《数列函数的极限》课件

数列函数的极限讨数数数数导探列函的极限概念,深入了解如何求解列函极限的方法和技巧引关键论识过应巩内学生掌握理知,并通实际用固所学容课程目标理解数列和函数的极限掌握计算极限的方法12概念习学利用极限公式、洛必达法质则练计掌握极限的定义和基本性,了等技巧,熟算各种形式极解极限存在的必要条件限理解无穷级数的概念掌握幂级数的性质34级数敛习断级习级数敛数了解的收性,学判学幂的收性和函的数敛别级数开为续习积收的各种判法幂展,后学微分铺垫做什么是极限数趋极限是学中一个重要的概念它描述了量随自变量的变化而过诸现近于某个固定值的程极限概念反映了实际世界中多自然趋势杂象和人类活动中的变化理解极限概念是理解和分析复实问题关键际的极限的概念与定义数学极限数数趋这称为该数数该列或函在某一点向一个确定的值，个确定的值就列或函在点的极限极限的数学定义当时数则称为数该自变量x接近某个特定值，函fx的值也接近某个特定值L，L函fx在点的极限极限的判断条件这只要x足够接近某个值，fx就足够接近极限值L，且种接近程度是可控的极限的四种形式无穷大极限零极限当数数时当数数时列或函的值无限增大,其列或函的值无限接近于0为穷负穷为极限正无或无,其极限0有限极限无极限当数数当数数区内列或函的值无限接近于某列或函的值在无限间数时为该数荡敛时一有限常,其极限常振不收,其极限不存在如何判断极限是否存在无界性1数数则如果列函极大值或极小值发散,极限不存在震荡性2数数荡则如果列函在某个点附近无休止地振,极限不存在左极限不等于右极限3则如果左极限和右极限不相等,整个极限不存在断关键观数数数数现荡判极限是否存在的在于察列函的波动情况如果列函呈无界性、震性或左右极限不相等的特点,那么极限就不存过细这断在通仔分析些特点,就可以准确判极限是否存在左极限和右极限左极限右极限比较左右极限数数侧数数侧则左极限描述函或列在某点左的极限右极限描述函或列在某点右的极限若左右极限存在且值相等,极限存在若为过数数为过数数则行通分析函或列在点的左邻域行通分析函或列在点的右邻域左右极限不相等或其中一个不存在,极限内质内质这断的性,可以确定左极限的存在性及值的性,可以确定右极限的存在性及值不存在是判极限存在性的重要依据无穷大和无穷小无穷大的概念无穷小的概念无穷大和无穷小的关系穷数穷趋数穷穷对当数无大是学中一个重要的概念,表示一个无小是一个近于0的量,小到可以忽略无大和无小是相概念,一个量无数寻远远数计数数级数时为穷当数量是超乎常地大,超出普通值的不它在列、函极限等高学分析限增大,它就成无大;一个量无限围数数领关键时为穷数范它在列、函极限等域有广泛的中起着作用减小,它就成无小二者在学分析应关用中密切相极限的性质连续性唯一性保号性保序性数连续关数数为终该数数极限与函的性密切相一个列或函在某点的极限如果极限正,那么最如果一个列的极限大于另一数这数为数终一个函的极限存在,意味如果存在,那么个极限是唯列或函的值都正;如果极个列的极限,那么前者最该数该连续为负终该数着函在点一的,不会有两个不同的极限限,那么最列或函一定大于后者数为负值的值都极限的运算规则加法运算法则减法运算法则乘法运算法则除法运算法则数别数别数敛数敛若列{a_n}和{b_n}分收若列{a_n}和{b_n}分收若列{a_n}收于A，{b_n}若列{a_n}收于A，{b_n}敛则们敛则们敛则们积敛则们于A和B，它的和{a_n于A和B，它的差{a_n收于B，它的{a_n*收于B且B≠0，它的商敛敛敛敛+b_n}也收于A+B-b_n}也收于A-B b_n}也收于A*B{a_n/b_n}也收于A/B两个重要极限公式利用极限定义求极限定义极限1数理解极限的学定义分析函数性质2观数趋势察函的特点和变化构建证明过程3导根据定义逐步推极限验证结论正确性4结论确保与定义完全一致数来过数数质趋势证过利用极限的学定义求极限是一个系统的程首先需要理解极限的概念和学描述,然后分析函的性和变化,根据定义构建明程,最验证结论这们质养严谨数维后的正确性种方法可以帮助我深入理解极限的本,培的学思利用极限公式求极限认识极限公式1习则们学常见的极限公式,如万能公式、洛必达法等,掌握它的使用方法分析问题2细给断应仔分析定的极限表达式,判可以用哪些极限公式进行计算3练应进计数熟地用极限公式行算,得出极限的具体值洛必达法则定义应用条件则数导洛必达法是一种求极限的方法,分子和分母函都可,并且极限当适用于分式形式的极限,极限式式的形式是0/0或∞/∞为时0/0或∞/∞使用计算步骤将时对导分子和分母同自变量求,然后再求极限双曲函数的极限双曲正弦函数数双曲正弦函limx→∞sinhx=∞,limx→-∞sinhx=-∞双曲余弦函数数双曲余弦函limx→∞coshx=∞,limx→-∞coshx=∞双曲正切函数数双曲正切函limx→∞tanhx=1,limx→-∞tanhx=-1间断函数的极限间断点极限的定义12数断数数断学中,间函是指在定义域要确定函在间点附近的极内断别虑数存在一个或多个间点的函限,需要分考函从左或右数这断断时些间点可能是跳跃式靠近间点的极限值穷穷的,也可能是无大或无小连续性应用场景34数断断数应数如果函在间点的左右极限间函广泛用于学建模则该数该连续领值相等,函在点、信号处理、控制工程等域,则数该连续对这问题关否,函在点不于分析和理解些至重要无穷级数的概念无穷级数的定义穷级数数项组数项数无是由无成的列,每一都是一个有限值级数的表达形式穷级数穷无通常用无求和符号表示,如:Σan级数的收敛问题穷级数敛级数论问题一个无是否收是理的核心之一数列的极限与级数收敛数列极限的概念数敛该数当趋穷时列收的充要条件是列存在极限，即n于无大，该数项敛数列的收于某个确定的级数收敛性与数列极限穷级数敛当仅当数敛一个无收且其部分和构成的列收因此，研级数敛转为关数问题究收性可以化研究相列的极限级数收敛性的判别过级数数质来别级数敛通研究的部分和列的极限性判的收性，是数为论础学分析中极重要的理基几何级数的收敛几何级数的定义收敛条件12级数穷级数项组项当时级数敛当时级数几何是一种特殊的无,它由首a和公比q成,公比|q|1,几何收;公比|q|≥1,几何发散数趋穷向于无大收敛和发散的判别几何级数的应用34敛时级数为时级数为穷级数应领收,的和a/1-q;发散,的和无大几何可广泛用于金融、物理、工程等域,是一个重要数的学工具正项级数的收敛正项级数收敛的条件判断正项级数收敛的方法对项级数数则该•较别于一个正∑a_n，如果它的部分和列S_n有界，比判法级数敛当时级数敛•别收即lim S_n存在且有限，收比值判法•别根值判法交错级数的收敛交错级数的定义收敛条件错级数负现级数项绝对交是指正交替出的无如果中各的值构成的穷级数为级数敛则该错级数敛它的一般形式a1-a2收,交必定收+a3-a4+...+-1^n-1an+...留数判定法数断错级数敛利用留判定法可以有效判交是否收,并确定其和绝对收敛与条件收敛绝对收敛条件收敛性质比较当穷级数项绝对敛时穷级数项绝对绝对敛敛一个无的各的值之和收如果一个无的各的值之和发散•收条件收发散们称该级数绝对敛绝对敛该级数敛则称该级数为敛绝对敛级数结,我是收的收的,但本身收,条件收•收的可以任意重新排列,果级数数质计简单稳敛级数质较计杂具有良好的学性,算且定条件收的性弱,算复度高不变敛级数结•条件收的重新排列后果可能发生变化级数的比较判别法相互比较过较级数项关断敛通比两个的之间的系,判其收性测试收敛选择敛级数为断断级数敛一些已知收或发散的作参照,判待判的收性数学证明数归纳质来证级数敛利用学法和极限的性明的收或发散比值判别法和根值判别法比值判别法根值判别法过较项级数项断级数敛过较项级数项断级数敛通比正中相邻之比的极限，可以判是否收通比正中的n次根的极限，可以判是否收则级数敛则级数则级数敛则级数如果极限小于1收，大于1发散如果极限小于1收，大于1发散级数的和与极限的关系数列的收敛极限级数的收敛极限级数收敛的条件当数项数趋穷时数级数为数级数敛数列的于无大,列的部分和的和也可以表示列部分和的极限,一个收的充要条件是它的部分和列趋这数级数敛时级数敛数也会于一个确定的值,个值就是列的即收部分和的极限就是的和收,即部分和列存在极限极限幂级数的概念函数的多项式逼近收敛域与收敛半径级数数为项级数敛径幂是以幂函基本的无幂存在一个收半，决穷级数来杂数围内敛，可用逼近复函定了它在何种范收广泛应用领域级数数领应幂在学分析、信号处理、电子电路等域都有广泛用幂级数的收敛半径与收敛域定义收敛半径级数敛径级数连续敛径幂收半指幂可以收的最大半计算收敛半径别计级数敛径可用根值判法算幂的收半确定收敛域过敛径级数敛为为径通收半可以确定幂的收域以原点中心、半等敛径圆盘于收半的函数的展开与应用幂级数展开泰勒公式12许数级数数多常见函可以用幂的利用泰勒公式，可以得到函进这开线这形式行无限逼近种展在某点的局部性逼近在应领形式有着广泛的用微分方程等域有重要作用级数展开的应用3级数开计数数幂展可用于算值、逼近函、解微分方程等是一种强大的数学工具重要结论与公式总结极限性质与运算洛必达法则质规则时掌握极限的基本性和运算,在处理0/0或∞/∞型极限,可以计则进计有助于高效算各种类型的极限利用洛必达法行算级数收敛判定幂级数展开较别别级数开数为掌握比判法、比值判法和学会利用幂展函,分析别断级数问题根值判法,可以有效判的和解决实际提供了强有力的敛收性工具本节课重点与难点总结重点内容难点内容12节课内节课难本的重点容包括极限的本的点在于正确理解极计练计概念和定义、极限的算方法限的概念、熟掌握极限算则穷级数对穷级数、洛必达法以及无的的各种方法,以及无收论敛断基本理性的判重点训练课后思考34议训练计题级数数建重点极限算、洛思考极限和在学分析和则应级数应必达法的用以及各种实际用中的重要意义敛断收性的判思考与练习习节课识议问题断数在学了本的知点后,建大家思考以下几个:1如何正确地判函来问题应极限的存在性2如何灵活运用极限运算公式求解实际3在用洛必达则时细节区绝对敛敛级数法需要注意哪些4如何分收和条件收的积课练习巩识过练习数并极参与后,固所学知通思考与,相信大家定能深入理解数为续课坚础列函的极限概念,后程奠定实的基。