《数值计算方法绪论》课件

数值计算方法绪论数计计现数数值算方法是一门重要的科学分支,它利用算机实各种学模型的值求应挥关键课将绍数计解,在科学研究和工程用中发着作用本程全面介值算方法础论应的基理和实际用课程目标掌握数值计算基础了解数据表示和误差分析习数计数误断误学值算的基本概念、重要性、分类和掌握浮点表示、舍入差和截差的分特点析方法学习常见数值计算方法探讨数值计算应用领域线组线数数计计应领涵盖性方程求解、非性方程求解、了解值算在科学算、工程用等域积值微分等常用算法的广泛用途数值计算的基本概念数值计算的定义数值计算的步骤数值计算的应用数计计对数问题进数计问题计编数计应计值算是利用算机学行近似值算通常包括建模、算法设、值算广泛用于科学研究、工程设、过数将连现结骤环领现求解的一种方法它通字化的方式程实和果分析等步,是一个循迭代金融分析等域,是代科技发展的重要支续问题计执过的离散化,得到可以在算机上行的程撑的算法数值计算的重要性数计现领础们值算是代科学和工程域中不可或缺的基工具它可以帮助我解决无杂问题计数计法用解析方法求解的复,提高算效率和精度值算在各行各业广泛应领对关键用,包括物理、化学、生物、经济、金融等域,科技发展起着作用数值计算的分类基于算法的分类数计为积根据所使用的算法不同,值算可分插值法、微分法、分法等多种方法每种方法都有场自己的特点和适用景按问题类型分类数计线组线问题问题数问值算可用于求解性方程、非性方程、优化、特征值等不同类型的学题按精度要求分类数计虑为计值算需要考精度要求,可分低精度、中等精度和高精度算等精度要求不同,采用的算法和实施方式也会有所不同数值计算的特点高效性灵活性鲁棒性可视化数计数计应数计应对数数计结过图值算方法能够快速准确地值算方法可以用于各种值算方法能够有效值算果能够通形化进数计杂问题误计观现行大量的据处理和算,复,从而提供了很强的据中的噪声和差,确保算的方式直展,便于理解和满应对结稳足实际用中效率和速度适用性和通用性果的可靠性和定性分析的需求数据表示和误差数字表示误差产生原因12数计进数计现误值算中常使用二制、十值算中常会出四种差:进进数误断误制以及十六制等不同的舍入差、截差、四舍五误测误这字表示方式每种表示方式都入差以及量差等些误来数计过有其优缺点差源于据采集和算程误差传播误差分析方法34计过误过绝对误对误在多步算程中,各种差会可以通差、相差积终计结误误累放大,最影响算果的、平均差以及最大差等指对误进标来评数计准确性因此需要差行估值算的精度分析和控制浮点数表示二进制表示计进储数数数算机采用二制系统存和表示字,包括整和小部分指数表示数数数组数数浮点由符号、指和尾三部分成,使用指表示小部分精度表示数数产误数浮点表示有限位,会生舍入差,精度受限于表示位舍入误差误数过对数进断产误这舍入差是由于据处理程中值行截或四舍五入而生的差种误过调计数来尽差通常无法完全消除,需要通整算公式、增加有效位等方法量减小其影响计数数当执时进由于算机系统采用浮点表示值,行运算会自动行舍入操作,因此舍误数计误计误对入差是值算中不可避免的一类差合理地估和控制舍入差于提高数计值算的准确性非常重要截断误差断误数计时计产误当截差是由于值算需要限制算精度而生的差一个无限的序列穷级数断为项时产断误这误许数计或无被截有限的,就会生截差种差在多值算中都不可避免1K1%断数断误误截位截差占总差比例

0.000110^-10断误可接受的截差上限最高精度要求四种基本误差分析舍入误差截断误差方法误差模型误差计数计时计数由于算机的有限精度,值在近似算,由于忽略了高由于所采用的算方法本身的由于所建立的学模型无法完结论计结阶项产误称为断误误称为问题误运算果与理算果之间而生的差截局限性而引入的差方法全反映实际而引入的差这误称为过计来误选择数计称为误存在偏差,种差舍入差通常通增加算精度差合适的值算方模型差需要根据实际误断误误数差降低截差法可以减小方法差情况优化学模型误差传播定理理解原理应用场景12误传数计们差播定理描述了各种输入在值算中,我需要确定各误过计传终误来传预差如何通算播到最种差源,并利用播定理结计终结误围果，从而影响算精度估最果的差范分析技巧增强理解34过误误传通差分析可以优化算法设深入理解差播定理有助于计选数计们数计,用合适的值算方法,我更好地把握值算的本计质从而提高算准确性和局限性算法的稳定性输入数据敏感性内部计算过程稳对细内数计过定的算法微的输入变化不算法部的值算程也需要产这稳误问会生大的输出变化是算法定,避免因舍入差等引起的稳关键题性能定的误差传播特性容错性应误传稳应围内算法具有良好的差播特性,定的算法能够在一定范误为数误避免小的输入差放大大的输容忍输入据的差或缺失误出差算法的收敛性收敛性的定义收敛性的重要性收敛性的分析敛断计敛过对敛进论数算法的收性指的是算法在不迭代算的收性好的算法可以更快地找到所需解,并通算法的收性行理分析和值实过结渐计结稳这对许验预测敛选程中,其果是否会逐接近真正的解且算果更加定和可靠于多实,可以算法的收速度和精度,从而这评标应关键择是判算法优劣的重要指之一际用非常合适的算法常见数值计算方法概览数计应计计领线组线数积值算方法广泛用于科学算、工程设、金融分析等域主要包括性方程求解、非性方程求解、值数问题问题这计现数数分、值微分、初值求解、边值求解、插值法等些方法利用算机高速处理能力,实学模型的值求解,为问题实际提供有效解决方案线性方程组求解直接法1过阵计线组通矩消元或高斯消元等方法直接算性方程的解，适规线组用于小模的性方程迭代法2对规线组赛于大模稀疏的性方程，利用雅可比迭代、高斯-德尔敛迭代等方法逐步收至解特殊算法3针对结线组对称阵对阵特殊构的性方程，如正定矩、三角矩等专，有门的高效算法非线性方程求解方程分类1为数根据方程的形式,可分代方程和超越方程求解方法2顿线主要包括牛迭代法、弦法、割法等收敛性3对测不同算法初始猜值的敏感性各不相同应用案例4应在工程中广泛用,如电路分析、化学平衡等线数计内应过对线问题非性方程求解是值算中的一个重要容,涉及广泛的实际用通非性方程的分类和求解方法的研究,能够更好地解决工程中的实际数计,提高值算的准确性和效率数值积分定积分定义数积数计积过过数数来计积结值分是使用值方法算定分的程,它通有限个据点的函值近似算分果积分公式数积们将连续数转为计常用的值分公式包括矩形公式、梯形公式和辛普森公式等,它可以函化离散值的求和算网格划分进数积时将积区为区选择来现计在行值分,需要分间划分若干小间,合适的网格点实离散化算误差分析数积产断误误对们进证积结值分会生截差和舍入差,需要它行分析和控制,以保分果的准确性数值微分导数估计1过进数导数通离散点行值微分近似估算差商公式2应计导数用有限差分公式算值二阶导数3扩阶导数展差商公式以估算二数数导数应对数进计阶导数阶导数导数值微分是从有限离散点估算函的重要方法它用差商公式函值行近似微分算,可以得到一和二等信息数计领应数计关键值微分在科学算、信号处理等域广泛用,是掌握值算的技能之一初值问题求解建立模型1将问题转为实际化微分方程形式选择方法2选择数根据方程特性合适的值解法求解过程3数运用值方法逐步求得解值分析结果4检评计查解的精度并估算性能问题问题过数选择数计过结骤初值是指已知初始条件的微分方程求解通建立学模型、合适的值方法、求解算程以及分析果等步,可以高效地求解各问题应领类初值,广泛用于工程、科学等域边值问题求解边值问题定义1问题给边值是指在定边界条件的情况下求解微分方程与初值问题问题满约不同，边值需要足两端或多端的边界束条件边值问题求解方法2问题数常用的边值值求解方法包括差分法、shooting法、变分问题法等不同方法适用于不同类型的边值边值问题应用场景3问题应领结边值广泛用于物理、工程等域,如构力学、流体力学热传导问题、等的建模和求解插值法多项式插值1过数项通已知据点拟合多式样条插值2项连续采用分段多式平滑拉格朗日插值3计简单荡问题算但存在震过数来预测数数计项这插值法是一种通已知据点未知据点的值算方法常用方法包括多式插值、样条插值和拉格朗日插值等些方法各有问题选择特点,需要根据具体的特点合适的插值方式最小二乘法数据拟合过预测误寻数最小二乘法通最小化值和实际值之间的差平方和,找最佳的函参数线性回归对线关数线于性系据,最小二乘法可以求出最佳的直斜率和截距非线性回归对线关数线线于非性系据,最小二乘法可以拟合出各种非性曲模型应用场景应计场预测领最小二乘法广泛用于科学研究、工程设、市等域特征值问题求解特征值分解1将阵为矩分解特征向量和特征值特征向量2阵描述矩的主要特性特征方程3阵关键骤求解矩特征值的步求解算法4QR分解、幂法、反幂法等问题数计问题过对阵进获阵质特征值是值算中的核心之一通矩行特征值分解,可以得描述矩性的特征向量和特征值求解特征值的常见算法包括QR们计阵这应应分解、幂法和反幂法等,它可以高效地算出特征值并确定矩的主要特性些方法在很多工程用中都有重要用优化方法确定目标函数标数这标首先需要定义要优化的目函,可能是成本、效率或其他指确定约束条件识别过资术规影响优化程的各种限制条件,如源、技或法等选择优化算法标数约选择遗传根据目函和束条件,合适的优化算法,如梯度下降法、算法等进行迭代计算选过计利用定的优化算法,通多次迭代算得到最优解分析优化结果评结满时调标数约估优化果是否足要求,必要整目函或束条件数值计算应用领域概述科学研究工程设计领领在物理、化学、生物等科学域,在航空、航天、汽车等工程域,数计验数计产计值算在实建模、模拟仿真值算有助于品设优化、数应预测和据分析等方面广泛用性能分析和故障金融投资医疗诊断证资资产疗在券投、风险管理、定在医影像分析、生物力学模拟领数计疗领数计价等金融域,值算有助于提和药物研发等医域,值算挥高决策效率和风险控制水平发着重要作用数值计算软件工具MATLAB RPython Octave费开计计简单语费开MATLAB是一种广泛用于科学R是一种免源的统算和Python凭借易学的法和Octave是一款免源的计数软绘图软针对数库数计领语软算和值分析的强大件工件,据分析和建模大量的第三方,在值算MATLAB法兼容件,功能强编库数欢别对具,提供了丰富的工具箱和程提供了丰富的和功能,广受域也广受迎,特适用于快速大,适合MATLAB有一定了解轻杂数计领爱开数应功能,可以松处理复的值值算域的喜原型发和据科学用的用户使用计算任务数值计算未来发展趋势更高算力算法创新软件集成云计算应用导术断进数计断创数计软将计将数计资随着半体技的不步,值算算法的不新和优值算件与人工智能、云算的普及使值算计将来将计满数术获算机硬件的算力越越强化提高算精度和效率,大据等技深度融合,提供源按需取,降低企业的IT成来杂数应大,能够处理越越复的足更多实际用需求更智能化的解决方案本计问题值算本课程总结概念梳理课绍数计应为续习坚础本程系统地介了值算的基本概念、方法和用,后深入学打下实基方法掌握课讲数计术线组线数积程重点解了值算的主要技,包括性方程求解、非性方程求解、值分微分等实践应用过养将识应问题通实际案例分析,培学生所学知用于解决实际工程的能力课后思考习数计们应该将在学了值算方法的基本概念、特点和经典算法之后,我思考如何这识应问题选择数计些知用于实际中如何根据具体需求合适的值算方法如何计数计软来数计提高算的准确性和效率值算件工具有哪些优缺点未值算会如这们进讨问题何发展些都是值得我一步思考和探的。