263曲线的交点分析和总结

曲线的交点【课时目标】

1.会求两条曲线的交点2会判断直线与圆锥曲线的位置关系.

3.能解决有关直线与圆锥曲线的综合问题.知识梳理•

1.直线与圆锥曲线的位置关系设直线1的方程为Ax+By+C=O,圆锥曲线M的方程为fx,y=0,则由Ax+By+C=O/、山可得消yax2+bx+c=0aWO〔fx,y=0______________________________位置关系交点个数方程相交A0相切A=0相离A02,直线与圆锥曲线相交形成的弦长问题⑴斜率为k的直线写向锥曲殡交手两点P x,y,P x,y,则所得弦长P P=用X],X表示或P]Pz=I]122用2y,丫表示，其中聚国二xj与|y‘一yj时通常向用L元二次疗建根与系数的关系,即作如卡巍|x-x|=4依1+*予―4牛2,比一丫]尸也节产监2⑵当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算利用轴上两点间距离公式.⑶经过圆锥曲线的焦点的弦也称焦点弦的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷.作业设计•

一、填空题X2v

21.若直线y=kx+l与焦点在x轴上的椭圆三十二=1总有公共点，则m的取值范围是O IT

12.已知直线1y=x+b与曲线Cy=，l—x2有两个公共点,则b的取值范围为x2y

23.双曲线会弋=1mnWO的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为.

4.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=O对称的相异两点A、B,贝U AB=

5.过点M3,—1且被点M平分的双曲显y2=l的弦所在直线方程为.

6.抛物线y2=12x截直线y=2x+l所得的弦长为____________.

7.椭圆十个啰和双曲线斫y2=l的公共焦点为F、F,P是两曲线的一个交点，那*6-2312么cosZF PF的值是.

128.已知抛物线y2=—x与直线y=kx+l相交于A、B两点，则△AOB的形状是

二、解答题

9.若抛物线y=-x2—2x+m及直线y=2x相交于不同的两点A、B.1求m的取值范围；2求AB.

10.X2y21,过点p（2,l）作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.已知椭圆元+工=【能力提升】______

11.若直线y=x+b与曲线y=3—44x—x2有公共点,则b的取值范围是.

12.已知抛物线Cy=2x2,直线y=kx+2交C于A,B两点，M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.⑴证明抛物线C在点N处的切线与AB平行；

（2）是否存在实数k使觥•的=？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.,反思感悟Ax+By+C=O,

1.设直线1Ax+By+C=O,圆锥曲线fx,y=0,由《得ax2[fx,y=0+bx+c=O.1若aWO,A=b2—4ac,则

①△,直线1与圆锥曲线有两个不同交点.

②△=,直线1与圆锥曲线有唯一的公共点.

③△,直线1与圆锥曲线没有公共点.⑵若a=0,当圆锥曲线为双曲线时，1与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线为抛物线时，1与抛物线的对称轴平行或重合.

2.涉及直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程与系数的关系韦达定理，这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用设而不求的方法“点差法”找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系.

3.有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件1两点连线与该3直线垂直斜率互为负数;才智点解翟南？^曾适合对称轴方程.知识梳理

1.两个一个无

2.11十依・|x—x|作业设计

1.[1,

52.[1,V2解析根据数形结合找b的范围.33解析m+〃=c2=l,e—£_______^=—2,yjm\m3=

4.

4.372解析设A8的方程为=尤+4与y=—/+3联立得3=0,AJ=l-4Z-30,x r1+4=-1,xx=b-

3..•.AB的中点q—2，人一手在x+y=o上:11即-2+-2=°解得b=1符合

①・••弦长A8=\/1+1^/l-4X-2=3j

2.

5.3x+4y—5=0解析这条弦的两端点为Ax,y,Bx,y,斜率为Z,则1122二x x两式相减再变形得一2一=0；+

2.’13又弦中点为M3,-1,故k=一今3故这条弦所在的直线方程为y+1=—Jx—3,I[J3x+4y——5=

0.

6.15解析由得4x2—8x+1=0,[y=2%+1,1♦・x+x=2,xx=12124二.所得弦长为K]+k2|x—X I=$/一%=#17,3解析,由题意可知，点P既在椭圆上又在双曲线上,根据椭圆和双曲线的定义,\PF+PF=2/6,可得’〔尸£一尸尸2=20[PF=^~事又F F=2『4,pF=/.COS ZF产2—2PFyPF2加+啊2+加一*2—4212^/6+A/3A/6—y/

3308.直角三角形解析由广—X-x+1得印+2印+1工+印=0,初4午,Ba，[，Vxx-ry y1212=XX+%2X+1%+112励+/=1+Z21----+1=O,fV:.-=:.±,OA OBO OAOB9所以△AOB是直角三角形.

9.解1依题意得方程组y=—%2—2x+/n,

①②[y=2x,加

②代入

①，得2x=-x2—2x+m,即12+4%一加=

0.3因为抛物线与直线有两个公共点，所以A=42—4X―/770,/.m—

4.2设点A1,甲，y,，艮据⑴中

③#+4x—根=0,得x+x=-4,x x=—m,12-------1_2------------------所以AB=V1+22[^+^2-4^^]=V^、16+4m=2\/5m+

20.

10.解方法一如图所示，设所求直线的方程为y-1=kx-2,代入椭圆方程并整理，得4依+1*—82彼一kx+42k—12-16=

0.又设直线与椭圆的交点为4x,y,Bx,y,则x,x是上述方程的两个根,82依一夕112212・・・x+x=-------------124依+

1.・•尸为弦48的中点，•x+x42彼一k口工•・2=122=4依+1，解得^=~29•工所求直线的方程为x+2y-4=

0.方法二设直线与椭圆的交点为Ax,y,Bx,y,・/为森748南中独，・・.x+x=4,y+y=

2.1212•又.Z8两点在椭圆上，・・M+4y2=16,*+4年=

16.•两款相减，得x2—x2n/2—好尸，即X+xx-xAy+^y-^=o.1••・直线方程为y—1=—2x—2,即x+2y—4=

0.方法三设所求直线与椭圆的一个交点为74x,y,另一个交点为84—x,2—y,TA、B两点在椭圆上，・・・*+4於=16,

①4—邪+42—y2=

16.

②从而限8在方程

①一

②所得直线x+2y—4=0上，由于过

4、口的直线只有一条，••所求直线的方程为x+2y-4=

0.•

11.[1-2^2,3]解析曲线方程可化简为x—22+y—3产=41WyW3,即表示圆心为2,3,半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时需满足圆心2⑶到直线y=x+b距离等于2,解得b=1+2也戢b=1—24因为是下半圆，故可得b=1+23/畲，当直线过0,3时，解得b=3,故1—22啦W3・

12.⑴证明如图所示，设冷，8殳2号，把y=kx+2代入y=2M,得2腔一kx—2=0,由韦达定理得X+x=k,XX=-

1122.x,+x k924N Mk4•・・N点的坐标为Q,8设赠/的方程为线看点短处的切线y-Q=m[^»mk N将y=2x2代入上式得212—mx+4一40・・.・直线2与微圈相切,/.A=〃22—8（4一飞）=m2—2mk+lfi=Qn—Z）2=0,.m=k,B[J I//AB.故抛物线在点N处的切线平行.⑵解假设存在实数k,o,,使7vA NB=则NA1NB.1又・・・M是A3的中点，yMN=^AB.由1知y=[,+y kx+2+kx+2小勺辐1冠2茬2,2=22尸Z+•・・MN_Lx轴，・・MN=|y—y|N k2印+16解得k=±

2.印+161,「…八...=,,=+16,即存*k=f

0.使2,NA NB=。