高中数学函数的极值与导数课件苏教版选修

高中数学函数的极值与导数导数是微积分中的基本概念，它可以帮助我们理解函数的变化趋势在高中数学中，导数主要用于研究函数的极值问题，即求函数的最大值和最小值函数概念回顾定义域值域12自变量取值的范围，决定了函数输出值的范围，即因变函数的定义域量的取值范围对应关系图像34每个自变量值对应唯一的因函数的图形表示，通常使用变量值，构成函数的对应关坐标系来展示系函数的单调性定义图形特征函数在某个区间内，自变量的增函数的图像从左到右上升，值增大时，函数的值也随之增减函数的图像从左到右下降大，则称该函数在这个区间内是增函数；反之，函数值随自变量增大而减小，则称该函数在这个区间内是减函数重要性了解函数的单调性可以帮助我们预测函数值的变化趋势，在求解极值、最值问题时也起着重要作用函数的极值概念最大值最小值极值极值点函数在定义域内取得的最大函数在定义域内取得的最小函数在定义域内取得的最大函数取得极值的点称为函数值称为函数的最大值值称为函数的最小值值或最小值称为函数的极值的极值点函数极值性质最大值函数在某点取得最大值，则该点为函数的极大值点最小值函数在某点取得最小值，则该点为函数的极小值点斜率函数在极值点处，导数为零或不存在增函数和减函数增函数减函数定义在定义域内，自变量的值增大时，函数值也随之增大也定义在定义域内，自变量的值增大时，函数值随之减小也就就是说，当时，有是说，当时，有x1x2fx1fx2x1x2fx1fx2单调性定理单调性定理的定义1单调性定理描述了函数在某个区间内单调性与导数符号的关系增函数的单调性定理2如果函数在区间上可导，且或，则fx Ifx≥0fx0fx在区间上单调递增I减函数的单调性定理3如果函数在区间上可导，且或，则fx Ifx≤0fx0fx在区间上单调递减I找出函数的极值点确定函数的定义域首先，要确定函数的定义域，因为只有在函数的定义域内才能讨论极值点求导数对函数求导数，并找到导数为零的点或导数不存在的点判断极值点对导数为零的点或导数不存在的点进行判断，看其是否为极值点，可以使用一阶导数判别法或二阶导数判别法确定极值类型通过一阶导数或二阶导数的符号变化来确定极值点是极大值点还是极小值点导数概念定义几何意义计算公式导数定义为函数变化率，反映函数在某在函数图像上，导数表示该点切线的斜利用极限定义推导出函数导数计算公式一点的瞬时变化趋势率，即函数在该点变化的方向和速率，方便求解各种函数的导数导数与函数的单调性导数的正负导数为正，函数在该点单调递增导数为负，函数在该点单调递减单调性判断通过导数的符号可以判断函数的单调性导数大于零则递增，小于零则递减导数与函数的极值极值与导数函数极值点处导数为零或导数不存在，是求极值的必要条件函数极值点的导数为零，但导数为零的点不一定是极值点求极值步骤求函数的极值点，首先求出函数的导数，再求出导数为零或不存在的点，即临界点然后利用一阶导数和二阶导数判断临界点是否是极值点应用导数与函数的极值在现实生活中有着广泛的应用，例如求函数的最值，求函数的拐点，求函数的渐近线等几何意义导数的几何意义是函数图像上某一点切线的斜率切线是函数图像在该点处的最佳线性逼近，导数代表了函数变化的瞬时速率导数可以帮助我们理解函数图像的形状，并找到函数的极值点导数的计算规则基本函数的导数求导法则掌握基本函数的导数公式，例熟练掌握和运用求导法则，例如，常数函数、幂函数、指数如，和差法则、积法则、商法函数、对数函数、三角函数等则、链式法则等复合函数的导数高阶导数复合函数的求导需要应用链式对函数进行多次求导，得到更法则，将复合函数拆解成多个高阶的导数在处理函数的凹基本函数，再逐个求导凸性、拐点等方面发挥重要作用复合函数的导数链式法则表达式应用123复合函数的导数等于外函数对内设，，则求解多个函数嵌套在一起的导数y=fu u=gx y=函数的导数乘以内函数的导数的导数为，例如，其中fgx dy/dx=dy/du*y=sinx^2y=，du/dx sinuu=x^2反函数的导数反函数的导数求解步骤反函数的导数可以通过原函数的导数求•找到原函数fx的导数fx得对于可导函数及其反函数fx f-•将反函数f-1x代入fx中得到，如果，则的导数1x fx≠0f-1xff-1x可以通过以下公式计算•将ff-1x代入公式f-1x=1/中求解ff-1xf-1x=1/ff-1x高阶导数高阶导数的概念高阶导数的几何意义函数的一阶导数再次求导得到二阶导数，以二阶导数与函数曲线的凹凸性、拐点相关，此类推，可得到函数的更高阶导数高阶导数则反映了函数的更深层变化趋势高阶导数的计算高阶导数的应用利用导数的计算规则，可以逐步求解函数的高阶导数在物理学、工程学等领域有着广泛高阶导数，例如，复合函数的求导的应用，例如，描述运动物体的加速度、曲率等对数函数与指数函数的导数对数函数导数指数函数导数对数函数的导数与其底数密切指数函数的导数与其底数和指相关，底数不同，导数公式也数有关，常用的公式是的导a^x不同常见的是以为底的对数数为e a^x*lna函数，其导数为lnx1/x复合函数实际应用当对数函数或指数函数作为复对数函数和指数函数的导数在合函数的一部分时，需要使用物理、经济和工程等领域有着链式法则来求导广泛的应用三角函数的导数正弦函数的导数余弦函数的导数

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2.12正弦函数的导数是余弦函数，即可以利用导余弦函数的导数是负的正弦函数，即类似于sinx=cosx cosx=-sinx数的定义和三角函数的性质证明此结论正弦函数的导数，可以使用导数定义和三角函数性质推导出结论正切函数的导数余切函数的导数

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4.34正切函数的导数是，即可以利用商法余切函数的导数是，即可以利用商sec²x tanx=sec²x-csc²x cotx=-csc²x则和三角函数公式推导出此结论法则和三角函数公式推导出此结论参数方程中的导数参数方程表示导数计算公式斜率和切线参数方程将曲线上的点坐标表示为参数参数方程的导数可以通过参数对和求导数代表了曲线在某一点的斜率，可以t tx y的函数导，然后利用链式法则计算得到用于求解切线方程隐函数中的导数隐函数定义求导方法隐函数是指不能用显式表达式表示的自求隐函数的导数，需要将方程两边同时变量与因变量之间的关系，而是通过方对自变量求导，并利用链式法则对因变程来表示的例如，方程量的导数进行求解x^2+y^2=1表示了一个圆形，其中和之间的关x y系不能用显式函数表示链式法则实例链式法则用于求复合函数的导数，例如例如，求方程所表示的x^2+y^2=1，如果，而，则对圆的导数，需要将方程两边同时对求y=fu u=gx yx x的导数为导，得到，然后解dy/dx=dy/du*du/dx2x+2y*dy/dx=0出dy/dx=-x/y最值问题与应用函数极值1求解函数的最值应用场景2优化生产成本实际问题3最大化利润解题步骤4建立数学模型最值问题是现实生活中经常遇到的问题通过函数的极值可以解决许多实际问题，例如优化生产成本、最大化利润等寻找函数的最值需要建立数学模型，利用导数工具求解函数的极值优化问题与应用数学建模1将实际问题转化为数学模型求解优化2利用导数求解最值应用实践3解决现实生活中的问题导数可以帮助我们找出函数的最大值或最小值，这是解决许多优化问题的重要工具例如，我们可以利用导数来设计最优的包装盒形状、最优的生产计划，或者找到最短的路线微分中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导如果函数和在闭区间上连续，在开区间fx[a,b]a,b fxgx[a,b]a,b，则在内至少存在一点，使得内可导，且在内不为零，则在内至少存在一a,bξfb-fa=fξb-a gxa,b a,b点，使得ξ[fb-fa]/[gb-ga]=fξ/gξ函数的拐点曲线的凹凸性函数图像的凹凸性是指曲线在某一点附近向上弯曲或向下弯曲拐点的定义拐点是指函数图像由凹变凸或由凸变凹的点寻找拐点通过求二阶导数，可以判断函数的凹凸性，找到拐点渐近线水平渐近线垂直渐近线水平渐近线指的是当自变量趋于正无穷垂直渐近线是指当自变量趋近于某个特或负无穷时，函数值无限接近于某个常定值时，函数值无限增大或无限减小，数它是函数图像在无限远处的一种即函数图像无限靠近该直线逼近趋势函数图像的描绘函数图像的描绘是理解函数性质的关键，可以帮助我们直观地观察函数的各种特性，例如单调性、极值、拐点、渐近线等通过图像，我们可以更加清晰地了解函数在不同区间内的变化趋势，并能更好地进行函数的分析和应用函数图像的分析函数图像的分析是指通过观察函数图像，获取函数的性质和特征例如，可以确定函数的单调性、极值点、拐点、对称性、周期性等信息函数图像的分析有助于我们更直观地理解函数，并应用于解决实际问题此外，还可以通过观察函数图像的形状，预测函数的变化趋势，并进行相关的数学推理例如，可以通过图像的斜率变化，判断函数的导数的符号和大小应用实例最值问题优化问题

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2.12求解函数的最大值或最小值利用导数求解函数的极值，，在现实生活中应用广泛，可以帮助我们找到最优解，例如优化生产成本、最大化例如寻找最佳生产方案、最利润等短路径等物理学应用其他领域

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4.34在物理学中，导数用于描述导数在经济学、工程学等领速度、加速度等物理量，并域也有广泛应用，例如分析用于解决运动学问题，例如股票价格走势、优化建筑结抛体运动构等小结与复习导数与极值应用本节课学习了导数的概念和计算方法，并将其与函数的单调性导数在物理、经济学、工程学等领域都有广泛的应用和极值联系起来例如，可以利用导数求解最大利润、最小成本、最优设计等问导数工具可以帮助我们确定函数的单调区间和极值点，从而绘题制出函数的图像结语通过学习函数的极值与导数，我们可以更好地理解函数的变化规律，并将其应用于解决实际问题。