离散数学函数课件

离散数学函数函数的定义和性质定义定义域函数是一种特殊的对应关系，它将一函数的定义域是所有可能的输入值的个集合中的元素映射到另一个集合中集合的元素每个输入值只能对应一个输出值值域函数的值域是所有可能的输出值的集合一对一函数单射定义性质如果对于集合A中的任何两个不一对一函数保证了不同的输入对同的元素a1和a2，它们在函数f应不同的输出，这使得它们在数下的像fa1和fa2也不相同，学和计算机科学中非常有用，例则称函数f为一对一函数或单射函如用于加密和数据压缩数例子例如，函数fx=2x+1是一个一对一函数，因为不同的x值会导致不同的fx值全射函数定义特点示例对于集合A和B中的每个元素，如果A中全射函数保证B中的每个元素至少有一个例如，函数fx=x^2从实数集到非负实数的每个元素都映射到B中的唯一元素，并对应元素在A中集是一个全射函数且B中的每个元素至少被A中的一个元素映射到，则称为全射函数双射函数定义性质一个函数既是单射又是满射，则称它为双射函数或一一对应函对于每个元素，都存在且仅存在一个元素与其对应数函数的复合定义1将两个函数的输出作为另一个函数的输入记号2fgx或f∘gx示例3fx=x^2,gx=x+1复合函数4fgx=x+1^2复合函数的性质结合律单调性12对于三个函数f、g和h，如果如果f和g都是单调递增函f○g○h和f○g○h都数，则f○g也是单调递增函定义，则f○g○h=f○g数；如果f和g都是单调递减○h函数，则f○g也是单调递增函数；如果f和g一增一减，则f○g是单调递减函数奇偶性3如果f和g都是奇函数，则f○g是奇函数；如果f和g都是偶函数，则f○g是偶函数；如果f和g一奇一偶，则f○g是奇函数逆函数定义性质如果函数fx的反函数存在，则称fx是可逆的反函数记作f-如果fx可逆，则其反函数f-1x也可逆，且f-1-1x=fx1x，满足ff-1x=x且f-1fx=x逆函数的性质如果f和g互为逆函数，则fgx=x逆函数的定义域和值域分别等于原函且gfx=x数的值域和定义域逆函数的图像关于直线y=x对称反函数定义性质如果对于一个函数fx，存在一个反函数和原函数互为逆运算，它函数gx，使得对于任意的x在f们的图像关于直线y=x对称的定义域内，满足gfx=x且fgx=x，则称gx为fx的反函数求解求反函数需要将原函数的表达式解出x的表达式，然后将x和y互换即可得到反函数的表达式函数的图像函数的图像可以用来直观地展示函数的性质，例如函数的单调性、奇偶性、周期性等在平面直角坐标系中，函数的图像是一条曲线，这条曲线上每个点的横坐标对应自变量的值，纵坐标对应函数值函数的变换平移1将函数图像沿坐标轴移动伸缩2将函数图像沿坐标轴拉伸或压缩对称3将函数图像关于坐标轴或原点对称特殊函数阶乘函数幂函数对数函数阶乘函数表示一个正整数的连乘积，例如5!幂函数表示一个变量的某个常数次方，例如对数函数表示一个数的底数为某个常数时的=5*4*3*2*1=120x^3=x*x*x指数，例如log28=3阶乘函数定义计算应用123n的阶乘表示为n!，它是从1到n的阶乘函数通常用于计算排列和组合，阶乘函数在概率论、统计学和计算机所有正整数的乘积例如，5!=5*4它代表了从n个不同元素中选择k科学等领域都有广泛的应用*3*2*1=120个元素的不同排列数量幂函数定义性质12形如y=x^n的函数称为幂函幂函数的图像取决于n的值，当数，其中n为实数，x为自变n为正整数时，函数图像为单调量递增的，当n为负整数时，函数图像为单调递减的，当n为分数时，函数图像为分段函数应用3幂函数在物理学，工程学，经济学等领域都有广泛的应用对数函数定义性质对数函数是指数函数的反函数，对数函数具有以下重要性质单它将一个正数映射到它的对数调性、对数运算规则等应用对数函数广泛应用于科学、工程、金融等领域，例如测量声强、地震强度等指数函数定义性质指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是一个大于0且不等于1指数函数的性质包括的常数，x是自变量•定义域为全体实数•值域为正实数•当a1时，函数单调递增•当0a1时，函数单调递减三角函数正弦函数余弦函数正切函数连续函数定义性质如果一个函数在定义域内，其图像可以不间断地绘制出来，则称为连续函数在定义域内连续，即无跳跃或断点连续函数间断函数跳跃间断可去间断无穷间断函数在某点左右极限存在但不相等函数在某点左右极限存在且相等，但函数值函数在某点左右极限至少有一个为无穷大不存在或与极限值不相等函数的限函数的极限极限的符号极限的应用函数的极限描述的是当自变量无限接近某用符号lim表示极限，例如limx→a极限在微积分、数值分析和物理学中都有个特定值时，函数值的变化趋势fx表示当x无限接近a时，函数fx的广泛的应用，用于研究函数的连续性、导极限数和积分函数的极限性质唯一性有界性如果极限存在，则极限值是唯一如果极限存在，则函数在该点的的某个邻域内是有界的保号性如果函数在该点的某个邻域内始终大于或小于零，则极限也大于或小于零函数的连续性在某个点处，函数的图像没有断裂，函数在某个区间内连续，意味着函数也就是说函数在该点处左右两侧的极在该区间内每个点处都是连续的限都存在且相等连续函数在实际问题中广泛应用，例如描述物体的运动轨迹、温度变化等基本初等函数幂函数指数函数12形如y=x^n的函数，其中n为实数，称为幂函数形如y=a^x的函数，其中a为大于0且不等于1的常数，称为指数函数对数函数三角函数34形如y=log_a x的函数，其中a为大于0且不等于1的常包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数数，称为对数函数和余割函数反三角函数反三角函数是三角函数的反函数它们用于求解三角函数方程，并确定角的度数反三角函数的图形是三角函数图形的镜像双曲函数双曲正弦函数双曲余弦函数sinhx=e^x-e^-x/2coshx=e^x+e^-x/2函数的应用现实世界问题计算机科学数学研究函数可以用来模拟现实世界中的许多现函数是计算机编程的基础它们允许程序函数在数学研究中起着至关重要的作用象，例如人口增长、物体的运动和温度变员将代码组织成可重用的模块，从而使程它们是理解许多数学概念的关键，例如微化序更容易编写和维护积分、线性代数和拓扑学常见函数的导数导数是微积分中的基本概念，它表示函数在某一点处的变化率导数的求解可以使用各种方法，例如求导公式和微分法则导数的性质加减法乘法12两个可导函数的和或差的导数两个可导函数的积的导数等于等于它们各自导数的和或差第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数除法链式法则34两个可导函数的商的导数等于复合函数的导数等于外层函数分母的平方上的分子导数乘以的导数乘以内层函数的导数分母减去分子乘以分母导数导数的应用优化速率导数可用于找到函数的极值点，导数可以用来求解速度、加速从而优化生产、成本、利润等问度、变化率等问题，例如物体运题动的速度、人口增长率等曲线导数可以用于分析函数的单调性、凹凸性，并绘制函数图像，从而理解函数的性质和行为函数的积分积分的概念积分的种类积分的应用积分是微积分中的一个基本概念，它代表有定积分和不定积分两种，定积分表示曲积分广泛应用于物理学、工程学、经济学了函数曲线下的面积线在特定区间内的面积，不定积分表示函等领域，用于计算面积、体积、质量等数的原函数积分的应用计算面积计算体积计算弧长积分可以用来计算曲线围成的面积积分可以用来计算旋转体积积分可以用来计算曲线长度。