高考数学复习课件：函数的最大值与最小值

高考数学复习函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是高中数学的重要内容之一掌握函数的极值问题，可以帮助我们更好地理解函数的性质和应用函数最值概念的重要性确定函数范围优化问题几何应用信号优化函数最值可以帮助我们确定函实际应用中，很多问题都可以函数最值可以帮助我们求解几在无线通信领域，函数最值可数取值范围，便于理解和分析转化为求解函数最值，比如寻何图形的面积、体积、周长等以用于优化信号强度，提高通函数的性质找最佳方案、最大利润等，在解决几何问题中起着重要信效率作用如何判断函数的最大值和最小值定义法1通过比较函数在定义域内的所有函数值来确定函数的最大值和最小值这种方法适用于定义域较小且函数值容易比较的情况单调性法2利用函数的单调性判断函数的最大值和最小值如果函数在定义域内单调递增，则函数的最大值为函数在定义域右端点的函数值导数法3利用导数判断函数的极值，再结合定义域和函数的单调性确定函数的最大值和最小值这种方法适用于可导函数，且定义域为闭区间单调性与函数的最值单调性与极值单调性与最值12函数在单调区间内，极值点通若函数在定义域上单调递增（常出现在单调性变化的点，即或递减），则函数的最值点通函数的极值点通常是单调区间常出现在定义域的端点的端点单调性与最值应用3利用单调性求函数最值问题，可以将复杂问题转化为简单的比较问题，简化求解过程有界性与函数的最值有界函数的概念有界性与最值关系有界函数是指其值域在某个有限如果一个函数有界，则它一定存区间内的函数如果函数值域在在最大值和最小值，但反之不一某个有限区间内，则函数是有界定成立的有界性判断方法可以通过函数图像、解析式或极限等方法判断函数是否有界连续性与函数的最值连续性极值最值定理函数的连续性是指函数在定义域内没有间断连续函数在极值点处，函数值达到最大或最连续函数在闭区间上必定存在最大值和最小点，能够连续变化小值值导数与函数的最值导数与极值导数与最值导数为零或导数不存在的点称为函数的驻点函数的最值可能出现在定义域的端点或函数的驻点驻点可能是极值点，也可能不是利用导数可以求函数在闭区间上的最大值和最小值可以通过二阶导数来判断驻点是否为极值点，以及极值点的类型需要比较端点和驻点的函数值，确定最大值和最小值函数最值的几何意义函数最值在几何上对应着函数图像的最高点或最低点在函数图像上，最高点表示函数取得最大值，而最低点表示函数取得最小值在实际应用中，我们可以利用函数图像来直观地判断函数的最值，并进行相关计算例如，当我们研究一个抛物线的函数图像时，它的最高点或最低点对应着该函数的最大值或最小值我们可以通过观察图像找到这些点，并利用函数的表达式计算出具体的值函数最值的应用场景

11.优化问题

22.物理问题在工程、经济等领域，经常需物理学中经常遇到求解最大值要解决优化问题，如寻找最优或最小值的问题，例如求解运生产方案、最优投资策略等，动轨迹的最高点、最低点，或函数最值可以帮助找到最优解求解电阻电路中的最大功率等

33.几何问题

44.统计问题在几何学中，函数最值可以用在统计学中，函数最值可以用来求解几何图形的面积、体积来分析数据，例如求解数据的的最大值或最小值，例如求解最大值、最小值、平均值等，圆锥的最大体积、求解正方形帮助理解数据特征和规律的最大面积等一元函数最值的基本方法函数图像法1观察函数图像单调性法2利用函数的单调性导数法3利用导数求函数极值闭区间最值法4求函数在闭区间上的最值在实际求解函数的最值问题中，应灵活运用各种方法结合具体函数的性质，选择合适的方法二元函数最值的基本方法确定定义域首先，确定二元函数的定义域，即自变量取值范围这将帮助我们找到函数可能取得最大值和最小值的区域寻找驻点接下来，求解二元函数的偏导数，并令它们等于零，找到函数的驻点驻点是函数可能取得极值的地方判定极值运用二阶偏导数检验法或矩阵法来判定驻点是否为极值点，以及是最Hessian大值点还是最小值点边界考察最后，考察函数在定义域边界上的值，并与内部极值点比较，找到函数的最大值和最小值函数最值性质的综合应用综合性函数最值性质的综合应用需要将单调性、有界性、连续性、导数等多个知识点结合起来灵活运用灵活运用函数最值性质的综合应用可以提高解题效率，找到问题的关键计算技巧需要掌握一些计算技巧，例如利用导数求极值、利用不等式比较大小等典型函数最值问题解决步骤理解题意1准确把握函数的定义域、表达式和所求最值类型分析函数性质2判断函数的单调性、奇偶性、周期性等，为求解最值提供方向运用解题方法3根据函数性质选择合适的求解方法，例如单调性法、导数法、判别式法等检验结果4验证所求最值是否满足题意，并确保结果的准确性解决函数最值问题需要循序渐进，从理解题意入手，分析函数性质，选择合适的方法求解，最后检验结果的正确性函数最值问题的实际案例分析生产成本优化投资收益最大化工厂生产某种产品，生产成本包投资者需要根据市场变化和风险括原材料、人工、运输等，目标偏好，找到最佳的投资组合，以是最大化利润，即最小化生产成获得最大收益本工程设计与施工桥梁、建筑等工程的设计和施工过程中，需要考虑材料强度、安全系数、成本等因素，最大化工程效能，同时保证安全常见函数最值问题的考点解析函数图像的最值点导数为0的临界点函数定义域的边界点函数单调性函数图像上的最高点或最低点函数的导数为的点是函数的极函数定义域的边界点可能是函单调递增函数在定义域的右端0表示函数的最值点通过观察值点，其中包含函数的最大值数的最值点，需要计算函数在点取得最大值，单调递减函数函数图像，可以直观地识别出点和最小值点需要进一步判边界点上的值，进行比较判断在定义域的左端点取得最大值函数的最值点断极值点的性质单调性可以帮助判断函数的最值函数最值应用问题的高考考查实际应用场景题型特点解题思路高考数学中，函数最值应用问函数最值应用问题一般以文字首先要明确问题中需要求解的题通常与现实生活中的实际问描述的形式给出，需要学生认目标函数，并确定其自变量的题相关联，例如优化问题、经真阅读题目，理解题意，并根取值范围济问题和物理问题据题意建立数学模型然后，利用函数最值的方法求考查学生将实际问题抽象成数解目标函数的最值，并结合实学模型的能力，以及运用函数题目通常包含多个变量，需要际意义进行解释最值知识解决实际问题的能力学生灵活运用函数最值知识，找到最佳方案探讨函数最值问题的新思路函数图像数形结合利用函数图像直观地观察函数的变化趋势，从而帮助确定函将函数表达式与函数图像结合起来，运用图形性质推断函数数的最大值和最小值最值，提高解题效率等价转化多角度分析通过变量替换、不等式变换等方法将复杂的问题转化为更简从不同角度思考问题，尝试多种解题方法，寻找最优解题策单的形式，降低解题难度略利用技术手段解决函数最值问题计算机代数系统数值方法图形工具利用软件如或，可数值方法如梯度下降法或牛顿法，可以逼利用图形工具如或，Mathematica MapleGeoGebra Desmos以快速求解复杂函数的最值近函数的最值可以绘制函数图像它们提供强大的符号运算能力，可以处理这些方法适用于处理无法解析求解的最值通过观察图像可以直观地找到函数的最值各种函数类型问题，例如非线性函数函数最值问题的数学建模思想抽象问题转化建立函数模型将实际问题转化为数学模型，用利用函数关系，建立反映问题本函数表示问题的目标和约束条件质的数学模型，例如目标函数、约束条件等求解最值问题模型验证与应用运用数学方法求解函数模型的最验证模型的合理性和有效性，并值，得出实际问题中目标变量的将最优解应用于实际问题最优解函数最值应用问题的创新探索优化问题工程应用数据分析人工智能在现实生活中，许多问题都可函数最值在工程设计和建造中函数最值在数据分析和统计建随着人工智能技术的不断发展以转化为求函数的最值问题有着广泛的应用，例如，桥梁模中也扮演着重要角色，例如，函数最值在机器学习、深度比如，企业利润最大化、资源设计、建筑结构优化、管道铺，预测模型、机器学习算法等学习等领域发挥着越来越重要分配优化、成本最小化等设等的作用函数最值知识点的重点难点梳理函数的定义域和值域函数的单调性与最值函数的导数与最值函数的最值应用确定函数的定义域和值域是求单调性是判断函数最值的关键导数是求解函数最值的有效工函数最值在实际生活中有着广解函数最值的必要步骤，也是，但学生在实际运用中往往会具，但运用导数求最值时要注泛的应用，学生需要掌握如何学生容易忽略的环节混淆单调区间和最值点意临界点的判定和最值点的确将实际问题转化为函数模型并定求解全面掌握函数最值的核心技能理解概念掌握方法强化练习总结反思准确理解函数最大值和最小值熟练运用求解函数最值的方法通过大量练习巩固函数最值问及时总结解题经验和教训，分的定义，并区分不同类型函数，包括单调性、导数、几何意题的解题技巧，并总结常见题析错误原因，并进行针对性训的最值特点义等，并能灵活运用综合方法型和解题思路练，提高解决函数最值问题的能力函数最值问题的专项训练策略

11.题型分类

22.逐层递进根据函数类型、求最值方法、考察角度进行分类从基础题型开始，逐渐提高难度，并进行针对性练习

33.总结反思

44.灵活运用每次练习后总结错题，反思解题思路，并进行针对性训练掌握多种解题方法，并根据题目特点灵活选择最优解法历年高考真题中的函数最值考点函数图像与最值导数与最值方程与不等式几何意义分析函数图像，确定函数的单利用导数求函数的极值点，进通过建立方程或不等式，求解理解函数最值的几何意义，利调区间、极值点，以及最大值而确定函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值，并结用几何图形和性质解决函数最和最小值合实际问题进行分析值问题针对函数最值的复习经验总结巩固基础知识练习题型分析错误原因总结复习方法函数最值的定义和性质需要牢针对不同类型的函数最值问题仔细分析解题过程中的错误原根据自己的学习特点，总结适固掌握了解常见的函数模，进行大量的练习总结常因，并及时进行弥补总结合自己的复习方法制定合型，例如二次函数、指数函数见的解题思路和技巧易错点，避免在考试中再次犯理的复习计划，确保每个知识和对数函数错点都得到充分的掌握函数最值知识在高考中的出题规律函数类型解题方法高考中常见的函数类型包括一次函数、二次函数、指数函数、对数高考对函数最值的考查侧重于运用导数、函数单调性、图像性质等函数和三角函数，以及它们的组合形式方法求解题型特点难度区分函数最值问题通常与不等式、方程、几何等知识结合，考查学生综从基础题到难题都有涉及，难度逐步递进，考察学生对知识的掌握合应用能力程度提高解决函数最值问题的技巧深入理解题意灵活运用方法多做练习总结反思仔细阅读题目，明确目标函数掌握基本方法，如单调性、导通过大量练习，熟悉各种题型每做完一道题，都要及时总结和约束条件，才能选择合适的数、几何意义等，并能根据题，提高解题速度和准确性反思，分析错误原因，并记录解题方法型灵活运用解题思路坚持思维训练精准掌握函数最值深入思考举一反三灵活运用多角度分析问题，挖掘函数最值背后的本质针对不同类型函数最值问题，进行多方位练熟练掌握函数最值相关的定理、公式和方法规律，形成系统性思考框架习，并总结规律，提升解决问题的能力，并能够根据具体情况灵活运用实践演练反思提高做好函数最值复习+错题整理1记录错题类型，找出薄弱环节模拟测试2模拟高考环境，检验学习效果反思总结3分析错题原因，改进解题思路查漏补缺4针对性复习，提升解题能力实践演练是巩固函数最值知识的关键环节通过模拟考试，检验自身对知识点的掌握程度反思总结错题，找到问题所在，查漏补缺，提升解题能力复习策略总结确保函数最值考试满分

11.理解概念

22.掌握方法理解函数最值的概念和定义，熟练掌握各种函数最值求解方并将其应用于实际问题中法，包括单调性法、导数法、几何意义法等

33.练习题型

44.总结经验多做练习，掌握不同类型的函总结解题经验，并找出自己的数最值问题，并分析解题思路薄弱环节，有针对性地进行复习。