平面向量的坐标运算课件苏教版必修

平面向量的坐标运算平面向量坐标运算是在平面直角坐标系中进行的它将向量转化为坐标形式，方便进行向量加减、数乘、数量积等运算，便于解决几何问题认识平面向量平面向量是数学中重要的概念之一，它不仅能描述物体的运动方向，也能描述物体的长度和大小学习平面向量，能够帮助我们更深入地理解数学中的几何问题平面向量可以看作一个有大小和方向的量，它可以用一个箭头表示，箭头的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向平面向量的定义几何对象用箭头表示

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2.12具有大小和方向的量，可以用箭头的长度表示大小，箭头指来表示位移、速度、力等物理向表示方向量相等向量

3.3具有相同大小和方向的向量是相等的平面向量的表示在平面直角坐标系中，可以使用坐标来表示向量向量的坐标可以用它的起点和终点的坐标来表示$\overrightarrow{AB}$A B向量的坐标为，其中$\overrightarrow{AB}$$x_2-x_1,y_2-y_1$是起点的坐标，是终点的坐标$x_1,y_1$A$x_2,y_2$B零向量零向量定义零向量性质数乘零向量零向量是长度为零的向量，其方向没有定义任何向量与零向量相加，结果仍为该向量任何实数与零向量相乘，结果仍为零向量单位向量方向相同，长度为的向量称为单位向量1单位向量用于表示方向，方便计算和分析任何非零向量都可以通过将其除以其模长得到单位向量向量的加法定义1两个向量相加，其结果仍然是一个向量几何表示2将两个向量首尾相接，连接第一个向量的起点和第二个向量的终点，所得向量即为它们的和向量平行四边形法则3将两个向量作为平行四边形的两条相邻边，则它们的和向量就是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量的加法性质交换律结合律向量加法满足交换律也就是说，两个向向量加法满足结合律也就是说，三个或量的加法结果与它们的顺序无关更多个向量的加法结果与它们的运算顺序无关向量的减法定义向量减去向量，实际上是向量加上向量的相反向量即a b a b a-b=a+-b几何意义向量减去向量的结果，是从向量的终点指向向量的终点的向量a bb a坐标运算设向量，向量，则a=x1,y1b=x2,y2a-b=x1-x2,y1-y2例子向量减去向量，结果为3,21,13-1,2-1=2,1向量的减法性质交换律结合律向量减法不满足交换律即向量减法满足结合律即a a--b≠b-a b-c=a-b-c零向量相反向量，即向量减去自身等于，即向量减去a-a=0a-b=a+-b零向量一个向量等于加上该向量的相反向量数乘向量定义1将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量几何意义2改变向量的长度，方向保持一致或反向运算3将向量的每个分量乘以实数性质4满足分配律、结合律和交换律数乘向量是一种重要的向量运算，它可以改变向量的长度和方向通过数乘，我们可以对向量进行缩放、反转等操作在实际应用中，数乘向量在物理学、工程学等领域都有广泛的应用数乘的性质结合律分配律加法运算的性质数乘向量与向量的长度关系，其中，，其中结合律λμa=λμaλμλa+b=λa+λbλ

1.:a+b+c=a为实数，为向量为实数，，为向量交换律，其中为实数a a b+b+c;

2.:a+b|λa|=|λ||a|λ，为向量=b+a a向量的内积定义1两个向量的内积，定义为几何意义2两个向量的内积，等于代数运算3两个向量的内积，可以通过向量的内积，可以用来求两个向量的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的投影向量的内积的性质交换律分配律数乘结合律平方公式向量内积运算满足交换律，即向量内积运算满足分配律，即向量内积运算满足数乘结合律向量内积运算满足平方公式，，即即a·b=b·a a+b·c=a·c+b·c ka·b=ka·b a²=a·a=|a|²向量的模定义计算公式向量的大小称为向量模，用表示向量在直角坐标系中，向量的模为|a|a=x,y|a|的模表示向量在空间中的长度=√x²+y²几何意义性质向量的模等于向量起点到终点的距离向量模为非负数，零向量的模为向量0a和的模相等-a向量的模的性质模的平方性质模的非负性向量模的平方等于其坐标平方和，可用于计算向量模是一个非负实数，表示向量长度，不会向量长度出现负值模的比例性零向量的模数乘向量模等于数的绝对值乘以原向量模，可零向量的模为零，因为零向量的长度为零用于计算缩放后的向量长度向量的正交分解定义1将一个向量分解成两个相互垂直的向量的过程，称为向量的正交分解步骤2选择一个合适的坐标系，将向量投影到坐标轴上，得到两个投影向量，即正交分解后的两个向量应用3正交分解可以简化向量运算，方便解决各种几何问题，例如求向量模长、计算向量夹角、求向量投影等向量的坐标表示坐标系横坐标和纵坐标

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2.12在平面直角坐标系中，向量可向量的横坐标表示向量在轴x以用其起点和终点的坐标来表上的投影长度，纵坐标表示向示量在轴上的投影长度y坐标表示

3.3向量用一对有序实数来表示，其中是横坐标，是纵坐标x,y x y向量的加法和减法图形表示平行四边形法则1三角形法则坐标表示2对应坐标相加减性质3交换律、结合律向量加法和减法是平面向量基本运算，可以进行图形表示和坐标表示图形表示可以利用平行四边形法则或三角形法则，而坐标表示则是对应坐标相加减向量加法和减法满足交换律和结合律向量的数乘定义一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量，称为向量的数乘1运算2数乘向量的结果是一个新的向量，其方向与原向量相同或相反，其长度为原向量长度的倍k性质3数乘向量满足分配律、结合律、单位元、零元等性质向量的数乘是向量运算中常用的运算之一，在几何和物理中都有重要的应用它可以用来改变向量的长度和方向，在空间中进行旋转和缩放等操作向量的内积定义几何意义坐标表示性质两个向量的内积定义为向量在向量上的投影长度设，，，aba=x1,y1b=x2,y2a·b=b·a a·b+c=a·b+a·c，其中为两乘以向量的模长，则，a·b=|a||b|cosθθba·b=x1x2+y1y2ka·b=ka·ba·a=|a|²个向量之间的夹角平面向量在直角坐标系中的表示在直角坐标系中，一个向量可以用一对有序实数来表示，这对实数称为向量的坐标坐标的第一个实数代表向量在轴上的投影长度，第二个实数代表向量在轴上xy的投影长度例如，向量，表示向量在轴上的投影长度为，在轴上的投影长度a=3,4a x3y为4平面向量的几何意义长度和方向位移平面向量可以用长度和方向来表示，它代表一个有大小和方向的量向量可以用来表示物体在平面中的位移，它表示物体移动的方向和距离力速度向量可以用来表示力的大小和方向，它代表作用在物体上的力向量可以用来表示物体的速度，它表示物体运动的方向和速度平面向量的代数性质加法交换律加法结合律a+b=b+a a+b+c=a+b+c数乘结合律数乘分配律kla=kla ka+b=ka+kb平面向量的基本定理线性组合唯一性意义

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3.123任何一个平面向量都可以表示为两个在已知基向量的情况下，线性组合的基本定理是平面向量运算的基础，可不共线向量（基向量）的线性组合系数是唯一的以简化向量运算，使运算更加直观平面向量在直角坐标系中的几何运算向量的加法1首尾相接向量的减法2平行四边形法则数乘向量3方向改变或保持不变向量的模4利用勾股定理平面向量在直角坐标系中进行几何运算，需要结合向量的几何意义和坐标表示通过图形和坐标的结合，可以更加直观地理解和掌握向量的加法、减法、数乘和模的运算平面向量在直角坐标系中的代数运算向量的加减法平面向量在直角坐标系中，可以用坐标表示，因此可以进行加减法运算向量的加减法运算满足平行四边形法则，可以用坐标的形式来表示向量的数乘将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量，其大小为原向量的倍数，方向与原向量相同或相反，可以用坐标表示向量的内积平面向量在直角坐标系中，可以通过坐标计算它们的内积，可以用坐标的形式来表示向量在物理中的应用力学电磁学力是向量，具有大小和方向电场和磁场都是向量场，可以用来描述电荷和电流的相互作用向量可以用于描述力的合成和分解向量可以用于分析电路中的电流和电压向量可以帮助我们分析物体的运动轨迹和速度向量可以帮助我们理解电磁波的传播方向向量在数学中的应用解析几何线性代数微积分向量是解析几何中常用的工具，用于表示点向量空间是线性代数的基本概念，向量是线向量场是微积分中重要的概念，用于描述流、直线、平面等几何对象性空间中的元素体运动、电磁场等物理现象课程总结本节课学习了平面向量的坐标运算，包括向量的加法、减法、数乘、内积等运算掌握了平面向量的坐标表示方法，以及向量在直角坐标系中的几何运算和代数运算。