导数的计算复合函数的导数课件

导数的计算复合函数的导数-导数的定义导数的定义导数的公式函数fx在x处的导数，是指fx在x处变化率的极限值导数用fx或dfx/dx表示，其公式为fx=limh-0[fx+h-fx]/h导数的性质线性性质导数满足线性性质，即常数倍和加减运算乘积法则两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数商法则两个函数的商的导数等于分母的平方除以分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数基本初等函数的导数常数函数幂函数12常数函数的导数为

0.幂函数y=x^n的导数为y=nx^n-

1.指数函数对数函数34指数函数y=a^x的导数为y对数函数y=logax的导数=a^x*lna.为y=1/x*lna.复合函数的定义函数图像复合函数函数组合在一个函数的定义域内，一个函数的值域与复合函数是指多个函数依次作用的结果，即复合函数的运算符可以是任何函数符号，例另一个函数的定义域重合，则可以将这两个把一个函数的输出作为另一个函数的输入如fgx，其中f和g都是函数函数复合，形成复合函数复合函数求导的一般法则链式法则1设u=ux y=fu则y=f[ux]的导数为求导步骤2先求外函数对内函数的导数，再乘以内函数对自变量的导数复合函数求导的本质是利用链式法则进行推导链式法则可以理解为，求导的过程是将外函数对内函数求导，再乘以内函数对自变量求导，以此类推，直到最终得到复合函数的导数例题求复合函数的导数1Step1确定复合函数的内层函数和外层函数Step2分别求出内层函数和外层函数的导数Step3利用复合函数求导法则，将内层函数的导数乘以外层函数的导数，得到复合函数的导数例题求复合函数的导数2求导函数1已知y=sinx^2+1,求dy/dx.应用链式法则2令u=x^2+1,则y=sinu.求解3dy/dx=dy/du*du/dx=cosu*2x=2x*cosx^2+

1.例题求复合函数的导数3求导1利用链式法则求解复合函数2确定内外函数表达式3明确函数表达式复合函数的隐函数求导隐函数求导方法当一个方程无法直接将y表示成对整个方程两边同时求导，然后x的函数形式时，称为隐函数，利用链式法则求出y对x的导数例如x^2+y^2=1注意在求导过程中，要注意y是x的函数，需要使用链式法则例题求隐函数的导数4步骤1两边求导1对等式两边同时求导步骤2整理2将导数项整理到一边步骤3解出导数3将导数项解出来例题求隐函数的导数5求导对等式两边求导整理将关于y’的项移到一边，其他项移到另一边解方程解出y’化简尽可能化简求出的结果复合函数的高阶导数二阶导数高阶导数链式法则求复合函数的二阶导数，需要先求一阶导数求复合函数的高阶导数，需要重复求导过程求复合函数的高阶导数时，需要使用链式法，再对一阶导数求导，直到达到所需的阶数则，将内层函数和外层函数的导数相乘例题求复合函数的高阶导数6二阶导数1对复合函数求导两次三阶导数2对复合函数求导三次高阶导数3对复合函数求导四次及以上例题求复合函数的高阶导数7已知1y=sinx^2求2y解3y=2xcosx^2y4y=2cosx^2-4x^2sinx^2反函数的导数定义推导12设函数y=fx在区间I上单由复合函数求导法则可得，对调可导且fx≠0，则它的反等式y=fx两边关于x求导函数x=f-1y在区间fI上，得到dy/dx=fx可导，且f-1y=1/fx应用3反函数求导公式可以用来求解一些复杂函数的导数，例如，lnx的导数可以利用expx的反函数求得例题求反函数的导数8123步骤一步骤二步骤三求函数的反函数求反函数的导数将反函数的导数化简例题求反函数的导数9已知1y=fx=x³+2x求2y=f⁻¹x步骤

31.求反函数y=f⁻¹x步骤

42.对反函数求导复合函数求导的应用优化问题物理学经济学寻找函数的最大值或最小值，例如在生产描述物体运动、能量变化等物理现象，例分析市场供求关系、价格变化等经济现象成本、利润最大化等方面如速度、加速度的计算，例如边际成本、边际收益的计算例题复合函数在优化问题中的应用10求解极值1利用导数找到函数的极值点建立模型2将实际问题转化为数学模型应用场景3例如，求利润最大化或成本最小化例题复合函数在优化问题中的应用11问题描述已知某公司生产成本函数为Cx=2x^2+10x，其中x表示产量求该公司生产成本最小时的产量求解思路首先求出成本函数的导数Cx=4x+10，然后令导数为0，解得x=-

2.5结果验证由于生产成本函数是一个二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线，因此在x=-

2.5处取得最小值结论该公司生产成本最小时的产量为x=-

2.5例题复合函数在优化问题中的12应用问题描述已知一个圆形区域，半径为r，求该圆形区域的面积最大值求解步骤将圆形区域的面积公式视为一个复合函数，其中圆形区域的面积S是半径r的函数，而半径r是某个参数的函数，例如时间t利用复合函数的求导法则，求解面积S关于时间t的导数，然后令导数等于零，即可得到面积S的最大值应用场景复合函数在优化问题中的应用非常广泛，例如在生产管理中，如何优化生产成本和利润；在市场营销中，如何优化广告投放策略；在工程设计中，如何优化结构强度和稳定性等复合函数求导的注意事项注意内外函数的求导顺序，先求外函数的导数，再求内函数的导数不要忽略链式法则，它在复合函数求导中至关重要检查导数的计算结果，确保没有错误常见错误及纠正忘记链式法则混淆导数和微分在求复合函数的导数时，忘记应将导数和微分混淆，导致求导公用链式法则，导致结果错误式错误符号错误在求导过程中，符号错误，例如忘记负号或使用错误的符号练习题1求导1复合函数2应用3练习题2求函数y=sinx^2+1的导数1求函数y=ln2x+1的导数2求函数y=e^cosx的导数3练习题3求导1简化2验证3复习与总结导数的概念和计算复合函数求导法则12回顾导数的定义、性质和基本掌握链式法则，并能熟练地求初等函数的导数计算解复合函数的导数隐函数求导应用与拓展34了解隐函数求导方法，并能运理解导数在优化问题、物理学用该方法求解隐函数的导数等领域的应用答疑有疑问吗？举手提问我们一起学习。