Polya计数法置换群于对称群课件

置换群与计数法Polya课程纲要置换群概念对称群12置换群定义、性质及应用对称群的定义和性质3循环置换4Polya计数法循环置换的定义和性质Polya计数法的基本思想及应用对称群的结构对称群是由集合上的所有置换组成的群每个Sn{1,2,...,n}置换都是一个将集合元素重新排列的映射，可以表示为一个二维数组，其中第一行表示原始元素，第二行表示元素被映射到的位置对称群的结构可以表示为一个图，图中的节点表示群Sn Cayley中的元素，边表示群运算由于对称群是一个非交换群，因此图通常是非对称的Cayley置换群概念引入集合和映射群的定义置换群建立在集合和映射的基础上首先定义一个集合，它包含了置换群是一种特殊的群，它由集合上的双射映射组成这些映射必一组元素然后定义一个映射，它将集合中的元素映射到集合本身须满足群的定义，即封闭性、结合律、单位元和逆元中的其他元素置换群的性质封闭性单位元置换群中任意两个置换的乘积仍然是置换群中存在一个单位元，它与任何该群中的一个置换置换的乘积都等于该置换逆元置换群中每个置换都存在一个逆元，它们相乘等于单位元置换群的阶置换群的阶指的是群中元素的个数，也就是置换的总数置换群的元素分类对换循环置换复合置换仅交换两个元素位置，其余元素保持不变将一组元素按照特定顺序循环排列，形成由多个对换或循环置换组合而成的置换，的置换称为对换一个封闭的循环，称为循环置换称为复合置换循环置换定义表示法长度在一个置换中，如果元素按照某个顺序循环置换通常用圆括号表示，例如13循环置换的长度是指循环中包含的元素排列，使得每个元素都映射到下一个元2表示元素1映射到3，3映射到2，数量，例如132的长度为3素，最后一个元素映射到第一个元素，2映射到1则称该置换为循环置换循环置换的性质循环置换的阶循环置换的逆一个循环置换的阶等于它的长度循环置换的逆等于将循环置换中的元素顺序反转循环置换的乘积两个循环置换的乘积可以通过将它们连接起来得到置换群的子群置换群的子群是其自身的一个非空子子群必须包含群的单位元，并且对于集，并且满足群的定义子群中的任意两个元素，它们的乘积和逆元也属于子群子群的概念帮助我们理解置换群的内部结构，以及其元素之间的关系对称群的子群定义性质12对称群的子群是指对称群中满对称群的子群也是群，且其阶足群运算封闭性、结合律、单为对称群阶的因子位元存在性和逆元存在的子集重要性3对称群的子群在研究对称群结构和计数问题中起着重要作用，可以帮助我们理解对称群的性质和应用计数法引入Polya对称群1理解对称群结构，为计数法奠定基础Polya置换群2置换群概念是计数法的核心PolyaPolya计数法3运用群论解决组合计数问题计数法的基本思想Polya等价类划分Burnside引理计数法基于将所有可能的结果划分成等价类，即对称性相利用引理计算每个等价类中元素的个数，进而求得所有Polya Burnside同的对象归为一类等价类的个数定理Polya公式表示应用场景Polya定理利用群论和组合数学理论，提供了一种计算不同着色方该定理广泛应用于化学、物理、计算机科学等领域，解决着色、排案的方法列、组合等问题应用定理解决计数问题Polya问题分析明确计数对象、着色方案和对称群循环指标计算对称群中每个置换的循环指标Polya定理利用Polya定理计算着色方案数结果验证检验结果是否符合实际情况定理的证明思路Polya循环指标1计算群作用下不动点的数量置换群2定义群作用，并分析不动点Burnside引理3将不动点与群元素联系简单应用举例例如，假设我们要对一个圆形进行染色，可以使用三种颜色红色、蓝色和绿色我们想知道有多少种不同的染色方式？我们可以用定理来解决这个问题首先，我们需要确定圆形的所有对称Polya性圆形有种对称性旋转度、旋转度、旋转度、旋转度、6060120180旋转度和旋转度240300我们可以用置换群来表示圆形的所有对称性例如，旋转度的置换可以表示60为，其中被映射到，被映射到，以此类推1234561223复杂应用举例1例如，考虑一个六边形，我们想要用两种颜色对其六个面进行染色，那么有多少种不同的染色方案？我们可以使用定理来解决这个问题首先，我们需要找出所有可能的染色Polya方案由于有两种颜色，所以每个面有两种选择，总共有种可能的染色2^6=64方案接下来，我们需要考虑对称群对于六边形，它的对称群是，包含个元素D612，包括旋转和翻转复杂应用举例2例如，求解一个正六边形的所有不同的染色方案，每个顶点可以染上红、黄、蓝三种颜色，旋转或翻转后相同的方案算作同一种方案复杂应用举例3马赛克图案几何图案使用计数法，可以计算出有多少种不同的马赛克图案，这些计数法也适用于计算几何图案的数量，例如可以计算出有多Polya Polya图案由不同颜色的瓷砖组成，并且这些图案可以被旋转或翻转少种不同的三角形、正方形或五边形图案，这些图案可以使用不同的颜色进行绘制复杂应用举例4利用计数法，可以计算不同类型的项链的个数例如，假Polya设我们要用三种颜色的珠子串成一条项链，每条项链上共有颗珠5子，问有多少种不同的项链复杂应用举例5考虑一个正六边形，每个顶点可以染成红色或蓝色，求有多少种不同的染色方案？我们可以使用定理来解决这个问题首先，我们需要确定对称群的元素，Polya即六边形的所有对称变换然后，我们可以计算每个对称变换下的染色方案数，并使用定理求得总的染色方案数Polya课程总结置换群Polya定理对称群是重要的数学结构，计数法是解决对称物体计数问理解循环置换和等价类是掌握定理的关键利用定理Polya Polya Polya题的有力工具可以有效解决各种计数问题典型习题演练1例题1例题2求一个四面体的所有对称变换构成一个群求一个正方形的所有对称变换构成一个群典型习题演练2题目1题目2将一个正方形染色，用红、蓝、绿三种颜色，每个正方形的四个用三种颜色给六个点染颜色，每个点的颜色都可以相同或不同顶点都必须染成不同的颜色求有多少种不同的染色方案求有多少种不同的染色方案？典型习题演练3问题描述解答思路请描述一个具体的应用场景，并首先明确问题中需要计数的对象解释如何使用Polya计数法解决，然后确定对称群的结构，最后该问题利用Polya定理计算计数结果解题步骤详细列出解题步骤，包括确定对称群、计算循环指标、应用定理等Polya典型习题演练4习题内容解题步骤计算将个相同的球放入个不同的盒子里，要求每个盒子至少有首先将个球放入个盒子，不考虑每个盒子至少有一个球的限制103103一个球的方案数，共有C10+3-1,3-1=66种方案然后考虑每个盒子都为空的方案，共有种方案最终，将个球放入个C10+3-1,3-1=66103盒子，要求每个盒子至少有一个球的方案数为66-66=0典型习题演练5将一个正方体染成三种颜色，每面一种颜色，问有多少种不同的染色方案？利用计数法，我们首先分析正方体的对称性正方体的对称群有个元素，包括旋转和反射我们可以将对称群分成若干个循环置Polya48换类，每个循环置换类对应一种染色方案例如，将正方体旋转度，每个面都会旋转到另一个面，这对应一个个元素的循环置换同904样地，将正方体绕着一个面中心旋转度，对应一个个元素的循环置换1802根据定理，不同的染色方案数等于对称群中所有循环置换类中，颜色分配方案数的平均值我们计算每个循环置换类中，颜色分配Polya方案数，并将结果加起来，最后除以，就可以得到最终答案48课后思考题如何将计数法应用于实际问题计数法与其他计数方法有何区PolyaPolya？别与联系？置换群的结构与计数法的应用Polya有何关系？参考文献组合数学抽象代数离散数学组合数学第四版冯克勤等著高等教抽象代数第二版王萼芳等著高等教离散数学第五版耿素云等著高等教,,,,,,育出版社育出版社育出版社,2013,2014,2017。