函数为偶函数y如果函数在某个区间上，自变量增大时函数值减小，则称该函数在这个区间上单调递减复合函数与反函数复合函数反函数互为反函数复合函数将一个函数的输出作为另一个函数反函数是原函数的逆运算，将原函数的输出两个函数互为反函数，它们的图像关于直线的输入，形成新的函数关系作为输入，得到原函数的输入值对称y=x极限与连续

1.2极限的概念是高等数学的基础，它描述了函数或数列在自变量趋于某个值时所趋近的值连续性则是指函数在某个点附近保持平滑变化，没有突变或间断数列极限的定义收敛当趋于无穷大时，数列的项无限接近于某个常数，则称该数列收敛于该常数，称为数n列的极限发散当趋于无穷大时，数列的项无限接近于某个无穷大或不收敛，则称该数列发散n定义ε-N对于任意小的正数，存在正整数，当时，数列的项与极限的差的绝对值小于εN nNε函数极限的定义无穷小函数极限当自变量趋近于某个值时，如果函数值趋近于零，则该函数称为无当自变量趋近于某个值时，如果函数值趋近于某个确定的值，则称穷小该值为函数在该点处的极限..性质及计算极限的性质极限的计算图形理解极限具有可加性、可乘性、可比性等性质常见的极限计算方法包括利用极限的性质可以通过图形直观地理解极限的概念和计算，利用洛必达法则，利用泰勒展开式等方法，有助于理解抽象的数学概念连续函数的概念不连续函数不连续函数在某个点不满足连续函数的定义这意味着函数在该点的图形存在间断或跳跃，函数值可能不等于左右两侧的极限连续函数导数与微分

1.3导数是微积分学中的核心概念之一，它反映了函数在某一点处的变化率，用于描述函数的瞬时变化趋势微分是导数的另一种表示形式，它是函数在某一点处的线性逼近，用于近似地描述函数在该点附近的变化导数的定义与意义定义几何意义

1.

2.12导数反映了函数在某一点的变化率导数代表曲线在该点切线的斜率物理意义应用

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4.34导数表示物体在该时刻的瞬时速度导数应用于求函数极值、拐点、单调性等求导法则基本求导公式求导法则包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角包括和差法则、乘积法则、商法则和链式法则等，用于计算复杂函函数等的求导公式数的导数隐函数求导参数方程求导用于求解包含多个变量的方程的导数，需要应用链式法则和微分方用于求解以参数形式表示的函数的导数，需要将参数方程转化为普程的知识通函数形式高阶导数定义求导后得到的函数称为导数，再次对导数进行求导则得到二阶导数，以此类推，多次求导后的函数称为高阶导数符号表示次导数符号为或，表示对函数或进行次求导n fnxyn fxy n几何意义高阶导数反映了函数曲线在不同点的变化趋势，例如二阶导数表示曲线凹凸性，三阶导数表示曲线拐点微分的概念与性质微分的定义微分的几何意义微分是函数在某一点的变化量的微分代表了函数曲线在该点处的线性近似它是导数与自变量增切线斜率，即函数值的变化率量的乘积，反映了函数在该点附近的局部变化趋势微分的性质微分是可加的，即两个函数之和的微分等于这两个函数微分的和微分还满足线性关系，即常数倍函数的微分等于常数倍该函数的微分微分中值定理

1.4微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，它揭示了函数在某个区间上的平均变化率与其在该区间内某个点的导数之间的关系微分中值定理在实际应用中有着广泛的应用，例如在求解函数的极值、判断函数的单调性以及近似计算函数值等方面罗尔定理与拉格朗日中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，那么如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在内至fx[a,b]a,b fa=fb fx[a,b]a,b a,b在内至少存在一点，使得少存在一点，使得a,bξfξ=0ξfξ=[fb-fa]/b-a泰勒公式与泰勒展开泰勒公式泰勒展开麦克劳林公式用多项式逼近光滑函数的一种方法，在函数将函数展开成无穷级数形式，利用泰勒公式泰勒公式的特例，将函数在零点展开为无穷的某一点邻域内用多项式函数逼近函数本身将函数展开为无穷级数级数形式导数应用

1.5导数在数学、物理学和工程学中有着广泛的应用它可以帮助我们理解函数的性质，例如函数的单调性、极值和凹凸性此外，导数还可以应用于求解优化问题和物理模型的建模函数的单调性与极值单调性极值12函数在某个区间上单调递增或函数在某个点取得最大值或最单调递减，可以通过导数判断小值，称为极值，可以通过导数判断极值点求极值步骤应用34首先求函数的一阶导数，然后单调性与极值在应用中发挥重求导数为零的点，最后判断这要作用，例如优化问题、经济些点是否是极值点学等函数的凹凸性与拐点凹凸性拐点函数的凹凸性描述了函数图像的形状如拐点是函数凹凸性发生变化的点在拐点果函数图像向上弯曲，则为凹函数；如果处，函数的二阶导数等于零或不存在函数图像向下弯曲，则为凸函数不定积分

1.6不定积分是微积分学中重要概念之一，它与导数有着密切关系函数的积分表示其导数的反运算不定积分的求解涉及积分公式、换元法和分部积分法等技巧，帮助我们理解微积分基本定理积分的概念与性质积分概念性质12积分是微分的逆运算，表示曲积分具有线性性质，即积分运边图形的面积，求解面积过程算满足加法和数乘分配律，可即积分过程积分与微分互为以将积分运算分解成更简单的逆运算，它们是微积分学中最积分运算，便于计算基本的两个概念积分性质积分应用34积分还有单调性、积分上限和积分在物理、工程、经济等领下限的性质，这些性质可以帮域都有广泛的应用，如计算面助我们更方便地求解积分积、体积、功、重心等常见积分公式基本积分公式•幂函数积分公式•指数函数积分公式•三角函数积分公式•对数函数积分公式常用积分公式•反三角函数积分公式•双曲函数积分公式•分部积分公式积分技巧理解积分公式并掌握常用积分技巧通过合理使用积分公式简化积分计算，提高效率换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法利用换元法将被积函数转换为一个更容易积分的形式将被积函数分解成两个函数的乘积，并利用积分公式进行计算定积分

1.7定积分是高等数学中重要的概念之一它表示函数曲线与轴之间面积，也表示函数的累积变化量x定积分的概念与性质面积的概念体积的计算定积分可以用来计算平面图形的面积，该面积由曲线、直线和通过定积分，可以计算旋转体体积，该体积由曲线、直线和坐坐标轴围成标轴围成物理应用性质定积分应用于物理学中，比如计算功、力矩、质心等定积分具有线性性、可加性、积分中值定理等性质微积分基本定理微积分基本定理牛顿莱布尼茨公式应用-将微分与积分联系起来计算定积分的关键公式计算面积、体积、弧长定积分的值可以通过原函数来求解将原函数在积分上限和下限的差求解物理和工程中的问题广义积分积分区间无限积分性质积分上限或下限为无穷大，或积分区广义积分具有一般定积分性质，如线间包含奇点性性质、可加性等计算方法应用场景利用极限和定积分计算，需注意收敛广义积分应用于求曲线长度、面积、性判定和求值体积、概率等。