第48讲 正态分布（原卷版）

第讲正态分布

48.正态曲线及其性质1正态曲线及其性质⑴正态曲线

1.（厂〃I1函数其中实数4eg〉）为参数，我们称（）的图象为正态分布密0=2b0”x22兀（7度曲线，简称正态曲线.⑵正态曲线的性质

①曲线位于工轴上方，与轴不相交；X

②曲线是单峰的，它关于直线=〃对称；X

③曲线在=〃处达到峰值；x6—

④曲线与工轴之间的面积为1；

⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着〃的变化而沿工轴平移，如图甲所示；4

⑥当〃一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小.曲线越“瘦正态分布

2.pb一般地，如果对于任何实数力（〃〃），随机变量X满足P（4x〃）=[%s（x）dx则称随机变量XJ a服从正态分布（normaldistribution）.正态分布完全由参数〃和确定，因此正态分布常记作N（出（J1）.如果随机变量X服从正态分布，则记为X（〃）N Q

2.正态总体三个特殊区间内取值的概率值

3.1P-a XjLi+a）=

0.68262P（-2X4+2）=

0.95443—3bX〃+3b）=

0.

99744.3o■原则通常服从正态分布N,o-2）的随机变量X只取（〃—3G〃+3b）之间的值.L（全国高二学业考试）设随机变量J〜N（〃,4）,函数,f（x）=£+2x—J没有零点的概率是

0.5,则P（l^3）=（）附若J〜N（4,02）,贝i」p（〃一b4J〃+b）B（）.683,P（〃一2bJ〃+2b）eO.

954.A.

0.1587B.

0.1355C.

0.2718D.

0.3413（全国高二单元测试）某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位微米）服从

2.正态分布N（l,32）,从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间［4,7］内的概率为（）（注若随机变量自服从正态分布（〃）则夕（〃—卜62,24+

068.3%,P（〃-2bWJ W〃+2卜

95.4%）A.

31.7%B.

27.18%C.

13.55%D.

4.5%（全国高二课时练习）某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径才（单位）服从正态分布

3.mmX Ml00,1）.现加工10个螺栓的尺寸（单位mm）如下:

101.7,

100.3,

99.6,

102.4,

98.2,

103.2,

101.1,

98.8,

100.4,

100.

0.X N（,S）,有P（〃-2W启〃+2）心

0.954,〃（〃-3〈启〃+3）^

0.

997.根据行业标准，概率低于视为小概率事件，工人随机将其中的个交与质检员检验，则质检员认为设备需

0.0038检修的概率为（）「「「444341A•一A.—B.-C D.—

4555454.（全国高二课时练习）已知随机变量乃服从正态分布即X N（〃Q2）,且〃（〃一收〃+o）-o.6826,若随机变量hM5,）则〃（第）（）1,6A.

0.3413B.

0.3174C.

0.1587D.

0.1586（全国高二课时练习）随机变量自服从正态分布）若尸（）则修-）+（）（）

5.Ml,4,2vjv3=a,11J2=\—a1八1A,-------B.—ci C.a+

0.003a D.—卜a222（全国高二课时练习）已知随机变量服从正态分布（）且尸（）则实数的值为（）

6.X Na,4,xl=O.5,A.1B.2C.3D.4众多，成绩分布的直方图可视为正态分布）,下列说法中正确的是（）（全国高二课时练习）某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示（由于人数

7.A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙总体的平均数不相同

8.（山东广饶一中高三月考）设随机变量JN（O,1）,已知中（一

1.96）=

0.25,则P（冏

1.96）=（A.

0.95B.

0.05C.

0.975D.

0.

4259.（全国高二单元测试）设hM小，4）,Y〜N或），这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的B.P（Q/）（后外）若则尸（启力（反力C.K0,W若贝（历力D.K0,lj P

10.（河南高二期末（理））某袋装加碘食盐的质量X（单位克）服从正态分布N（500,4）,某超市在进货前要在厂家随机抽检这种食盐100袋，则质量在（498,504］内的袋数约为（）附若X〜则尸“—bvX〃+b）=

0.6826,尸（〃-2b vX〃+2b）=

0.

9544.zA.82B.80C.84D.86（济南市历城第二中学高三开学考试）某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培IL育和发展养老护理服务市场.从年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照2016表年份20162017201820192020年份代码（）X12345新建社区养老机构（y）1215202528（）根据上表数据可知，丁与工之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程=为+心（）i yx92若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布（）其中年龄（］的有人,试估X N70,9,Xw76,79321计该地参与社区养老的老人有多少人？n-£（%—元）（»—歹）A八参考公式线性回归方程》=加+6,力=匕------------------，d=y-bx.£（七-元,i=l参考数据P（〃-2bVXV//+2cr）=

0.9545,P（〃—3b XV//+3）=

0.9973（全国高二课时练习）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布（）

12.Ar70,

100.已知成绩在分以上（含分）的学生有人.909012（）试问此次参赛学生的总数约为多少人？1（）若成绩在分以上（含分）为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？28080附正态分布概率表3P（u—〈启〃+）Q

0.6827,9（〃一2〈启〃+2）y

0.9545,户（〃一3〈启〃+3）仁

0.

997313.（全国高二课时练习）已知随机变量XN（〃02）,且其正态曲线在（一8,80）上是增函数，在（80,十8）上为减函数，且尸（）72X88=

0.

6826.⑴求参数的值.4,⑵求P64X

472.附若X NW,,则—bX〃+b=

0.6826,P〃-2b vX〃+2b=

0.

9544.（重庆市第七中学校高三月考）为了解大学生每年旅游消费支出（单位百元）的情况，相关部门随机抽

14.取了某大学的名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表1000组另」1[0,20[20,40[40,60[60,80[80,100频数22504502908

（1）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X服从正态分布N（51,152）.若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在元以上；8100（）已知样本数据中旅游费用支出在［］范围内的名学生中有名女生，名男生，现想选其中名学生280,1008533回访，记选出的男生人数为求的分布列与数学期望.y.y附若XN.,吟,则—bX4+b）=

0.6826,P（〃一2b X4+2）=

0.9544,一3bX〃+3b）=

0.

9973.

15.（黑龙江哈尔滨三中高二月考）某精密仪器生产车间每天生产〃（〃充分大，且〃EN*）个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查.50根据多年的生产零件的数据和经验，知这些零件的长度d（单位〃m）服从正态分布N（10,

0.12）,且相互独立.若满足则认为该零件是合格的，否则该零件不合格.d

9.7d

10.3,

（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X,求P（X22）及X的数学期望£（X）；附若随机变量J服从正态分布N（〃,b2）,贝i」p（4—3bjW〃+3b）k

0.9973,O.997350^

0.8736,

0.997349x

0.0027x

0.

0024.（）小张某天恰好从个零件中检查出个不合格的零件，以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查2502一个零件的成本为元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为元,为了使损失尽量小，小张是否需要10260检查其余所有零件？试说明理由.。