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文本内容:
相遇追及问题
一、同步知识梳理
1、s、外，探源我们经常在解决行程问题的过程中用到S、V、，三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下表示时间的，这个字母，代表英文单词/加6,翻译过来就是时间的意思表示速度的字母〜对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是而不是我们常用来表示速度的卯eed表示物理学上的速度与路程相对应的英文单词，一般来说应该是用“刖比，但这个单词并不是以字母s开头的关于为什么会用s来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的u和代表时间的，在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s来表示路程速度x时间二路程可简记为s=vt路程+速度=时间可简记为t=s+v路程+时间二速度可简记为V=s+t
2、关于s、v、t三者的基本关系
3、平均速度平均速度的基本关系式为平均速度=总路程+总时间；总时间=总路程平均速度；♦总路程=平均速度x总时间
二、同步题型分析题型1简单行程公式解题［例1］韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？【解析】原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为480+20=24（米/分），现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为24+16=40（米/分），那么现在上学所用的时间为480・40=12（分钟），7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校.［例2］邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？【解析】法一先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻
①邮递员到达对面山里需时间12+4+8+5=
4.6（小时）;
②邮递员返回到邮局共用时间8+4+12+5+1+
4.6=2+2,4+1+
4.6=10（小时）
③邮递员回到邮局时的时刻是7+10-12=5（时）.邮递员是下午5时回到邮局的法二从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为:（12+8）+4+（12+8）+5+1:10（小时），邮递员是下午7+10-12=5（时）回到邮局的［例3］一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后，再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽笛时离他1360米;（轨道是笔直的）声速是每秒钟340米，求火车的速度（得数保留整数）【解析】火车拉汽笛时离这个人1360米.因为声速每秒种340米,所以这个人听见汽笛声时,经过了（1360+340=）4秒.可见火车行1360米用了（57+4=）61秒,将距离除以时间可求出火车的速度.1360+（57+1360+340）=1360・61之22（米）［例4］甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米,问他走后一半路程用了多少分钟？【解析】方法一由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间.而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了.应指出，如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟60米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走（80+60）+2=70米.这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米，平均每分钟70米.而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟70米.这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720+70=96分钟.由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于6720+2=3360米.则前一个3360米用了3360^80=42分钟；后一半路程所需时间为96-42=54分钟.方法二设走一半路程时间是x分钟，则80x+60x=6720,解方程得x=48分钟，因为80x48=3840（米），大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3360+80=42（分钟），后一半路程时间是48+（48-42）=54（分钟）.评注首先，从这道题我们可以看出〃一半时间〃与〃一半路程〃的区别.在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数.但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的.其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态，直接求所需时间并不容易.而前一半路程所需时间的计算是简单的.因止匕，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法.这种选择能力也是需要锻炼和培养的.
三、课堂达标检测检测题
1、甲、乙两地相距100千米下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？.【解析】马车从甲地到乙地需要100+10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3二6（小时）依题意，汽车必须在10-6=4小口寸内到达乙地，其每小时最少要行驶100+4=25（千米）.检测题
2、两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？【解析】北京到某地的距离为60x15=900（千米），客车到达某地需要的时间为900-50=18（小时），18-15=3（小时），所以客车要比货车提前开出3小时检测题
3、甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从B地出发，乙车出发5小时后两车还相距15千米.甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米.求A、B两地间相距多少千米？【解析】在整个过程中，甲车行驶了3+5=8=（小时），行驶的路程为48x8=384（千米）；乙车行驶了5小时，行驶的路程为50x5=250（千米），此时两车还相距15千米，所以A、B两地间相距384+250+15=649（千米）.检测题
4、一天，梨和桃约好在天安门见面，梨每小时走200千米，桃每小时走150千米，他们同时出发2小时后还相距500千米，则梨和桃之间的距离是多少千米？【解析】我们可以先求出2小时梨和桃走的路程（200+150）x2=700（千米），又因为还差500千米，所以梨和桃之间的距离700+500=1200（千米）.检测题
5、两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，5小时后，甲、乙两车还相距多少千米？【解析】两车的相距路程减去5小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程480—（40+42）05=480—410=70（千米）.
一、专题精讲例
1、（难度级别派※）（2009年四中入学测试题）在公路上，汽车
4、B、C分别以80km/h,70km/h,50km/h的速度匀速行驶，若汽车Z从甲站开往乙站的同时,汽车
8、从乙站开往甲站，并且在途中，汽车/在与汽车8相遇后的两小时又与汽车C相遇，求甲、乙两站相距多少km【解析】汽车4在与汽车8相遇时，汽车力与汽车的距离为（80+50）x2=260千米，此时汽车3与汽车的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了260+（70-50）=13小时,那么甲、乙两站的距离为:（80+70）x13=1950千米.例
2、（难度级别派※）有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米？a）甲、丙6分钟相遇的路程（100+75）x6=1050（米）；甲、乙相遇的时间为1050+（80-75）=210（分钟）；东、西两村之间的距离为（100+80）x210=37800（米）.
二、专题过关检测题
1、难度级别派※）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67・5米,丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【解析】那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）x2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=270（
67.5-60）=36分钟，所以路程二36x（
67.5+75）=5130米检测题
2、（难度级别派※）小王的步行速度是
4.8千米/小时，小张的步行速度是5・4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是
10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【解析】画一张示意图王张李-1--------------1----------1B A乙图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离（
4.8+
10.8*9=
1.3（千米），这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（
5.4-
4.8）千米/小时,小张比小王多走这段距离，需要的时间是:
1.3+C
5.4-
4.8）x60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度
10.8千米/小时是小张速度
5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要130+2=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是:130+65=195（分钟）=3小时15分.小李从乙地到甲地需要3小时15分.检测题
3、（难度级别派※）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米,丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【解析】那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）xl=130米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=130+（65-60）二26分钟，所以路程二26x（65+70）=3510米检测题
4、（难度级别派※）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米,丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【解析】那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）x2=260米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=260（60-50）=26分钟，所以路程二26x（60+70）=3380米
三、学法提炼
一、相遇甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么A0时刻准备出发时间t后相遇相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇时间+乙的速度X相遇时间=（甲的速度+乙的速度）X相遇时间=速度和X相遇时间.般地，相遇问题的关系式为速度和x相遇时间二路程和，即S和=/t
二、追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他,这就产生了〃追及问题〃.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度x追及时间-乙的速度x追及时间=（甲的速度-乙的速度）X追及时间=速度差X追及时间.一般地,追击问题有这样的数量关系追及路程二速度差X追及时间，即5差=曝t例如假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点（0米）处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为悔和V乙，那么我们可以看到经过时间t后,甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米甲乙••米5米
三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件100米100⑴在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同⑵在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径总路程犍度和x相遇时间相遇问题速度和点路程+相遇时间相遇时间盘路程+速度和追及时间强及路程+速度差追及问题追及路程强度差x追及时间速度差4a及路程+追及时间
一、能力培养综合题（★★★★）例
1、小红和小强同时从家里出发相向而行小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇小红和小强两人的家相距多少米？【解析】因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少4分钟（70x4）+（90-70）=14分钟可知小强第二次走了14分钟，他第一次走了14+4=18分钟；两人家的距离（52+70）xl8=2196（米）.例
2、甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地求甲原来的速度a）因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24秒，则相遇前两人和跑一圈也用24秒以甲为研究对象，甲以原速V跑了24秒的路程与以（V+2）跑了24秒的路程之和等于400米，24V+24（V+2）=400易得V二米/秒3例
3、（2008年日本小学算术奥林匹克大赛）上午8点整，甲从力地出发匀速去3地，8点20分甲与从8地出发匀速去力地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲，乙两人同时到达各自的目的地.那么，乙从8地出发时是8点分.a）8点20分相遇，此时甲距离力地的距离是甲走了20分钟的路程，8点30分时乙到达目的地，说明乙走这段路程花了10分钟，所以乙的速度是甲速度的两倍，当甲把速度提高到原速的3倍时，此时甲的速度是乙速度的
1.5倍，甲从相遇点走到5点花了10分钟，因此乙原先花了10x
1.5=15（分钟），所以乙是8点5分出发的.
二、能力点评变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算.行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值.更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.学法升华
一、知识收获
1、s、八，探源我们经常在解决行程问题的过程中用到S、V、，三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下表示时间的人这个字母，代表英文单词加2C,翻译过来就是时间的意思表示速度的字母八对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是ve/oa®,而不是我们常用来表示速度的卯eedye/oc0表示物理学上的速度与路程相对应的英文单词，一般来说应该是没但这个单词并不是以字母s开头的关于为什么会用s来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的u和代表时间的，在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s来表示速度速度x时间二路程可简记为s=vt可路程+速度=时间简记为:t=SvV可路程+时间二速度简记为V=Svt
2、关于s、v、t三者的基本关系
3、平均速度平均速度的基本关系式为平均速度=总路程总时间；总时间二总路程+平均速度；总路程=平均速度X总时间♦
二、方法总结相遇甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么甲乙甲乙•••••A、B AB时刻准备出发时间t后相遇相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇时间+乙的速度X相遇时间=（甲的速度+乙的速度）X相遇时间=速度和X相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为速度和X相遇时间二路程和，即5和=曝t追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他,这就产生了〃追及问题〃,实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及时间.乙的速度X追及时间=（甲的速度■乙的速度）X追及时间=速度差X追及时间.一般地,追击问题有这样的数量关系追及路程二速度差X追及时间，即S差例如假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点（0米）处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为峰和V乙，那么我们可以看到经过时间t后,甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米米5米100米100在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件
（1）在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同⑵在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径总路程犍度和x相遇时间相遇问题速度和忐路程+相遇时间相遇时间点路程+速度和‘追及时间4a及路程速度差追及路程漉度差x追及时♦间速度差4a及路程追及时间♦追及问题二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题所有行程问题都是围绕〃路程=速度xg〃这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化.由此还可以得到如下两条关系式路程和=速度和x相遇X；路程差=速度差x追及8；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解.
三、技巧提炼只要抓住两个公式，结合线段图帮助分析题意课后作业
1、小白从家骑车去学校，每小时15千米，用时2小时，回来以每小时10千米的速度行驶,需要多少时间？【解析】从家到学校的路程15x2=30（千米），回来的时间30・10=3（小时）.
2、龟兔赛跑，同时出发，全程6990米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？【解析】先算出兔子跑了330x10=3300（米），乌龟跑了30x（215+10）=6750（米），此时乌龟只余下6990-6750=240（米），乌龟还需要240・30=8（分钟）到达终点，兔子在这段时间内跑了8x330=2640（米），所以兔子一共跑3300+2640=5940（米）.所以乌龟先到，快了6990-5940=1050（米）.
3、甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟
480、
540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，甲、乙二人从A地出发，向B地行时，丙从B地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，3分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？【解析】方法一乙与丙相遇时，乙比甲多行的距离可供丙、甲相向而行行3分钟的时间，这段距离为（480+720）x3=3600（米），3600^（540-480）=60（分），A、B之间的距离为（720+540）x60=75600（米），行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下甲75600+480=
157.5（分）乙75600+540=140（分）丙75600+720=105（笏方法二丙与乙相遇时，各行了[（480+720）x3]+（540—480）=60（分），速度与时间成反比，所以，丙行完全程需要60+60x^=105（分）；乙行完全程需要720720105x——=
157.5（分）.480方法三丙与乙相遇时，乙比甲多行了（720+480）x3=3600（米）；丙比甲多行了3600x720~480^14400（米），所以A地与B地之间的距离为540-480480x（540-480）x2+3600+14400=75600（米）.行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下甲75600+480=
157.5（分）乙75600+540=140（分）丙75600+720=105（分
4、难度等级派※※）A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A,B两地同时出发，结果在距B地2400米处相遇.如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？【解析】第一种情况中相遇时乙走了2400米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为（7200-2400）:2400=2:1,所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/
3.乙的速度提高3倍后，两人速度比为2:3,根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二33种情况中相遇时甲走了全程的——二—.两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种3+2533情况比第一种情况少走10分钟，所以甲的速度为6000x（——）+9=150（米/分）.58。
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