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第三章数据的集中和离散程度学校:姓名班级考号
一、单选题
1.某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位次）.将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）.该样本的中位数落在（）第一组第二组第三组第四组第五组组别70〜9090〜110110~130130~150150~170人数41417105A.第二组B.第三组C.第四组D.第五组
2.在一次数学考试中，某班第一小组14名学生与全班平均分80的差是2,3,-3,-5,12,14,10,4,-6,4,-11,-7,8,-2,那么这个小组的平均成绩约是（）A.90分B.82分C.88分D.
81.64分
3.一组数据
1、
2、
3、
4、
5、15的平均数和中位数分别是（）A.
5、5B・
5、4C.
5、
3.5D.
5、
34.考察五位学生的学习情况，得到五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误将最好成绩写得更高了.计算结果不受影响的是（）A.中位数B.加权平均数C.方差D.平均数
5.在“书香文游”知识竞赛中，某校30名学生的成绩统计如下，则该校学生成绩的中位数是（）成绩/分80859095100人数79491A.85分B.87・5分C.88分D.90分
6.如图，一个转盘被分成4等分，每份内均标有数字，旋转这转盘5次，得到5个数字，经统计这A.中位数一定是2B.众数一定是2所以将最好成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数，故选A.【点睛】本题主要考查方差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义.
5.A【分析】本题主要考查了求中位数.根据中位数的定义“把一组数据从大到小（或从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数”，即可求解.【详解】解根据题意得，一共有30名参赛选手，把成绩从低到高排列后位于第15位和第16位的均为85分，Q5I Q5・••参赛选手成绩的中位数是也薯=
85.2故选A
6.C【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，根据中位数、众数、方差的定义判断即可得出答案.【详解】解当这列数为1,1,1,3,4时，平均数为1+1+3+4=2,中位数为1,众数为1,方差为（1—2）2+（1—2）2+（1—2）2+（3—2）2+（4—2）2=]6,故人、不符合题意；R52+2+2+2+2当这列数为2,2,2,2,2时，平均数为；=2,中位数为2,众数为2,方差为（2一2『+（2-2『+（2一2）2+（2-2『+（2一疝=0,故D不符合题意；5故选C.
7.C【分析】根据中位数的定义求解即可.【详解】该地这8天最低温度的中位数是空竺=
19.2故选C.【点睛】本题考查求中位数.注意数据为偶数个时，中位数为按顺序排列的最中间的两个数的和的平均值.
8.A【分析】本题考查了中位数与众数的定义，掌握中位数与众数的定义是解题的关键，中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.先把把数据由小到大排列，然后根据众数和中位数的定义求解.【详解】解把数据由小到大排列为-I,-3,-4,-4,-4,-5,-5,最低气温中，-4出现次数最多，共3次，故最低气温的众数是-4,最中间的数是第4个数，是T；故选A.
9.C【分析】根据众数的定义分别进行求解即可.【详解】解・・・18出现了3次，出现的次数最多，・••这组数据的众数是18；故选C.【点睛】此题考查了众数即一组数据中出现次数最多的数.
10.C【分析】本题考查了众数的定义，掌握在一组数据中出现次数最多的数据是众数是解题的关键；根据众数的定义求解即可；【详解】四个数据5%、3%、
2.5%、3%中3%出现的次数最多，，众数是3%,故选C.
11.B【分析】根据方差是反映一组数据波动程度的统计量可以作出判断.【详解】由于乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差，且两人的平均成绩相等地，故乙同学的成绩更稳定.故选B.【点睛】本题考查了反映一组数据波动程度的量一方差，方差越小，数据的波动程度越小，反之则波动程度越大，解答本题的关键是掌握方差这一特征.
12.D【分析】对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可.【详解】解由平均数定义可知!4+%+%+0+%+%=!*5]=3;666将这组数据按从小到大排列为，%，4,4,“6；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数.J其中位数为包善.2故选D.【点睛】本题考查了平均数和中位数的定义.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数.
13.
14.5【分析】根据中位数的定义，把40名同学按照年龄从小到大的顺序排列，求出第20名与第21名成员年龄的平均数就是这个小组成员年龄的中位数.【详解】解从小到大排列后，中间的两个人的年龄为14岁，15岁，・•・中位数为空”=
14.5岁，2故答案为
14.
5.
14.2【分析】先根据表格中的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数.【详解】解估计该校八年级学生4月份人均读书（0x9+1x3+2x20+3x15+4x3）+50=2（册），由此估计该校八年级学生4月份人均读书2册.故答案为
2.【点睛】本题考查的是加权平均数的计算方法，通过样本去估计总体，总体平均数与样本平均数近似相等.
15.2【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况xLlx3,3xv6,x26时，分别列出方程，进行计算即可求出答案.【详解】解当时，众数与平均数相等，则得到%x+3+l+6+3）=3,解得x=2（舍去）；当lx3时，众数与平均数相等，则得到%x+3+l+6+3）=3,解得x=2；当3Wx6时，众数与平均数相等，贝U得至Ug（x+3+l+6+3）=3,解得x=2（舍去）；当时，众数与平均数相等，则得到（）X+3+1+6+3=3,解得X=2（舍去）.所以x的值为
2.故答案为
2.【点睛】本题考查平均数和中位数.求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大或按从大到小的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数.同时运用分类讨论的思想解决问题.
16.［或6【详解】:一组数据2,3,4,5,x的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等，,这组数据可能是23,4,5,6或1,2,3,4,5,Ax=l或6,故答案是1或
6.
17.乙【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.根据方差的意义进行判断即可.【详解】解•••
6.
55.4,・••成绩较稳定的是乙.故答案为乙.
18.1平均数都是
13.3,极差是
0.2,方差是
0.02；2小明同学的成绩较为稳定，但是他的最高成绩没有小亮高，爆发力不够，有待提高.而小亮同学爆发力还行，但是成绩不稳定，需加强【分析】1根据平均数、方差的定义及算法，即可解答；2根据方差的意义和各自的得分分别进行分析即可.【详解】解1小明的平均数是-
13.3+
13.4+
13.3+
13.2+
13.3=
13.3；极差是
13.4-
13.2=
0.2；小亮的平均数是-
13.2+
13.4+
13.1+
13.5+
13.3=
13.3；方差是2222M=
0.02；5L-2小明同学的成绩较为稳定，但是他的最高成绩没有小亮高，爆发力不够，有待提高.而小亮同学爆发力还行，但是成绩不稳定，需加强.【点睛】此题考查了读折线统计图的能力以及平均数，方差的意义.平均数平均数表示一组数据的平均程度;方差是各变量值与其均值离差平方的平均数,它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法.
19.1B⑵
96383.5；
82.6分⑷120人【分析】1根据统计表和统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意；2根据题目中的数据，可以写出“90100”这组的数据的众数；3根据题目中的数据，可以计算出中位数和平均数；4根据题目中的数据，可以计算出全校1200名学生中获奖的人数.【详解】1解样本为〃名学生的竞赛成绩，故选项A错误，不符合题意；〃=8+16%=50,则a=50x24%=12,故选项3符合题意；m=l-16%-24%-20%=40%,故选项C错误，不符合题意；故选B；2解:90x«100”这组的数据如下90,92,93,95,95,96,96,96,97,
100.・•・“904％4100”这组的数据的众数是96；3解随机抽取的这〃名学生竞赛成绩的中位数是83+84+2=
83.5,平均分是—x65x8+75xl2+50x40%x88+95xl0=
82.6分；4解1200x2=120人，答估计全校1200名学生中获奖的有120人.【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
20.12,25,26⑵光明中学的学生理化生实验操作的总体水平较好，理由见解析⑶两所学校的学生理化生实验操作的优秀率不是很高，应该加强学生的动手能力【分析】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义意义是解题的关键.1用调查总人数为30人减去除得分为25分的人数，即可求出，的值，根据中位数和众数的定义可得虫c的值；2先分别计算出两校的优秀率，根据优秀率来解答即可；3用样本优秀率解答即可.【详解】1解a=30-3+2+5+6+4+3+3+2=2；清明中学学生得分为25分的人数较多，故清明中学学生得分众数为25,.=25；光明中学学生得分从小到大排列，第14位和15位的得分都是26分,故光明中学学生得分中位数26,故答案为2,25,26；
（2）解清明中学的优秀率为牛产乂100%=20%；光明中学的优秀率为亘萨X100%
26.7%；26%20%,・•・光明中学的学生理化生实验操作的总体水平较好;
（3）解由
（2）知，两所学校的学生理化生实验操作的优秀率不是很高，应该加强学生的动手能力.
21.1/71=166,几=165；
（2）甲组3170,172【分析】
（1）根据中位数和众数的定义求解即可;
（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可;32
（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于结合其余学生的身高即可做出选择.9【详解】
（1）解将这组数据按照从小到大的顺序排列为161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175,出现次数最多的数是165,出现了3次，即众数〃=165,16个数据中的第8和第9个数据分别是166,166,・••中位数”=*咂=166,.•.7%=166,72=165；2解甲组身高的平均数为,162+165+165+166+166=
164.8,甲组身高的方差为-[162-
164.82+165-
164.82+165-
164.82+166-
164.82+166-
164.82=
2.16乙组身高的平均数为,161+162+164+165+175=
165.4,乙组身高的方差为|161-
165.42+162-
165.42+164-
165.42+165-
165.42+175-
165.42]=
25.04,・••舞台呈现效果更好的是甲组,故答案为甲组；3解168,168,172的平均数为,168+168+172=169」32•••所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于9，9•••数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有170,172,且选择170,172时，平均数会增大，故答案为170,
172.【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义方差越小数据越稳定是解题的关键.
22.⑴见解析22,232280L【分析】本题考查了数据统计与分析；1统计随机抽取的25位学生平均每天的饮水量中，平均每天的饮水量为2L、
2.5L的人数，再补全条形图；2根据众数和中位数的定义分别求解即可；3根据调查的25人的平均每天的饮水量乘以总人数即可解答.【详解】1解随机抽取的25位学生平均每天的饮水量中，平均每天的饮水量为2L的有8人,2解随机抽取的25位学生平均每天的饮水量中出现次数最多的是2,故众数是2把这组数据从小到大排列后，第13个是2,故中位数为2,故答案为2,2；31200名学生平均每天的饮水总量=1200xi2=1200x
1.9=2280L..十十‘
23.1见解析2
（2）-,推荐甲参加比赛更合适，理由见解析【分析】此题主要考查了中位数的定义，平均数的求法以及方差的求法和方差与稳定性之间的关系:
（1）根据平均数、中位数的定义，结合图表数据，即可完成表格；
（2）根据平均数，以及方差公式求出甲六次测试成绩的方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可.【详解】
（1）解将甲的成绩从小到大排列为8,8,9,9,10,10,处在最中间的两个数分别为
9、9,Q1Q・••甲的中位数为k=9,2十,人/4位8+8+9+9+10+10八甲的平均数为--------------------------=9；
6、FL r出33*/土、I I10+10+8+10+7+X占力/日八设乙缺失的成绩为羽则------------------------------=9,解得了二9,6把乙的成绩从低到高排列为7,8,9,10,10,10,处在最中间的两个数分别为
9、10,，乙的中位数为二3=
9.5,2填表如下选手选拔成绩/环中位数平均数甲1098810999乙
1010810799.59⑵解甲的方差为2x（8—91+2°一9）2+2x（l°—9）2=2,63・•2±,3§，•二甲的方差小于乙的方差，・•・两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明中发挥较为稳定,故推荐甲参加比赛更合适.
24.
（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
10.16【分析】
（1）根据方差的计算公式分别求出两组数据的方程进行比较即可；
（2）利用完全平方差公式对式子进行整理即可证得结论；
（3）根据
（1）和
（2）的结论进行计算即可.【详解】
（1）证明设4，x,・・.，%的平均数为力方差为S2；xi—a,X2-a,初-a的平均数2C.方差一定小于2D.方差一定大于
17.某地连续8天的最低气温统计如表，该地这8天最低温度的中位数是（）最低气温（℃）14201825天数1322A.14B.18C.19D.
208.郑板桥有诗《山中雪后》云“晨起开门雪满山，雪晴云淡日光寒描绘了一幅冬日山居雪景图.想感受冬日山居雪景的小颖密切关注寒假期间成都某山区一周的最低气温（℃）以便出行，该山区某周的最低气温预报如下星期四五六日—•—*-4—5-4—5-3—1-4最低气温（℃）则最低气温的众数、中位数分别是（）A.-4,-4B.-4,-5C.-5,-3D.-5,-
49.某城市3月份某星期7天的最低气温如下（单位℃）16,20,18,16,18,18,17,这组数据的众数是（）A.16B.17C.18D.
2010.李强总理在政府工作报告中指出2024年国内生产总值增长5%左右，居民消费价格涨幅3%左右，单位国内生产总值能耗降低
2.5%左右，财政赤字率拟按3%安排.以上这四个数据5%、3%
2.5%、3%中,众数是（）A.
2.5%B.4%C.3%D.5%
11.某老师对班上甲、乙两位同学五次数学成绩进行统计，两人平均成绩均为115分，甲同学成绩的方差为15,乙同学成绩的方差为10,则下列说法正确的是（）A.甲同学的成绩更稳定B.乙同学的成绩更稳定C.甲、乙两位同学的成绩一样稳定D.不能确定两位同学的成绩稳定性
12.已知5个正数知知av%的平均数是且囚＞2＞3＞4＞5，则数据3%,%，，a5的平均数和中位数是（）生B.a,3A.a,厂52+%C.-a,———162
二、填空题
13.某校数学兴趣小组有40名成员，13岁的有3人，14岁的有17人，15岁的有18人，16岁的有2人，则该数学兴趣小组成员年龄的中位数是.
14.每年的4月23日是“世界读书日:某校为了解4月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，由此估计该校八年级学生4月份人均读书一册.册数01234人数
932015315.若一组数据居3,1,6,3的平均数和众数相等，则x的值为.
16.若一组数据2,3,4,5,x的方差与另一组数据5,678,9的方差相等，则.
17.甲、乙两位同学在本学期的几次数学测试中，他们成绩的平均数相等,方差分别为*=
6.5,4=
5.4,则成绩较稳定的是（填“甲”或“乙”）.
三、解答题
18.郑州市开展了“中学生阳光体育运动”，小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组.在5次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题.
（1）请根据图中信息，分别计算他们的平均数、极差和方差填入表格平均数极差方差小明—
0.004小亮—
0.
419.2022年末，中国迎来第一波疫情高峰.为加强同学们的防护意识，某校举行了以“疫情防护’为主题的知识竞赛活动.发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取〃名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据其中“80Wxv90»这组的部分数据（从小到大排序）如下:80,82,82,83,83,84,85,85,85,86,87,87,87,88,88其中“90%100这组的数据如下90,92,93,95,95,96,96,96,97,
100.竞赛成绩分组统计表组别竞赛成绩分组频数平均分160x70865270x80a75380x90b88490x1001095竞赛成绩扇形统计图根据以上信息，回答下列问题
（1）下列说法正确的是_____.A.样本为几名学生B.a=12C.m=40
（2）“904x4100»这组的数据的众数是_______.⑶随机抽取的这〃名学生竞赛成绩的中位数是_______:平均分是⑷若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数.
20.清明中学与光明中学九年级各有600名学生，为了解学生理化生实验操作的情况，两个学校各自随机抽取30名学生进行模拟考试，并将考试成绩（满分30分）进行整理、描述，如图1,图2所示.清明中学学生模拟考试成绩条形统计图图1光明中学学生模拟考试成绩频数分布表分数222324252627282930频数325a64332图2分析数据，得到以下统计量:平均数众数中位数清明中学
25.8b26光明中学
25.926C根据以上信息，回答下列问题⑴=，,b—c=⑵若模拟考试成绩不低于28分为优秀，请你结合以上数据和优秀率来分析哪个学校的学生理化生实验操作的总体水平较好，并说明理由.⑶针对两所学校的数据，请你提出一些合理的建议.
21.某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位cm）,数据整理如下:以16名学生的身高161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175人.16名学生的身高的平均数、中位数、众数平均数中位数众数
166.75m n⑴写出表中〃2,〃的值；⑵对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断:在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是_______（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168,168,172,他们32的身高的方差为三.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的32五名学生的身高的方差小于苛,其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和.
22.水是人体细胞的主要成分之一.喝水是维持生命体新陈代谢的重要一环，科学饮水很重要.某实践小组想了解全校学生喝水情况，随机抽取该校25位学生调查他们平均每天的饮水量（单位L）.【数据收集】随机抽取的25位学生平均每天的饮水量1,1,
1.5,2,1,2,1,
1.5,
2.5,
2.5,3,
1.5,
1.5,2,
1.5,252,2,2,
2.5,2,
2.5,3,2,
1.5【数据整理】将收集的数据进行整理统计并绘制了如图所示不完整的统计图饮水量/L【任务要求】请根据以上信息解答下列问题:⑴请补全条形统计图;⑵所抽取学生平均每天饮水量的众数是_________L,中位数是____________L；⑶该校共有1200名学生，请你估计这1200名学生平均每天的饮水总量.
23.市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如表:选手选拔成绩/环中位数平均数甲10988109乙101081079⑴把表中所空各项数据填写完整;4⑵已知乙六次测试成绩的方差为计算甲六次测试成绩的方差，根据你的计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由
24.设最是不和…Z的平均数，即1=西十%+…，则方差s2=Ux「小+3―」+.+区一42n nL它反映了这组数的波动性，1证明对任意实数，xi—a,X2—，・・.，xn-a,与x/,必・•.，加方差相同；1r-—22证明$2=—「X；++…+X〃2—X;L-」3以下是我校初三1班10位同学的身高单位厘米169,172,163,173,175,168,170,167,170,171,计算这组数的方差.参考答案:题号23456791018B DC AA C C ACC答案题号1112B D答案
1.B【分析】根据表格中的数据，可以计算出抽取的学生人数，然后即可得到中位数落在哪一组.【详解】解4+14+17+10+5=50,偶数个数据中位数为中间两个数的平均值，第25和26个数据在第三组，・•・中位数在第三组，故选B.【点睛】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义及求法.
2.D【分析】运用求平均数公式求出第一小组的14名同学的成绩与全班平均分的差的平均值，再加上全班的平均成绩，即得这个小组的平均成绩.【详解】2,3,-3,-5,12,14,10,4,-6,4,-11,78,-2的平均数为24-3-3-5+12+14+10+4-6+4-11-7+8-2^14=
1.
64.则这个小组的平均成绩是80+
1.64=
81.64分.故选D.【点睛】考查的是平均数的求法.熟记求平均数的公式是解决本题的关键.
3.C【分析】根据平均数和中位数的定义进行求解结合选项即可得正确答案.【详解】解这组数据按从小到大的顺序排列为
1、
2、
3、
4、
5、15,故平均数为1+2+3+4+5+15-6=5,中位数为3+41=
3.5,故选C.【点睛】本题考查了中位数和平均数，熟练掌握平均数与中位数的概念以及求解方法是解题的关键.
4.A【分析】根据中位数的定义解答即可.【详解】因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，。
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