【考研数学】极限的求法模版课件

【考研数学】极限的求法掌握极限的求法是考研数学中至关重要的一环本课程将带您全面学习极限的相关知识，并结合例题讲解，助您轻松应对考研数学中的极限考点课程目标理解极限概念掌握极限的求法对极限的概念和性质有深刻的理解，并能灵活运用熟练掌握求极限的各种方法，包括函数极限的四则运算、夹逼定理、洛必达法则等极限概念回顾极限的概念极限的定义12当自变量趋于某个值时，使用语言来严格定义函ε-δ函数值无限接近于某个常数极限，体现极限的本质数，这个常数就称为函数的极限极限的性质3极限的唯一性、有界性、保号性等，为求极限提供了基础极限的两种求法直接求法间接求法利用函数的解析式，直接进行化简和代入，求得极限值当直接求法无法得到结果时，使用夹逼定理、洛必达法则等间接方法求解极限两种求法的区别直接求法间接求法适用于解析式简单，可以直适用于解析式复杂，直接代接化简代入的极限问题入无法求解的极限问题，需要借助定理和法则函数极限的四则运算加法减法limfx+gx=lim fx+lim gxlimfx-gx=lim fx-lim gx乘法除法limfx*gx=lim fx*lim gxlimfx/gx=lim fx/lim gx,其中lim gx≠0夹逼定理定理内容1如果且，则fx≤gx≤hx lim fx=lim hx=A limgx=A应用场景2适用于无法直接求解极限，但可以找到两个函数和fx夹住的情况hx gx举例3求极限时，可以利用夹逼定理，找到两lim sin x/x个函数夹住，从而求得极限sin x/x洛必达法则定理内容如果或，且和在附lim fx=lim gx=0∞fx gx x近可导，则lim fx/gx=lim fx/gx应用场景适用于求解或型不定式极限，通过对分子和分0/0∞/∞母分别求导，化简极限举例求极限时，可以利用洛必达法则，lim x-sin x/x^3对分子和分母分别求导，得到新的极限无穷小的概念定义当自变量趋于某个值时，函数值无限趋近于零，则称该函数为该点的无穷小1性质2无穷小与常数的乘积仍为无穷小，无穷小的和仍为无穷小应用3无穷小的概念是理解极限、求解极限的重要工具无穷小的比较定义1如果，则称为比高阶无穷小limαx/βx=0αxβx应用2在求解极限时，可以通过比较无穷小的阶数，简化计算举例3当x趋于0时，x^2为比x高阶无穷小，可以忽略x^2，简化极限的求解等价无穷小的概念123定义性质应用如果，则称和等价无穷小可以用另一个等价无穷小利用等价无穷小替换，可以简化极限limαx/βx=1αx为等价无穷小替换，不改变极限值的求解，提高效率βx重要等价无穷小sin x≈x tanx≈x1-cos x≈x^2/2当趋于时当趋于时当趋于时x0x0x0单侧极限极限存在的充要条件充要条件应用函数在处极限存在的充要条件是左极限和右极判断函数在某点处是否存在极限，需要分别计算左极限和fx x=a限都存在且相等右极限，比较结果连续函数的定义定义解释如果函数在处满足，则称函数图像在处没有断裂，可以连续画出来fx x=a limfx=fa fxx=a在处连续x=a连续函数的性质加减乘除复合两个连续函数的加减乘除运算结如果函数和都连续，则fx gx果仍然是连续函数复合函数也连续fgx极限连续函数的极限等于函数值，即limfx=fa初等函数的连续性定义1幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等都属于初等函数性质2初等函数在其定义域内都是连续的应用3在判断函数的连续性时，可以利用初等函数的连续性来简化判断复合函数的连续性定义复合函数是指由多个函数复合而成的函数性质如果内层函数在处连续，外层函数在内层函数的x=a值处连续，则复合函数在处连续x=a应用判断复合函数的连续性，需要分别判断内外层函数的连续性分段函数的连续性定义分段函数是指在不同区间上定义不同的函数表达式1判断2判断分段函数在连接点处的连续性，需要分别计算左极限和右极限，比较结果应用3分段函数在实际问题中应用广泛，需要掌握判断其连续性的方法间断点的分类第一类间断点1可去间断点、跳跃间断点第二类间断点2无穷间断点、振荡间断点判断3根据左极限和右极限是否存在以及是否相等，可以判断间断点的类型间断函数的连续性判断12判断方法判断条件判断函数在某点处的连续性，需要如果左极限、右极限和函数值都存分别计算左极限、右极限和函数值在且相等，则函数在该点处连续3应用可以利用连续性判断，分析函数的图像特征，以及函数的性质连续函数的应用金融市场气象预报人口增长利用连续函数分析股价趋势，制定投利用连续函数预测天气变化，制定出利用连续函数模拟人口增长趋势，预资策略行计划测未来人口规模极限运算练习例题例题12求极限求极限lim x^2-1/x-1lim sin2x/x夹逼定理练习例题例题12求极限求极限lim x^2/1+x^2lim sinx/x洛必达法则练习例题例题12求极限求极限lim x^2-1/x-1lim e^x-1/x无穷小比较练习例题11比较和的阶数x^2x例题22比较和的阶数sinxx单侧极限练习例题1求函数在处的左极限和右极限fx=|x|/xx=0例题2求函数在处的左极限和右极限fx=1/x-1x=1连续性判断练习例题11判断函数在处的连续性fx=x^2x=1例题22判断函数在处的连续性fx=|x|x=0复习与思考回顾1回顾本课程所学知识，包括极限的定义、求法、性质、应用等思考2思考极限的应用场景，以及如何在实际问题中运用极限知识解决问题答疑与交流12答疑交流对课程内容存在疑问，请积极提与同学们互相讨论，分享学习心问，老师会耐心解答得，共同进步。