第6章 狭义相对论基础

第六章狭义相对论基础本章学习目标♦了解相对论的实验基础本章教学内容♦相对论的实验基础；

1.相对论的基本原理及洛仑兹变换；

2.相对论的时空理论；

3.相对论力学

4.本章教学重点♦相对论的实验基础光行差现象、迈克尔逊一莫雷实验；

1.洛仑兹变换；

2.相对论的时空理论；

3.相对论力学

4.本章教学难点♦洛仑兹变换；

1.先对论的时空理论同时的相对性、运动的时钟延缓、运动尺度的缩

2.短狭义相对性原理要求力学规律在洛仑兹变换下保持形式不变，因此，必须按狭义相对论的要求，对经典力学中的物理量和动力学基本规律做必要的修改，使之即在洛仑兹变换下具有协变性，又能在时，合理地过渡到经典力学，同时尽量保持基本守恒定律继续成立在相对论力学中，有相对性原理，动量仍可定义为p=Z7W6-4-1动量守恒定律要在洛仑兹变换下保持不变，质量要随速率的变化而变化,即m-6-4-2推导上式如图考虑两个全同粒子和的完全非弹性对心碰撞,正6-4,P Q碰后结合为一个复合粒子从左和太两惯性系来讨论这个事件设粒子相对于参考系静止时的质量为人，相对于参考系以速度运动时，1测得它的质量为若在左mu系测得粒子的速度为粒P U,Q子的速度为碰撞后变成一个w,质量为的复合粒子，显然为M了满足动量守恒律，复合粒子的速度应为零，如图6-4ao在左系中，有守恒定律得质量守恒M=m+m=2m在与粒子固定在一起的Q惯性系〃系中[如图6-4b],Q图粒子对心碰撞6-4粒子的质量为由于复合粒m,0动量守恒YYVD-mi==0子相对于左系的速度为零，则其相对于《系的速度为6-4-4质量为粒子质量为加⑺，它的速度大小得P6-4-5,u+u2uI=--------------=--------------1+4/l+u2/c26-4-6在R系中，据守恒定律有质量守恒M=m+m动量守怛Mfu=md将和代入可得6-4-46-4-56-4-6mu2uU=-------------------------=•rm+m+m tr0+c2u22m1m-ma将其代入（）可得6-4-6，处U=C1—2V m从中可解得这就是相对论的质量公式，也称质速关系%）经典力学只适用于宏观低速运动的物体，对于高速运动问题，必须用相对论力学处理相对论是关于空间时间和引力的现代物理理论，它给出了高速运动物体的力学规律，其核心是关于空间和时间观念的论述狭义相对论在相对论理论中，局限于惯性参照系，在引力场可以忽略的条件下，关于时间空间和运动关系的理论广义相对论将狭义相对论推广到一般参照系和包括万有引力场在内的理论

一、相对论产生的历史背景牛顿力学的时空观是绝对时空观，即认为时间和空间与物质的运动状态彼此之间无任何关系其数学体现是伽利略变换它适于解决宏观低速现象的问题，而当物体的运动速率与光速可以相比时，牛顿力学就遇到了不可克服的困难，例如伽利略变换与电磁实验的矛盾当时人们认为电磁波像机械波一样在介质中才能传播，这种特殊的介质称“以太”从而导致电磁规律与伽利略变换不相容大量的观测和实验否定了以太的存在

二、相对论的实验基础在此只介绍光行差的观测和迈克尔逊-莫雷实验光行差现象

1.所谓光行差现象，就是从地面上看到的恒星位置视位置与恒星真实位置稍有偏移的现象年英国天文学家布拉德雷首先报道了光行差观测结果1927当观测处于天顶正上方的恒星时必须把望远镜偏离竖直线约〃，在一年中，

20.5望远镜的轴线均匀地画出一个光行差圆锥设以太存在并相对太阳静止，地球绕太阳公转速率为『，u2=3xl4%光在以太中以竖直向下传播，处于地面的观察者会看到光U=6=3x108m.5-1的传播方向将偏转角，且4〃地球绕太阳公转的轨道金tanaulxlCT,

20.5丝是圆，每隔六个月地球公转速度即反向，光行差的方向也会反向，那么望远镜的轴线在一年中的确画出一光行差圆锥即光行差现象说明，若以太存在，则以太相对太阳静止，以太没有被地球拖曳着一起运动克尔逊-莫雷实验

2.这个实验的目的是验证以太存在且以太相对太阳静止的假说实验结果表明如果以太存在，它应和地球一起运动，这样迈克尔逊-莫雷实验就和光行差现象发生深刻的矛盾所以说实验证实了以太假说是不正确的于是经典物理学面临着这样一个问题电磁学的定理与伽利略变换之间不能相容，面临两种选择一是承认伽利略变换，修改麦氏方程组的形式使它在伽利略变换下具有协变性，但为此所做的努力都失败了二是保持麦氏方程组的形式，采用新的变换形式来代替伽利略变换，使之具有协变性爱因斯坦选择了后者于年创立了狭义相对论1905相对论的基本原理洛仑兹变换§

6.2

一、相对论的基本原理相对性原理

1.在所有惯性系中，一切物理学定律都相同，即具有相同的数学表达式或者说，对于所有物理规律，一切惯性系都是等价的光速不变原理

2.在所有惯性系中，真空中光速沿各个方向传播的速率都等同于一个恒量，与光源和观察者的运动状态无关

二、洛仑兹变换洛仑兹变换

1.根据光速不变原理和相对性原理可以导出狭义相对论中同一事件在不同惯性系中时空坐标间的变换关系一洛仑兹变换如图所示，两惯性系和各对应2坐标轴平行以和重合时为计时起0,点（，，）系相对于左系沿轴匀速运==0,x动，速率为若有一事件在攵系的时空坐标为Q（羽）在〃系中的时空坐标为y,z/,这两组时空坐标之间的关系遵守洛仑兹变换，即为X-Dt X+ut rx--=yjl-U2/c2y=4i-u2/c2yf6-2t-ux/c2_ff+ox/c2yjl-U2/c2（）洛仑兹变换的导出2设在和重合时（），从坐标原点恰好发出一个光讯号,o o/=/=0,x=/=0根据光速不变原理，在攵系中观察此信号的波振面，，是一半经为的球面,即ax2+y2+z2=⑺2根据相对性原理，两个惯性系是等价的，在〃系中观察,xf2+y,2+产=2显然x2+y2+z2-c2t2=x2+y,2+z2-c2t,26-3由于假设了〃系沿轴正方向运动，且£轴与轴重合，因此x xV=y,Z=Z,6-4于是式简化为6-32x-c2t2=x2—c2tf26-5相对性原理要求新的变换关系必须是线性的，即；分别是工的线性函X1数，设xf=ax-ut,tf=/3x+yt6-6式中目是待定系数7将代入得6-66-5,221-«+//2%2+Ba2u+c10yxt+c1y-tzV-c r=0由于各自独立变化，因此各项系数为得JU0,a2-C12-1,-0,一=2c解得1u2/c2_1了-小房’一―国小房C—//c将上式代入和两式，可得攵系和〃系之间的时空变换关系6-66-4X+utr,x-utX-1=r x=/=y/l-u2/c2y=yrJ//f z=z_f+ux/c2，z=zt，_t-ux/c2I71-u2/c2关于洛仑兹变换，应注意一下几点:

①和只工，是同一事件在两个不同惯性系内的时空坐标，只x,y,z/2/有两组时空坐标表示同一事件时，才能用洛仑兹变换

②时间空间是不可分割的，同一事件不仅在不同惯性系中的时间坐标不同，而且时间坐标与空间坐标紧密相联这与经典力学时空观不同

③在洛仑兹变换中%,和%的关系是线性的,这时因为一个y,z,事件在左系和〃系中的坐标是—对应的原故，是相对性原理的要求

④若则-,，即洛仑兹变换过渡到伽利G a=7=/1f1D/C略变换

⑤由于实在的物理量数值必须取有限的实数，所以在洛仑兹变换中的只能取不为的实数,因此要求＜即在任何惯性系中实物粒J-C,子的速度小于C（）洛仑兹速度2若《系相对于％系以速率沿轴正方向运动，由（）式对时间求导,则u x6-2u+v，D-V人l+fc—//21+Fq=——y/l-u2/c2或二q,得质点在两系中的速度变换关系必二」^，人”二D；L1/J/c2〃，1--D-i0%i+*qC-（）不同惯性系中时间间隔及空间间隔的变换关系3设有任意两个事件和事件在惯性系攵和〃中的坐标分别为A B,A，）和（，；，）事件的时空坐标分别为（，，，）和a y,Z Xy Z[4,B%2%*22（芯,%＜），则这两个事件在左和〃系中的时间间隔及沿惯性参考系相对运2,动方向的空间间隔之间的变换关系为V△△△x-u/x—△x=△△U/-X-VS—1△--川,yAXCVT-^/c2△de1可看出，两事件的时间间隔和空间间隔在不同惯性参考系中观测，所得结果一般是不同的即两事件间的时间间隔和空间间隔都是相对的，随观察者不同而不同，这反映了相对论时空观和绝对时空观的根本区别相对论的时空理论§

6.3从洛仑兹变换可以看出，一个惯性系的时空坐标，不仅与另一惯性系的时空坐标有关，还与惯性系间的运动有关，这种认为时间和空间彼此联系，并且又都与运动有关的时空观点，称为相对论的时空观

一、同时的相对性设两个事件和在一系中的坐标分别为（，，）和（，，，），在A B,x MzM%2%*22系中的坐标分别为和，则由洛仑兹变换式知对事件kf A—亿----X]）/J1—-~C对事件B（2=亿----%）/-4/—2C则事件在左系和〃系中的时间间隔之间的关系为A,B（）当%=%，时，1E=，；这说明在左系中同时同地发生的两事件，在女系中也是同时发生的，这种同时性是绝对的，与参考系无关（）当工时，贝2X]2,%1=12这说明女系中同时不同地发生的两个事件在《系中不是同时发生的，即同时具有相对性（）当王工，时，则情况有三种可能，即大于零，小于零,等于32,42零这说明系中不同时不同地发生的两个事件在《系中可能同时发生，也可Z能不同时发生

二、运动的时钟延缓在相对论中，时间间隔是相对的，随观察者的运动而异图中〃系中某点处放一静止的时钟储，在左系中有若干个相同的静6-2V止时钟，与储时钟完全相同，令〃系相对于左系以速度沿轴运动，u x若在£点（即同地）先后发生两事件（）和）其事件差为A xMB3/,.yy图运动时钟的延缓6-2上述两事件在攵系中对应时刻分别为由洛仑兹变换式，中读数差为A,B—t△/,x=〉△/t-t=2x-12I川―A//02可见，在〃系中同时发生两事件的时间间隔在左系中测量却延长了同理，在左系中发生的先生两事件的时间差△/，，在％系看来时间=2间隔为f f△/△t1—A=///—A由此两式知，两惯性系的观察者都认为运动的时钟变慢了总之，一个质点所携带的钟在与它相对静止的参考系中的读数称为该钟△r4t—,=Ji-、？/I」的固有时或本征时，用表示，其时间间隔采用表示，7V综上所述，可得如下结论对于左系中的同一地点发生的，固有时间间隔为的两个事件，在《系中观测时，它们的时间间隔”等于△了的//C1倍,显然△，＞△「，反之亦然，这一现象叫时钟延缓效应，或时间膨胀效应常称；；为膨胀因子71%,,4y/\-u2/c2

三、运动尺度的缩短尺的长度测量当尺相对于观察者静止时，对尺两端点坐标的测量无论同时，还是不同时，均不影响该尺的测量结果该尺静止于〃系的£轴上，《系测得的尺长度就是两端点坐标之差，即称为该尺的固有长度或原长当尺相对于观测者运动时，观测者必须对该尺的两端点坐标同时进行测量，才能用端点坐标来确定尺的长度设在尺上建立《系，尺沿左系的轴正方向以速率运动在左系中同时X4读出两端点的坐标马，则左系中测得尺的长度为/=%如图尺尾经点46-3,P为事件尺头经点为事件它们在左系和〃系中的时空坐标分别为1,Q2,和,由洛仑兹变换知%3,%212MJIXHx-vt221yJl-U2/c24I-U2/C2图6-3运动尺度的缩短、、/=,一h度就为227i-^/c综上所述，在与尺相对运动的％系中测的长度小于尺的固有长度，这种现象叫运动的尺度缩短，也称洛仑兹收缩。