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黄金分割
18.2学校:姓名班级考号
一、单选题
1.下列关于X的方程/+%—1=0的说法中正确的是（）A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根，且它们互为相反数c.该方程有一根为L!哲2D.该方程有一根恰为黄金比例
2.已知点C是线段A3的黄金分割点，且AC〉C3,那么下列结论一定正确的是（）A ACA/5-1D BCV5+3CB2AB2「AC3-V5「AC/5-lAB2AB
23.已知点是A3的黄金分割点（48C）,若AB=8厘米，贝ijBC=（）A.1百—4）厘米B.（12—4百）厘米C.（2上—2）厘米D.（6—2石）厘米
4.已知点是线段48的黄金分割点（AP〉M）,A8=10,那么AP的长是（）A.575-5B.5-V5C.5百一1D.
5.如果f=那么上y等于b3a+bA.3:2B.2:5C.5:3D.3:
56.大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割如图P为A3的黄金分割点（APPB）,如果A3的长度为8cm,那么AP的长度是（）A.475-4B.4百一12C.4-475D.
7.大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分害『’的美.如图，P为线段A3的黄金分割点（AP〉PB）.如果A8的长度为10cm,那么AP的长度是（）・•・线段砥的长为（石-1）米.故选B.
10.A【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算.根据黄金比的值为理=或二1求解即可.AB2【详解】解・••点是AB的黄金分割点，即点满足空=£，AP AB••・AP为较长线段，由丝=他=2得=a一葭2=匹一1,AB22故选A.
11.C【分析】根据黄金分割比，可得上半身和全身的比值，求解即可.【详解】解:某人的肚脐眼恰好是他的身高的黄金分割点，且他的上身比下身长，该人的身高约为
1.8米，J他的上身长度约为必二!•XL8B
0.618XL8BL1（米），2故选C.【点睛】此题考查了黄金分割比，解题的关键是掌握黄金分割比的性质.
12.D【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案.【详解】A、形状不相同，大小不同，不符合相似形的定义，故不符合题意；B、形状不相同，大小不同，不符合相似形的定义，故不符合题意；C、形状不相同，不符合相似形的定义，故不符合题意；D、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故符合题意.故选D.【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换.
13.5/5-5/-5+5/5【分析】本题主要考查了黄金分割知识点，根据黄金分割的定义即可求出.【详解】解TC是线段48的黄金分割点，ACBC,钻二10,J=!-X10=55/5-5，2故答案为545-
5.
14.100【分析】本题考查了黄金分割的定义一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点.根据题意，代入数据计算即可.【详解】详解是线段AB的黄金分割点，且，AC2=ABBC.又「以AC为边的正方形ACDE的面积为100,矩形CBFG的长为A8,宽为CB,/.\OO=AC2=AB BC.故答案为
100.
15.V5+1/1+V5【分析】此题考查黄金分割，根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割.【详解】解由题意得AB BC=AC\V AB=AC+BC,BC=2,.AC+2-2=AC2,解得/=指+1，负值已舍去.故答案为石+
1.【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组.由题意知，BP=AB-AP=2-AP,由点P是线A pDOA pO_4D段A3的黄金分割点，可得即整理得A尸-2AP+4=0,计算求出满足要AbAi2Ai求的解即可.【详解】解由题意知，BP=AB-AP=2-AP,丁点P是线段A3的黄金分割点,.AP BPAP2-AP...Hn9即亏;，整理得AP2_2AP+4=O,/i£Ar/\rL解•得AP=—1+逐或AP=—1—石舍去，.BP=2-”=2--1+司=3-石故答案为3—
6.173A/5-320【分析】本题考查了黄金分割，根据比例关系列式计算即可.【详解】解设该兵马俑的眼睛到F巴的距离为何，贝[]_£=叵L
0.32解得尤=拽二2,20故答案为⑶亚
1.
2018.黄金比为避二L.2【分析】本题考查的是黄金分割的含义，本题设线段AB=1,较长的线段AC的长为1,结合图形可得AC5C,结合黄金分割点的含义建立方程求解即可.【详解】解.设线段AB=1,较长的线段AC的长为x,结合图形可得AC〉BC,C是线段A3的黄金分割点，/.AC2=AB-BC,即犬=
1.一%）,解得%=1+,々=」——（舍去负值），.AC x_45-1…南―7一2答黄金比为且二L
219.
（1）（5逐一5）cm；⑵画图见解析；
（3）证明见解析【分析】
（1）根据黄金分割的定义解答即可；
（2）以A圆心，以的长为半径作弧，再以点8为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点C,连接3C,则AABC即为所求；
（3）根据黄金分割的概念和黄金三角形的概念黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，证明即可.【详解】
（1）解丁点是线段A3的黄金分割点，若・•・AD=^―!-AB=（575-5）cm，2故答案为（5A/5-5）cm；
（2）以A圆心，以AB的长为半径作弧，再以点3为圆心，AO的长为半径作弧，两弧交于点C,连接3C,则AABC即为所求；3证明由1得，点是线段48的黄金分割点，・•・底边=AB,2・•・BC=^―5-AB2・•・三角形ABC是黄金三角形.【点睛】此题考查了黄金分割的定义，根据条件作三角形，黄金三角形的作法，熟知黄金三角形的定义是解题的关键.
20.⑴好担2⑵矩形OCEb为黄金矩形，理由见解析3点D到线段AE的距离为叵±受4【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键.1根据必=避二L AB=1,即可求解；BC22先求出ED=EC=AQ-A/=叵］，再求出”的值，即可得出结论；2EF3连接过作石于点G,根据==1,一=叵止，得出AE=，仔+仔=母,再根据SAa=JxAOxM=；xAExQG，即可求解.【详解】1解・・・这=1二1,48=1,BC2AB_1_V5+1，石-石-丁，22故答案为正士1；22解矩形斯为黄金矩形，理由是由1知==2，FD=EC=AD-AF=^^-1=^^-,・DF逐一I逐一1EF22故矩形QCM为黄金矩形；
（3）解连接DE,过作GJLA石于点G、X//\//、/////\✓B EC图
②•AB=EF=\,AZ二或土L2••AE=A/12+12=V2,在Z\AED中，S=~x AxEF=—x AExDG,2AED^\i ADxEF=AExDG,则好±lxl=@DG,2解得G=叵土正，4而十二••・点D到线段AE的距离为
421.这双高跟鞋合适，理由见解析.【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答.【详解】解这双高跟鞋合适，理由如下104+6=110cm,68:110^
0.618=
0.618:1,答这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比.
22.⑴20厘米；
（2）（46+4）元.【分析】
（1）根据宽与长的比值等于黄金分割比列出算式即可求解；
（2）求出矩形画框的面积，进而即可解决问题；本题考查了黄金分割，二次根式的运算，熟知黄金分割的定义是解题的关键.【详解】
（1）解:矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为（1石+1）厘米,■\/5—1・••矩形画框的宽为x104+10=20厘米;
（2）解矩形画框的面积为20x（10不+10）=200百+20（平方厘米），・•・矩形画框的材料成本为.02x（2006+200）=（45万+4）元，答生产一个该画框所需要的材料成本为（46+4）元.
23.
（1）见解析230-1075S BDS CDAnnArn【分析】⑴先由等局的两个三角形面积之比等于底之比’可得暧葭‘姿=访’又因为S§RD CD厂也=产，等量代换得出盥=胃，根据黄金分割点的定义即可证明是的黄金分割点;、75力CD3ABC ABDBC DU
（2）由
（1）知力；=—，那么亚匚3C,DC=BC-BD=BC-BC=BC,又BC BD等高的两个三角形面积之比等于底之比》=宴=上手，将S.c=20代入，即可求出ACD的S BC2ABCBD CD©ABD【详解】
（1）证明•・qBC S~BABD□ABC又.qsABD UACO飞qABC°ABD面积..BD CD9~BC~~BD是3c的黄金分割点;
（2）解由
（1）知警=黑JDC BD，-亚,DC=BC-BD=BC-BC=BC,•:SACDJD=3S BC2ABCAS心=士3S ABC=三320=30—
106.AC Z-z2/*oC2【点睛】本题考查了黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（且U）叫做黄金比.也考查了三角形2的面积.
24.见解析【分析】在AB上截取AE=A，DF=AD,连接所，则易证四边形AEED是正方形,然后求出-人挈仁仁起」BC,可得矩形5CFE的长与宽的比是黄金分割比，进而得证.【详解】证明在上截取AE=AD,DF=AD,连接E尸，则9AE〃DF,D FC，四边形A£ED是平行四边形，，AD=EF,.\EF=AD=AE=DF,又ZA=90°,E B・•・四边形AEFD是正方形，,:AB=^J^BC,AE=AD=BC,2;BE=AB-AE=匕且BC-BC=避二^BC,22,BC2V5+1BE75-12・•.矩形BCFE的长与宽的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形，・,.黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.【点睛】此题考查了黄金分割比的意义，矩形的性质，正方形的判定和性质，分母有理化.正确理解黄金矩形的定义是解决问题的关键.ABA.（5/5-5）15-5V5）cm C.
6.18cmcm B.
8.2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感.如图，若点可看作是线段AB的黄金分割点（ACCB）,B.15-V5C.15+75D.5石+5AB=10cm,则8C的长为（）cm.
9.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作所将矩形窗框A5CD分为上下两部分，其中E为边A5的黄金分割点，即3石2=AE.AB.已知43为2米，则线段的的长为（）.A.5旧一5E-----------------------------------FBA.1二1米B.米C.叵I米D.县2米2v
72210.如图，点P是A3的黄金分割点，即点满足空=二，若AB=2,则AP的长为（）AP ABA.y/5—1B.6+1C.逐+2D.
0.618A PB
11.肚脐眼是人上下身的分界点，已知某人的肚脐眼恰好是他的身高的黄金分割点，且他的上身比下身长，若该人的身高约为L8米，则他的上身长度约为（）（精确到
0.1米）A.
0.9米B.
1.0米C.L1米D.
1.2米
12.下列图形中，属于相似图形的是（）
二、填空题
13.已知，C是线段的黄金分割点，ACBC,若钻=10,则AC=.
14.如图，点C是线段A3的黄金分割点（即g=类），若以AC为边的正方形A8E的面积为AC AB100,则长为A3,宽为CB的矩形C39G的面积为.A CB
15.点C是线段AB的黄金分割点（ACBC）,若BC=2,贝UAC=
16.已知点P是线段的黄金分割点（AP〉3P）,如果舫=2,那么族的长是.
17.“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为避二L若如图所示的兵马俑头顶2到下巴的距离为
0.3m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为m.
三、解答题Ar
18.如图，点C是线段A3的黄金分割点，计算线段48的黄金比去的值.AB
19.已知，点O是线段A3的黄金分割点，若1」」A DB1若AB=10cm,贝ijAD=；2如图，请用尺规作出以A8为腰的黄金三角形ABC；⑶证明你画出的三角形是黄金三角形.
20.巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是县12图
①图
②的矩形，我们将这种宽与长的比是避二■的矩形叫黄金矩形,如图
①，已知黄金矩形CD的宽AB=
1.2⑴黄金矩形/WS的长3C=_；2如图
②，将图
①中的黄金矩形裁剪掉一个以A3为边的正方形AB£F,得到新的矩形跖，猜想矩形OCE尸是否为黄金矩形，并证明你的结论；3在图
②中，连接AE,求点到线段AE的距离.
21.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例.人体上半身长和下半身长的黄金比为
0.618:1,这时人的身长比例看上去更美观.乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋.依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由.
22.黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比且二1也被称作是最美比例关系.某艺术品公司生产了一款长方2形的画框，测量发现该矩形画框的长为（1石+1）厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比.⑴求该矩形画框的宽；⑵生产画框所用的材料单价为
0.02元/cn,则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号）s s
23.VA3C中，是BC上一点，若d=L，则称A为VA3C的黄金分割线.J ABC3ABD⑴求证若A为VA5C的黄金分割线，则是3C的黄金分割点;⑵若S ABC=20,求48的面积.（结果保留根号）
24.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形CD中，当咏时,称矩形A3C为黄金矩形A3c.请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.C参考答案:题号12345678910D DB AB A AAB A答案题号1112C D答案
1.D【分析】利用一元二次方程根的判别式可判断A,利用根与系数的关系可判断B,利用方程解的含义可判断C,D,从而可得答案.【详解】解A、一4x1x—1=1+4=50,，方程/+I-1=有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；B、方程两根的和为-1,它们不互为相反数，此选项不符合题意；C、把工=1±2，5代入/+%_]=0,方程左右两边不相等，故此选项不符合题意；2D、把/=逆二代入f+x—i=o,满足方程，故此选项符合题意.2故选D.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握“一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系”是解本题的关键.
2.D【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.由黄金分割点的定义得生=生=避二L即可得出结论.AB AC2【详解】解・••点C为线段48的黄金分割点，且AC〉C8,•AC BCV5-1■•---==,AB AC2故选项D符合题意，故选D.
3.B【分析】根据黄金分割的定义可得3C=三且A5,进行计算即可解答.2【详解】解由题意知BC=上正AB=士正义8=12—4拈（厘米），22故选B【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割是解题的关键.
4.A【分析】本题考查黄金分割点的概念.根据黄金分割点的定义，知”是较长线段；则AP=避二IAB,2代入数据即可得出4尸的长.【详解】解由于P为线段A5=10的黄金分割点，且AP是较长线段，2故选A.
5.B【分析】根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）和合比定理【如果ab=c d,那么（a+b）b=（c+d）d（b、埠0）］解答并作出选择.【详解】,・•，二的两个内项是b、2,两外项是a、3,.b_3••・根据合比定理，得a+b2+3574-/75——二~^=7,即——二7；a22a2同理，得故选B.【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题关键.
6.A【分析】本题考查了黄金分割，正确记忆黄金分割的概念是解题关键.利用黄金分割的定义列式计算出AP即可.【详解】解为的黄金分割点（AP明，・•・AP=^^AB=^^xS=4y/5-4（cm）,故选A.
7.A【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.【详解】解P为A3的黄金分割点（APP3）,AB=10cm,\AP=^^AB=^^~（5^-5）cm,故选A.
8.A【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.【详解】解点C可看作是线段”的黄金分割点6CCB）,AB=10cm,・•.BC=避二!■AB=避二!•X1O=（5A/5-5）cm,22故选A
9.B【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割.设=则AE=（2—x）,根据BE2=A石・AB求出x的值，即可求解.【详解】解析石2=A£.A3，设=则AE=（2—尤），;AB=29工2=2（2-x）,即f+2x-4=0,解得西=—1+石，=-1—石（舍去），。
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