微积分函数的极值最值及其应用课件

函数的极值最值及其应用本课程将深入探讨函数的极值、最值及其在实际问题中的应用我们将从导数的概念出发，逐步讲解导数的几何意义、单调性、极值判别方法，以及利用导数分析函数图像、求解函数最大最小值的方法通过案例分析和习题讲解，帮助您掌握微积分的重要概念和应用技巧，并提升解决实际问题的分析能力导数概念回顾导数的定义导数的表示函数fx在x=a处的导数定义为limh-0[fa+h-fa]/h导数可以用fx、df/dx、y等符号表示，表示函数fx关于，表示函数在该点处的瞬时变化率x的导数导数的基本运算法则和差法则积法则12fx±gx=fx±gx fx*gx=fx*gx+fx*gx商法则链式法则34fx/gx=fx*gx-fgx=fgx*gxfx*gx/gx^2导数的几何意义切线的斜率瞬时变化率函数fx在x=a处的导数fa等于该点切线的斜率导数表示函数在该点处的瞬时变化率，即函数值随着自变量的变化而变化的快慢程度导数与函数的单调性导数与单调性关系1fx02函数单调递增fx03函数单调递减fx=04函数可能取得极值函数极值的判定极值的概念1一阶导数判别法2若fx在x=a处变号，则fx在x=a处取得极值二阶导数判别法3若fa=0，且fa0，则fx在x=a处取得极小值；若fa0，则fx在x=a处取得极大值利用导数求函数的极值步骤一步骤二求函数的一阶导数fx求解fx=0的根，即函数的驻点步骤三步骤四利用一阶导数判别法或二阶导数判计算函数在极值点处的函数值，即别法判断驻点是否为极值点极值函数最大最小值的求解闭区间上的最大最小值在闭区间上，函数的最大最小值可能出现在函数的极值点或端点求解步骤

1.求函数在区间上的所有极值点；

2.计算函数在极值点和端点处的函数值；

3.比较所有函数值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值利用导数分析函数图像单调性极值点根据导数的符号判断函数的单利用导数的符号变化判断函数调递增区间和单调递减区间的极值点，并求出极值凹凸性渐近线根据二阶导数的符号判断函数根据函数的极限性质判断函数的凹凸性，并求出拐点的水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线函数图像的特征分析函数极值最值应用之工业生产12生产成本产量最大化通过求解成本函数的最小值，找到最通过求解产量函数的最大值，确定最佳生产方案，降低生产成本佳生产规模，实现产量最大化3利润最大化通过求解利润函数的最大值，制定最佳定价策略，实现利润最大化函数极值最值应用之经济管理投资决策风险管理通过求解投资回报率函数的最大值，找到最佳投资方案，实现投资回报最大化通过分析风险函数的极值和最值，评估风险程度，制定风险防范措施123市场分析通过分析需求函数和供给函数的极值和最值，预测市场供求变化趋势，制定合理的营销策略函数极值最值应用之生活实践路线规划时间管理资源分配通过求解距离函数的最小值，找到最佳通过分析时间分配函数，找到最佳时间通过分析资源利用率函数，找到最佳资路线，节省时间和成本分配方案，提高效率源分配方案，提高资源利用率函数极值最值应用案例分析一问题描述分析步骤某工厂生产一种产品，已知每天生产x件产品的成本函数为

1.求出利润函数Lx=15x-Cx；

2.求解Lx=0，找到利Cx=x^2-20x+100，每件产品的售价为15元求每天的润函数的极值点；

3.利用二阶导数判别法判断极值点是否为利润函数，并求出每天生产多少件产品时利润最大，最大利润最大值点；

4.计算最大利润是多少？函数极值最值应用案例分析二问题描述分析步骤某公司要建造一个矩形仓库

1.建立目标函数围墙长度L，仓库的面积为1000平方米=2x+y；

2.建立约束条件，仓库的一面靠墙，另外三xy=1000；

3.利用约束条件面用围墙围起来求围墙的消去y，将目标函数L表示为最小长度x的函数；

4.求解Lx的最小值函数极值最值应用案例分析三问题描述某旅行社组织一个旅游团，每人收费1000元若旅游团人数少于20人，则旅行社将亏损，若旅游团人数超过40人，则旅行社将无法安排住宿已知旅行团每人需支付500元的费用，且每增加1人，旅行社需支付50元的额外费用问旅行团多少人时，旅行社的利润最大？分析步骤

1.建立利润函数Lx=1000x-500x+50x-20；

2.求解Lx=0，找到利润函数的极值点；

3.利用二阶导数判别法判断极值点是否为最大值点；

4.结合实际情况，判断最佳人数典型习题讲解一题目解题思路求函数fx=x^3-3x^2+2的极值点和极值

1.求出fx=3x^2-6x；

2.解方程fx=0，得到驻点x=0和x=2；

3.利用二阶导数判别法，判断x=0是极大值点，x=2是极小值点；

4.计算极值f0=2，f2=-2典型习题讲解二题目1求函数fx=x^2+2x+1在区间[-2,1]上的最大值和最小值2解题步骤

1.求出fx=2x+2；

2.解方程fx=0，得到驻点x=-1；

3.计3算f-2=1，f-1=0，f1=4；

4.比较函数值，最大值为f1=4，最小值为f-1=0典型习题讲解三题目1求函数fx=x^3-3x^2+2的单调区间和凹凸区间解题步骤

21.求出fx=3x^2-6x，并解不等式fx0和fx0，得到单调区间；

2.求出fx=6x-6，并解不等式fx0和fx0，得到凹凸区间典型习题讲解四题目1已知函数fx=x^2+1，求曲线y=fx在点1,2处的切线方程解题步骤

21.求出fx=2x；

2.切线的斜率k=f1=2；

3.切线方程为y-2=2x-1，即y=2x习题精选一题目一题目二求函数fx=x^4-4x^3+求函数fx=x^3-3x^2+2在6x^2-4x+1的极值点和极值区间[0,3]上的最大值和最小值题目三求函数fx=x^3-3x^2+2的单调区间和凹凸区间，并绘制函数的图像习题精选二题目一题目二某工厂生产一种产品，已知每天生产x件产品的成本函数为Cx=某公司要建造一个矩形仓库，仓库的面积为1000平方米，仓库的x^2-20x+100，每件产品的售价为15元求每天的利润函数，一面靠墙，另外三面用围墙围起来求围墙的最小长度并求出每天生产多少件产品时利润最大，最大利润是多少？习题精选三题目一题目二求函数fx=x^3-3x^2+2的导数已知函数fx=x^2-2x+1，求曲、二阶导数、单调区间、凹凸区间线y=fx在点1,0处的切线方程、极值点、极值、拐点重点知识梳理一12导数的概念和几何意义导数的运算法则导数表示函数在该点处的瞬时变化和差法则、积法则、商法则、链式率，等于该点切线的斜率法则3导数与函数的单调性fx0则函数单调递增，fx0则函数单调递减重点知识梳理二函数极值判别法函数最大最小值的求解12一阶导数判别法、二阶导数闭区间上的最大最小值可能判别法出现在极值点或端点利用导数分析函数图像3单调性、极值点、凹凸性、渐近线常见错误分析与指正课程总结回顾导数概念导数表示函数在该点处的瞬时变化率，等于该点切线的斜率极值和最值利用导数判别法求解函数的极值和最值，并应用于实际问题函数图像分析利用导数分析函数的单调性、极值点、凹凸性、渐近线，绘制函数图像课后思考与延伸思考问题延伸学习

1.导数在其他数学分支中的应用有哪些？

2.函数极值最值应

1.微积分的进一步学习，例如多元函数的微积分；

2.导数在用于实际问题的案例有哪些？

3.如何提高利用导数分析函数经济学、物理学、工程学等领域的应用图像的能力？答疑与交流如果您对本课程有任何疑问，请随时向我提问我们将共同探讨函数的极值最值及其应用，不断提升您的数学思维和问题解决能力。