第02讲-常用逻辑用语精讲新高考解析版

【一轮复习讲义】年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）2024第02讲常用逻辑用语（精讲）题型目录一览充分、必要条件的判断根据充分必要条件求参数的取值范围全称量词命题与存在量词命题的否定根据命题的真假求参数的取值范围，、知识点梳理.充分条件、必要条件、充要条件1

（1）定义如果命题“若p,则4为真（记作pnq）,则p是9的充分条件；同时q是p的必要条件.

（2）从逻辑推理关系上看

①若且94P,则〃是q的充分不必要条件；

②若P4qaqn p,则p是q的必要不充分条件；

③若p=q且q=p,则p是q的的充要条件（也说p和q等价）；

④若〃4q且q%P,则p不是q的充分条件，也不是的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质p nq,则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，9就成立；所谓“必要”是指要使得p成立，必须要9成立（即如果夕不成立，则p肯定不成立）..全称量词与存在童词2

（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个工，有P）成立可用符号简记为“Vx eM,p（x）”，读作“对任意x属于M,有p（尤）成立”.

（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的一个小,使p（x°）成立可用符号【分析】由p、q分别定义集合A={x|Y-如0}和5={x|lgxvO},用集合法求解.【详解】由选项可判断出m

0.由q“Igx〈0可得B={x|lgx0}={x|0xl}.由p％2_皿0，，可得A={x|/_o}.7nl因为p是q的必要不充分条件，所以3A.若m=0时，A=0,B A不满足，舍去；若m0时，A=^x\x2-/71X01={x10xm}.要使3A,只需mL综上所述实数m的取值范围是（1,+8）.故选D【题型训练】

一、单选题

1.（2022秋•河南安阳.高三校联考阶段练习）若小+1|=2”是“log2X+2”=〃”的必要不充分条件，则实数斫（）A.3B.2C.1D.0【答案】B【分析】解方程上+1|=2得x=l或3再将“卜+1|=2”是“log2X+2=a的必要不充分条件转化为区A且B00,然后根据集合间的包含关系求即可.【详解】解除+1|=2的户1或.3,设集合A={1-3},方程1叫x+2=a的解集为集合3,则B A且匹0,所以3={1}或3={-3},当3={1}时，喝1+2=%所以斫2；当3={-3}时，不成立；故选B.

2.（2022秋•山东临沂.高三统考期中）已知p:/+x—2〉03“〉*若〃是4的必要不充分条件，则（）A.a.A D.a,—2【答案】A【分析】由条件p:/+x—2o,解得X范围.根据〃是q的必要不充分条件，即可得出的取值范围.【详解】条件p%2+1-2〉0,解得x〉l或XV-

2.条件，丁〃是4的必要不充分条件，（,田）是（）（欣）的真子集,/.a\.F,-2U1,故选A.

3.（2023・湖南邵阳・统考二模）已知集合4=[-2,5],B=若“xe5”是“xeA”的充分不必要条件，则加的取值范围是（）A.（-oo,3]B.（2,3]C.0D.[2,3]【答案】B【分析】若是“xeA”的充分不必要条件，则B A,列出不等式组求解即可.【详解】若“xeB”是“xeA”的充分不必要条件，则3A,m+\2m-1所以m+112,解得2加工3,即加的取值范围是（2,3].2m-15故选B.

4.（2022・重庆沙坪坝.重庆八中校考模拟预测）使得不等式以+1对恒成立的一个充分不必要条件是（）A.B.06T2C.D.a—20Q2Q2【答案】A【分析】先由不等式/一办+10对VxwR恒成立得，£（-2,2）,再由充分不必要条件的概念即可求解【详解】由不等式—依+10对恒成立，得△（）,即（_々）2_40,解得一VXER2QV2,从选项可知02是-的充分不必要条件，2QV2故选A.

5.（

2022.全国.高三专题练习）“当工£[-2,1]时，不等式加-d+©+BNO恒成立”的一个必要不充分条件为A.5,—1]C.ci e[—6,—2]D.ci[—4,—3]G【答案】B【分析】分工=，＜工＜1，一2＜工＜0三种情况求出使不等式打工320恒成立的的取值范围，从3—2+4%+而可求出使其成立的一个必要不充分条件【详解】当x=0时，不等式恒成立,x2一41一

3、当0＜x4l时，不等式加—f+4x+320恒成立，等价于心/maxx2-4x-3^当—2K0时，不等式加—f+4X+3N0恒成立，等价于一X—4x-3%2—4x—3fM=令/x=-―一,xe[-2,0u0,l],2\可知函数y=-3--4产+，在［-~13］上递增，在-a,-l,—,+00XXX上递减,9贝！jy=—3户一4产+1,y=_9〃_8r+l,所以当工£1］,即代工”时,当，=1时，y=-6,即〃初四=-6,所以〃2-6,max当龙且-2,0时，即z J-oo,-1时，函数》=一3r—4/+/在e,-1递减，在［-上递增，所以当/=_1时,I2/12综上，当XW［-2,1］时，不等式加-％2+©+320恒成立的充要条件为_64W-2,所以£［-7,-1］是“当工£［-2,1］时，不等式加—x2+4x+3N0恒成立”的一个必要不充分条件,故选B

36.2023・四川南充•四川省南部中学校考模拟预测已知函数/x=Y—工一〃比孙则函数/⑺在0,+8上22^单调递增的一个充分不必要条件是A.a——9【答案】A【分析】根据题设条件转化为了x在，收上恒成立，即m3d—31在0,+8上恒成立，令QB.Q4-9D.-2-3gx=3x3-3x\x0利用导数求得gx单调性和最小值，结合题意，即可求解.93【详解】由函数=5/一〃]nx,可得函数的定义域为位,且尸x=3/_3x—色，x因为函数/X在,+⑹上单调递增，即尸X2在0,+8上恒成立，即3/_3x_3N0在0,+8上恒成立，即3/—3x2在,+刃上恒成立，xQ令g%=3d-3x2,x0,可得g[x=9x2-6x=3x3x-2,o、当X£0q时，grx0,gx单调递减；o当X£Q,+CO时，gX0,gx单调递增，结合选项，可得Q-1时函数在0,y上单调递增的一个充分不必要条件.所以故选:A.

二、填空题

7.2021秋・四川南充,高三四川省南充高级中学校考阶段练习已知p|x+l|2,qaxa+l若p9是q的必要不充分条件，则〃的取值范围是____________.【答案】[-3,0]【分析】利用p是q的必要不充分条件,转化为集合与集合之间的关系求解即可.【详解】由已知得命题〃为-3vxl,由〃是q的必要不充分条件可知，4=〃且设集合A={x|-3A1},集合3={Xa vx vQ+1},则集合8是集合A的真子集，即f,二J解得经检验满足题意则a的取值范围是故答案为[-3,0].

8.（2023・上海长宁・统考二模）若x=l”是的充分条件，则实数的取值范围为.【答案】（-8,1）-gZ/HV2-3--4-9【分析】由充分条件定义直接求解即可.【详解】,・・“尤=1是“%的充分条件,:.x=l^xa:.al99即实数的取值范围为（）

31.故答案为（）-00,

1.

9.（2022秋・安徽滁州•高三校考阶段练习）已知集合4={斗142},B={x\l-mxl+2m m0},若+5”是中的必9要不充分条件，则实数m的取值范围为.【答案】k,m【分析】根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【详解】由题意可知，当为空集时，解得与矛盾，故舍去；B l-ml+2m,mgO,m0当B不是空集时，需满足l・mvl+2m,且或l-ml+2m,且且l+2m2,解得OvmsJ,综上，实数m的取值范围为（0,1］,故答案为（0,；］

10.（2022秋・河南驻马店•高三校考阶段练习）已知〃V—X—120,0（x+m）［x—（1+2根）］4，（机0）,若P是乡的充分非必要条件，则实数机的取值范围是_______.【答案】［3,依）【分析】命题对应的集合为命题对应的集合为由是的充分非必要条件，可得是的真子集，P A,4B,P qA B根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可.【详解】解由不等式—解得-34,设命题〃对应的集合为A,贝!|A=［-3,4］,由不等式（工+加）［］一（1+2机）0,解得一根尤«2/篦+1（相0）,设命题4对应的集合为8,则3=［-％2加+1］（加0）,因为是的充分非必要条件，P q所以是的真子集，A3I—加—3则.

二、，（不同时取等号），解得加23,所以实数m的取值范围是［3,转）.故答案为［3,+s）.题型三全称量词命题与存在量词命题的否定策略方法全称量词命题与存在量词命题的否定

（1）改量词确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.

（2）否结论对原命题的结论进行否定.【典例11命题“V光使得〃4X”的否定形式是（）A.\/x£R「〃eN”,使得〃尢B.R,£N*,都有〃xVXEC.使得D.3xeR,V/eN*,者B有〃〉x【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解.【详解】使得〃是全称命题，全称命题的否定是特称命题“VXERTAEN*,故否定形式是女£R,V〃£N*,都有X.故选D【题型训练】

一、单选题

1.（2022秋・辽宁本溪高三本溪高中校考期中）若命题p:\7x21,丁川，则可为（）♦A.Vxl,x3l B.31C.3D.3VA:1,X3%1,X13X1,X1【答案】c【分析】根据全称命题的否定是特称命题改写即可.【详解】因为命题P VxNL%3所以/为女vl,故选C.A.,x+|x|0B.VxeR,x+N03XGR

2.（2023・重庆・统考模拟预测）命题x+N0的否定是（）HXER,

1.V%eR,x+|^0D.V^eR,x+|x|0【答案】c【分析】根据特称命题的否定存在改任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为VxeR,X+|^

0.故选C

3.（2023-四川达州・统考二模）命题p2]+d_x+i0,贝ijM为（）VTGR,A.VxeR,2X+X2-X+10B.VxeR,2v+^2-x+l0C.三叫）£R,2+x；—XQ+10D.£R,2+苍一玉）+140【答案】D【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，所以命题pVXGR,2+12_%+10的否定为3x0G R,2+九；一%+1WO.故选D

4.（2023・全国•高三专题练习）已知命题p玉，yeZ,2x+4y=3,则（）A.p是假命题，p否定是Vx,B.p是假命题，p否定是土，yeZ2X+43C.〃是真命题，p否定是X/x,2x+4y w3D.p是真命题，p否定是三%【答案】A【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】由于％，V是整数，2%+4y是偶数，所以〃是假命题.原命题是存在量词命题，其否定是全称量词，注意到要否定结论，所以〃的否定是“Vx,WZ,2x+4yw3”.故选A

5.（2022秋・陕西咸阳•高三武功县普集高级中学校考阶段练习）已知命题P*£（,+8）,3x+4=

3.下列说法正确的是（）A.〃为真命题，~p3xe0,+oo,3X+4W3B.〃为假命题，~PVXG0,+OO,3X+4W3C.〃为真命题，~^PVxe0,+oc,3x+4w3”D.〃为假命题,~^PVxe0,+8,3x+4w3”【答案】C【分析】根据方程与函数的关系结合零点存在性定理判断命题P,再由含存在量词的命题的否定方法求其否定，由此确定正确选项.【详解】方程3x+4=3可化为3x+4—3=0,设/（x）=3x+4-31贝!!方程3九+4=3的根就是函数/（幻=3x+4-3*的零点，又当工=2时，（）2当x=3时，/

（3）=3x3+4-330,由零点存在性定理知函数3x+4-3在区间/2=3X2+4-30,（2,3）内存在零点，故方程3x+4=3］在（,+8）上有解，故p为真命题，根据存在量词的命题的否定方法可得命题M为祗£（0,+8）,3x+4w3所以C正确，故选C.

6.（2022秋•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）给出如下几个结论

①命题Sx£R,cosx+sinx=2”的否定是3%e R,cosx+sinx#2；

②命题“3%£R,cosx+—匚22”的否定是VxwR,cosx+」一2;sinx sinx（兀、i

③对于Vxc Jan龙+---2；V2J tanxR,使sin x+cos x=V

2.@G其中正确的是（）A.

③B.

③④C.

②③④D.

①②③④【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断

①，

②；利用基本不等式判断

③;结合三角函数恒等变换以及性质判断

④，可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，知

①不正确，命题“Hr R,cosx+—!—2”的否定是“Vx R,cosx+」一2或sinx=0，故

②不正确；smx sinxGG，兀、1I1―因为Vx0,—Ltanx+---

2.1tan xx---=2,G\2J tanx vtan九jr兀、1当且仅当tanx=——BPx=-e0,-时取等号，

③正确；tanx4I2/由sin尢+cosx=\/^sin x+—,比如]=—时，及sin尢+―=夜，G[-\/2,/

21、4/4I4/故土:£R,使sin x+cos x-6,

④正确，故选B题型四根据命题的真假求参数的取值范围

⑨3策略方法

1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.

2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.【典例1】已知命题21+1-〃”为假命题，则实数的取值范围是“VX£[1,2],A.-oo,5]B.[6,+ooC.-oo,3]D.[3,+oc【答案】D【分析】先得出题设假命题的否命题“%2%+%0-aWO，则等价于a

22、+%%,xe[l,2],求y=2”+x最力、值即可.【详解】因为命题“立41,2],2-x-a0”为假命题，则命题的否定“切式1,2],2W0”为真命题，所以a22，+xL,%中,2].、易知函数y=2+x在[L2]上单调递增，所以当x=l时，y=2+x取最小值，所以所以实数a的取值Q221=

3.范围为艮+

8.故选D.【典例2]已知命题F/£R,4片+（〃-2）Xo+；VO”是假命题，则实数的取值范围为（）A.（一,0）B.[0,4]C.[4,+o））D.（0,4）【答案】D【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，命题“*0wR,4%+（-2）%+；0”是假命题则该命题的否定“Dx eR,4x2+（-2）x+10”是真命题，4所以（）解得0vav4；A=Q-22-40,故选D.【题型训练】

一、单选题

1.（2022秋・江西宜春.高三校考开学考试）已知命题〃玉;0£R,x；+（a-1）/+1，若命题P是假命题，则的取值范围为（）A.\a3B.-1a3C.-1a3D.Qa2【答案】c【分析】先写出命题，的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得的取值范围.【详解】命题〃是假命题，命题〃的否定是VxeR,x2+（（2-l）x+l0,且为真命题，所以△=（〃—炉―（）

（3）40,4=Q+1Q—解得故选C

2.（2023•江西九江・统考二模）已知命题〃HxeR,+2^+2-6Z0,若〃为假命题，则实数的取值范围为（）A.（L+8）C.（一8,1）【答案】D简记为尸X“，读作“存在〃中元素餐,使M/成立存在量词命题也叫存在性命题..含有一个量词的命题的否定31全称量词命题〃\/工£/,〃％的否定一/为王0£加，「〃公.2存在量词命题p:3x£A1,pXo的否定为0注全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.【常用结论】

1.从集合与集合之间的关系上看设4=｛幻〃此｝,5=｛幻虱1｝.1若AqB,则p是4的充分条件〃=9,q是p的必要条件；若A舶，则p是夕的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即〃=q且9%p；注关于数集间的充分必要条件满足“小n大二2若则p是q的必要条件，q是p的充分条件；3若A=5,则p与9互为充要条件.

2.常见的一些词语和它的否定词如下表等于大于小于任意至多至多原词语是都是=所有有一个有一个小于等于大于等于一个都否定词语不等于不是不都是某个至少有两个没有⑴要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合加中的每一个元素工证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个X，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.2要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合用中能找到一个/使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【分析】首先由〃为假命题，得出力为真命题，即QZO恒成立，由八0,即可求出实数a的取值范VX£R,V+2X+2—围.【详解】因为命题3LteR,x2+2x+2-a0,所以力VxeR,x2+2x+2-a0,又因为，为假命题，所以力为真命题，BPVxeR,炉+2%+2—［20恒成立，所以AWO,即22—4（2—040,解得故选D.

3.（2023・陕西安康・统考二模）下列命题正确的是（）A.“HxwR,logJV+l）〉”的否定为假命题2B.若“X/xwR,依2+4X+I0”为真命题,则4C.若a0,b0,且a+3Z+=9,则a+3bN6D.+人=0的必要不充分条件是£=-1b【答案】C【分析】A选项，由题可知“主wR,18」（/+1）°”的否定，后可判断选项正误；2选项，利用全称命题定义可判断选项正误；B选项，由基本不等式可判断选项正误；c选项，由充分条件，必要条件定义可判断选项正误.D【详解】对于A/+1之1,••Jog/V+DWO恒成立，则工右R，log/Y+l）°为假命题，故错误；A22对于B当=0时，4x+l（）不恒成立，故B错误；对于C..匕忘［巴产］,,••・9_（a+3）W*@^-，解得+3〃26,故C正确；对于D当=匕=0时，得不到，=-1,但当=-1时，必有〃+匕=0,所以£=-1是〃+b=0的充分不必b bb要条件，故错误.D故选C

4.（

2022.全国•高三专题练习）下列命题中是真命题的个数是（）1R,x2-2x-

30.VXG223XGR,X-2X+

40.3若为真命题，贝iJaNlVXE[—1,3],X2_2X+Q0443xe-oo,0,x+——aNO为真命题，则xA.1B.2C.3D.4【答案】c【分析】对12,由二次函数图象即可判断；对3,y=/x=f—21+对称轴为％=1,图象开口向上，命题为真等价于120,求解即可；

44、

4、对4,%e-a,0,x+--“NOoqW--x—-,由均值不等式得--x--«-4,故命题为真等价于x vx\xtz-

4.【详解】对1,由A=4+12=160得尸九2-21-3与x轴有两个交点，故命题1为假命题；对2,图象开口向上，故命题2为真命题；对3,y=/x=£-2X+Q对称轴为1=1,图象开口向上，故VX£[-1,3],/一2%+心为真命题等价于

44、对4,—X—工—2-X♦一XXG-00,0,x+x J-=-4,故命题4为真V/1=1-2+6Z0=^1,故命题3为真命题;命题；故选C

5.2021秋.吉林长春.高三校考期中若命题“HxwR,仪+4o”是假命题，则A.的最小值T B.〃的最小值4C.的最大值-4D.无最大值【答案】A【分析】根据命题的真假，找到真命题的形式，再根据二次函数的恒成立问题列式即可求解.【详解】因为“入丘R,x2+依+40”是假命题，所以Y+公+420”是真命题，“VXER,所以△=/—4xlx40,所以16,所以故选:A.

6.（2023•全国•高三专题练习）若命题“Vx£R,/+2x+3＞〃广是真命题，则实数机的取值范围是（）A.（-＜x）,2）B.[2,+oo）C.D.（2,+oo）【答案】A【分析】根据全称命题的真假，转化为“＜（f+2]+3）可求解.1nhi【详解】命题“\/]£—+2]+3＞加”是真命题，贝[|加＜（12+2%+3）,又因为y=%2+2x+3=（x+l『+222,所以机＜2,即实数用的取值范围是（f,2）.故选:A.

7.（2023春・安徽亳州•高三校考阶段练习）已知命题“玉一■+3/+〉0”为真命题，则实数的取值范围是（）A.（-oo,-2）B.（-oo,4）C.（-2,+oo）D.（4,-f-oo）【答案】c【分析】由题知天时，＞（片-3%0%,再根据二次函数求最值即可得答案.【详解】解因为命题“玉0-焉+3xo+O”为真命题，所以，命题“入0＞焉-3%”为真命题，所以，1/时，＞（看一3七））而口，（3Y9因为，y=x2-3x=x————，12；4所以，当％目-1,1]时，＞min=-2,当且仅当％=1时取得等号.所以，时，＞（片-3玉）1=-2,即实数的取值范围是（-2,小）故选C

二、填空题

8.（2023・吉林・统考二模）命题“*wR,/+%+10”为假命题，则实数的取值范围为.【答案】a14【分析】分析可知命题“VxeR,以之+X+120”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，在=时，直接验证即可；当QH0时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】由题意可知，命题“DxwR,/+x+lNO”为真命题.当=0时，由x+120可得了2-1,不合乎题意；_a01当时，由题意可得L彳…，解得a.QWO1△4=1-4Q40因此，实数的取值范围是aN；4故答案为aN；

49.（2023•高三课时练习）已知命题“存在工£（1,3）,使等式f—如7=0成立，，是假命题，则实数机的取值范围是.「、X【答案】（—8，]市+8【分析】根据条件进行转化，由等式f-如-1=0得到函数m=X」,XC（1,3）,求出值域，再取补集即可.X【详解】由V一如—1=0,（1,3）可得m=x--,xe（l,3）.X因为y=x在X£（l,3）上单调递增，y=-,在x«l,3）上单调递增，所以m=X--在x«l,3）上单调递增，所以m=x-J在xe（l,3）上的值域为（0,|）.Q若命题“存在了£（1,3）,使等式V—g_i=o成立，，是真命题，则0相々.Q所以命题“存在元£（1,3）,使等式/_如_1=（）成立，，是假命题时，实数m的取值范围是屋0或加咚「

8、即实数m的取值范围是（+

8.-S,0]D故答案为（-8,0]u（（\\\\

10.（2023春・四川内江•高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知命题P-,2,3x e-,2,2I，/12/使得方程182%+=¥+2成立，命题4Vx xe[O,l],不等式〃+3々4恒成立.若命题〃为真命题，命p2题9为假命题，则实数的取值范围是________.r131【答案】丁4_4_【分析】先求出命题〃和命题q为真时对应的的取值范围，即可求出.（\S（\\9【详解】对于命题P,当现£亍2时，睡不+£（-1,+1）,当务£亍2时，xf+2e-,62I，/（Q\解得尸《

5.若命题〃为真，贝!]（，-1，+1）=彳，6,即对于命题心当与，々或/时，a+3x^[a,a+3\,412e[l4],9若命题q为真,则+则4,[13二—a513若命题〃为真命题，命题夕为假命题，则4—一，所以丁〃4,心44X.r131综上可得的取值范围为-,

4._4_「131故答案为]，

4.-9-4八题型分类精讲题型二充分「必要条件的判断畲策略方法判断充分、必要条件的几种方法确定条件和结论尝试确定条件和结论p q,p=q,q=p,p定义法的关系q等价条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆转化法否命题来判断真假根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判p,q集合断，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范关系法围，即可解决问题【典例1］已知｛4｝是无穷等差数列，其前项和为S”，则“｛%｝为递增数列”是“存在〃£N*使得S〃0”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解因为｛〃〃｝是无穷等差数列，若｛4｝为递增数列，所以公差令S〃=叫+山〉0,解得〃1-斗，2d［1—予］表示取整函数，所以存在正整数%=1+1-斗,有s“°〉o,故充分；设数列｛%｝为5,3,1,-1,・・.，满足S2=80,但=一20,则数列｛q｝是递减数列，故不必要,故选A【典例2】条件玉工30,则〃的一个必要不充分条件是p:2_6+A.a5B.a5C.a4-D.4【答案】A【分析】对于命题p,由参变量分离法可得，X+二,求出函数=x+±在［1,3］上的最大值，可得\X JXmax出实数的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.33A【详解】若上41,3］,使得/—ox+30,则办幺+3,可得〃1+一,贝+—J,X\/max且〃1=〃3=4,故当九目1,3］时力=4,即1mx所以，〃的一个必要不充分条件是

5.故选A.【题型训练】

一、单选题

1.2021春.广东梅州.高三校考期中设均为单位向量，则平_石卜|£+乎是的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C一2一2【分析】根据向量的运算法则和公式||=不进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由归一4=卜+q，贝!1卜一甲=卜+巧，即蓝+片—271=7+4+275，可得Z/=0,所以Z_L人即充分性成立；__2一一_2-»2一-♦2一一一2一2反之:由，则

2.石=0，可得Z-方=a-b2=a+b^a+b=a-^-b2=a-^-bZJLB9所以忖-即必要性成立，综上可得，=是石的充分必要条件.ZJ_故选c.

2.（2023春・湖北•高三安陆第一高中校联考阶段练习）若0,则“=疝”是,b,成等比数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用等比中项的性质结合充分不必要条件的判定即可得到答案.【详解】因为人=疝，则〃=碇，且bwO,所以b,成等比数列，故前者可以推出后者，若a,b,，成等比数列，举例a=l,b=-2,c=4,则不满足匕=疝，故后者无法推出前者，所以“=右”是“a,b,成等比数列”的充分不必要条件.故选A.

3.（2023・重庆•统考二模）%2一%＜0，，是“/＞（）”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将已知转化为集合的关系再利用充分条件和必要条件的定义处理即可.【详解】由V一％＜可得其解集为1},由e、＞0可得其解集为xeR.而［x\0＜x v1}R,即由f一x＜o，，可以推出“e＞0”,反过来“e”＞0”不能推出“V一工＜，，,故f一工＜，，是“e、＞0”的充分不必要条件.故选A

4.（2023・天津滨海新•天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）设向量Z=（l,-sin），5=（sin2sin），则“2尸是“tan=2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先根据£_1%求tan的值，再判断充分，必要条件.【详解】由条件可知，n-b=sin2^-sin26=0，得2sin，cos9—sin2e=0,4t sin6»（2cos6^-sin6＞）=0,得sin9=0或2cos6—sine=0,即tan0=0或tan8=2所以JL5”是“tan=2的必要不充分条件.故选B

二、填空题

5.（2022秋・湖南长沙高三校考阶段练习）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还♦其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【分析】根据古诗的含义依次判断充分性和必要性即可.【详解】由题意知“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立；，“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故答案为必要不充分.

6.（2023,全国二专题练习）已知ax2++10;Q.cie,则p是4的条件.（在充分不必要、必要P DX£R,2A:不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）【答案】必要不充分【分析】将全称命题为真命题转化为不等式恒成立，利用充分必要条件判断即可求解【详解】因为p Vx£R,加+2X+1N0为真命题等价于不等式以2+21+120在xeR上恒成立,当=0时，2x+120显然不成立;Q0△二4-440综上，实数的取值范围为所以又因为所以是的必要不充分条件.P q故答案为必要不充分.01八

7.（2023•宁夏中卫・统考二模）命题八，命题9一〉，则〃是夕的___________________条件.I y0xy（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要x0【详解】因为一*=x0八y v或yQx0而p:yo9【分析】先解然后根据条件判断即可.所以〃是q的充分不必要条件.故答案为充分不必要.

48.（2023春・江苏南京・高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）“tano=3”是“cos2a=-条件.（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个）【答案】充分不必要.22【分析】利用弦化切得cos2a=，将tan=3整体代入即可证明其充分性成立，令上半4=—土J ta1+tan a1+tan-a5解得tan=±3,必要性不成立.r女班丁生，Q miln cos2a-sin2a l-tan2«1-

942.2【详解】右tano=3,JJ|y cos2a=cos a-sin a=--------------=---------=-----=——cos-a+sirra1+tan-a1+95反之，若cos2a=-金，则^~=_、,则tan2a=9,则tana=±3,51+tan^a5tan,a4贝（I tana=3”是“cos2a=--的充分不必要条件.故答案为充分不必要.

三、解答题

9.（2023秋・河南许昌・高三校考期末）已知集合A={x|炉+2%-8«0},B={x\m-4x3m^-3}.⑴求A；⑵若是气£歹的充分不必要条件，求m的取值范围.【答案】⑴[T2]「1八1⑵一于0【分析】

（1）根据一元二次不等式的解法解出丁+2%-8W0即可；

（2）由题意知若“％eA”是“％eB”的充分不必要条件则集合A是集合3的真子集，求出m的取值范围,再讨论即可.【详解】1由《+2x—80,可得x+4x—20,所以Y4无2,所以集合4=[-4,2].2若“xeA”是的充分不必要条件,则集合A是集合B的真子集,由集合A不是空集，故集合B也不是空集,m-43m+3m—4—4=v3m+32所以113当机=一时，3=｛工|一7%2｝满足题意，当相=0时，3=｛x|-4xW3｝满足题意，即m的取值范围为一!，

0.D LJ

10.2023・全国•高三专题练习已知数列｛〃〃｝满足为+用〃〃求证数列｛%｝为等差数列的充要=2+1EN*,条件是4=

1.【答案】证明见解析【分析】先证明必要性，再证明充分性.【详解】必要性数列｛%｝为等差数列，公差为d,则4=]+l）d,4〃+]=q+〃d,所以见+〃+]=4+（几一l）d+4+nd=2%+（2〃-l）d=2dn+2%-d所以充分性:因为时，2+4用=2〃+1

①，

②,｛%｝满足4+用=2〃+l EN*）恒成立,

①一

②得时，〃+即｛%｝的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列.因为4+4=3,4=1,所以%=

2.所以%«=%+2（左一1）=2左，a_=«]+2^k-t）-2k-l,2k1所以见=〃，数列｛%｝为等差数列.综上，数列｛%｝为等差数列的充要条件是6=

1.题型二根据充分必要条件求参数的取值范围

④3策略方法充分、必要条件的探求方法与范围有关

1.先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件.利用充要条件求参数的两个关注点

2.1巧用转化求参数把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式或不等式组求解.2端点取值慎取舍在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.【典例1]若关于X的不等式卜-2|成立的充分条件是0%6,则实数的取值范围是A.—8,2B.[2,4]C.4,+8D.[4,+oo【答案】D【分析】由卜-2|a化简得到2-avxa+2,根据不等式卜-2|〃成立的充分条件是0x6,列出不等式组，求得答案.【详解】当QWO时，上一2|不成立，故〃0,此时由上一2|得2—avxva+2,J2-〃0解得[6^z+2因为不等式k-2|成立的充分条件是0x6,即0,6q2-a,a+2,故选:D【典例2】已知p—如0，，，q“lg%0，，，若〃是夕的必要不充分条件，则实数〃2的取值范围是A.[0,+）B.（0,+8）C.[l,+oo）D.（1,+8）【答案】D。