数列复习课课件

数列复习课欢迎来到数列复习课本课程将全面回顾数列的基本概念、重要公式和应用让我们一起深入探讨这个的数学领域fascinating学习目标掌握数列基础熟悉重要公式理解数列的定义、表示方法和基本性质牢记并灵活运用等差、等比数列的通项和求和公式提高应用能力理解高级概念学会在实际问题中识别和应用数列知识探讨数列的收敛性、级数和幂级数等进阶主题什么是数列定义特点数列是按照一定规律排列的数的序列每个数称为数列的数列可以是有限的，也可以是无限的每一项都有确定的项位置和值数列的表示方法列举法通项公式直接写出数列的前几项，如用表示项的位置，给出计算n第项的公式，如1,2,3,4,...n an=2n-1递推公式给出第一项和后一项与前一项的关系，如a1=1,an+1=2an等差数列定义特点相邻两项的差值恒定的数列这等差数列的图形是一条直线项个固定的差值称为公差数越多，越接近直线应用广泛应用于等时间间隔的问题，如工资增长、等距离移动等等差数列公式通项公式1，其中是首项，是公差an=a1+n-1d a1d中项公式2中项首项末项=+÷2公差公式3d=an-a1÷n-1等差数列求和公式基本公式Sn=na1+an÷2变形公式Sn=n[2a1+n-1d]÷2应用技巧灵活运用首末项和项数求和，或利用公差计算等比数列定义1相邻两项的比值恒定的数列这个固定的比值称为公比特点2等比数列的图形是指数曲线增长或衰减速度快应用3常见于复利计算、人口增长、细胞分裂等领域等比数列公式通项公式1，其中是首项，是公比an=a1qn-1a1q公比公式2q=an÷an-1=n-1√an÷a1几何平均值3√aman=am+n/2等比数列求和公式Sn S∞求和公式无穷等比数列和，当时，Sn=a11-qn÷1-q q≠1|q|1S∞=a1÷1-qna1特殊情况当时，q=1Sn=na1数列综合应用财务规划人口预测物理模型利用等比数列计算复利增长等差数等比数列模拟指数增长等差数列适等差数列描述匀速运动等比数列用列用于定期存款用于线性增长模型于加速度变化的情况数列的收敛与发散收敛数列发散数列数列的项无限接近某个固定值这个值称为极限数列的项不断增大或在某些值之间反复震荡，没有固定极限收敛序列的性质有界性唯一性12收敛数列一定有界存在如果数列收敛，其极限是上界和下界唯一的保号性夹逼准则34从某项开始，数列的项与如果数列被两个收敛到同极限同号一极限的数列夹住，则它也收敛到该极限发散序列的性质无界性震荡性发散数列可能无上界或无下某些发散数列可能在固定区界间内无限震荡不确定性发散数列的行为难以预测，可能呈现复杂模式几何级数的收敛性收敛条件发散条件当时，几何级数收敛当时，几何级数发散|q|1|q|≥1收敛和收敛时，和为，为S=a/1-q a首项等比数列的收敛性|q|11数列收敛于0q=12数列为常数列，收敛于首项q=-13数列在两个值间震荡，发散|q|14数列发散，绝对值无限增大级数的概念定义级数是数列各项的和可以是有限项或无限项部分和表示前项的和，称为部分和Sn n收敛性如果部分和序列收敛，则称级数收敛{Sn}几何级数的和公式一般形式1a+aq+aq2+...+aqn-1有限项和2，Sn=a1-qn/1-q q≠1无限项和3，S=a/1-q|q|1正项级数的收敛性判定比较判别法比值判别法将给定级数与已知收敛或发考察相邻项的比值极限散的级数比较根值判别法积分判别法考察项的次方根的极限将级数与相应的积分进行比n较交错级数的收敛性判定莱布尼茨判别法绝对收敛如果单调递减且趋于，如果的级数收敛，则原级|an|0|an|则级数收敛数绝对收敛条件收敛级数收敛但的级数发散，称为条件收敛|an|条件收敛与绝对收敛条件收敛绝对收敛级数本身收敛，但其绝对值级数发散例如级数的绝对值级数收敛绝对收敛必定条件收敛，反之不Σ-1n+1/n成立级数的运算加法减法两个收敛级数的和仍然收敛两个收敛级数的差仍然收敛数乘柯西乘积收敛级数乘以常数仍然收敛两个绝对收敛级数的乘积仍然收敛幂级数定义1形如的级数称为幂级数Σanx-x0n收敛半径2幂级数在某个区间内收敛，这个区间的半长称为收敛半径阿贝尔定理3在收敛半径内，幂级数绝对收敛；在收敛半径外，幂级数发散幂级数的和和函数幂级数的和可以表示为的函数x Sx连续性在收敛区间内，和函数是连续函数Sx可导性在收敛区间内，可以逐项求导Sx泰勒级数定义1用幂级数表示函数的一种方法麦克劳林级数2在处展开的泰勒级数x=0余项3泰勒多项式与原函数的差应用4用于函数近似和数值计算泰勒公式一般形式麦克劳林公式fx=Σfna/n!x-an+fx=Σfn0/n!xn+RnxRnx拉格朗日余项Rnx=fn+1ξ/n+1!x-an+1泰勒公式的应用函数近似误差分析极限计算用多项式近似复杂函数，简化计算估计近似值与真实值之间的误差利用泰勒展开简化复杂极限的计算留数定理及其应用留数定理应用闭合曲线积分等于被包围奇点的留数之和的倍用于计算复杂积分、求级数和、解微分方程2πi课后练习基础题应用题12计算给定等差、等比数列的通项和前项和解决实际问题，如复利计算、人口增长预测等n证明题探究题34证明数列的收敛性或发散性探索数列与函数的关系，如用泰勒级数逼近函数课程总结。