再談《周髀算經》之“中黃實”及其他

再^《周髀算《茎》之“中黄及其他提要《周髀算名空》^及勾三股四弦五之直角三角形，此直角三角形有“黄^”，此黄一正方形，面稹^一平方军位本文主要^及黄^之形成法，加言正明其直角三角形之句股差mm-周髀算名空勾股定理中黄^w*第《周髀算《密》提及之中黄^1ffi肇者已有文章^及《周髀算名第》之勾〔或作“句”〕三股四弦五之直角三角形〔又耦卷“句股形”〕，今作迤一步之祷充以下卷勾三股四弦五之直角三角形〔基本直角三角形〕H:古代数阜家^及直角三角形日寺，均以较短之直角遏卷“勾”，率交房之直角遏焉“股”，斜^^“弦”以上之^法，人人耳熟能吉羊，但以下之事有名能即倬交少人留意，理由卷I“不重要”及少用《周髀算《密》耦勾之平方卷“勾^”，股之平方^“股^”，弦之平方卷“弦可以下^《周髀算々空》之勾股定理可引申32+42=52，层+/=或勾股二弦兄上2C,2+22,U《周髀算》遢符弦分拆成“朱典“黄^”，在勾三股四弦五之直角三角形4T中，弦^内有朱^六〔平方罩位〕舆黄^一〔平方罩位〕，即朱^乃四彳固原本之直角三角形，面稹各卷平方罩位，“黄在中央，又耦^“中黄^”，其面稹平方6军位四朱^之面稹〔平方罩位〕，加黄^平方^位，共平方罩位，即弦是24125之平方以下卷勾股定理II:、、/、c/X7/■i^B■■■a B弦■■■■■■■■■i f、/、/勾9a X、、/bC Abw股16以上之［之乃指平方1下《周髀算《母》之〈弦〉，大正方形遏是:，即勾是加股是，H M3+4=7在大正方形之四方，重出四彳固是方形，再重出螯寸角泉形成另一彳固小正方形，4此正方形即^弦之平方第官方《周髀算东茎》之中黄形成法2先重出弦平方，以四^^弦重出四彳固全等直角三角形、、ABDE GBDHDE舆，此四彳固直角三角形典原本之直角三角形全等，四彳固直角KEA FABABC三角形重罩，中央自然出现一彳固正方形，此正方形即^“黄^”，或耦FGHK卷“中黄^”四彳固直角三角形耦“朱^，即一弦平方含四“朱舆一“黄见下回1《周髀算冬空》注曰按〈弦〉又可以句股相乘卷朱，二倍之:朱^四H M不彳蜀勾三股四弦五之直角三角形可以如此重“朱舆“黄，任何直角三角形均遹用以下悬《周髀算原H:朱六黄一”朱鬻舆黄亶BI:《周髀算《密》有另一名:〈右〉〔见下〕，〈右〉之弦平方内藏句11M HIH IH^，“句^九青”，“句^九青”共平方罩位，其食余之面稹耦^“股^之矩”，9“股^之矩”共十六黄,即共平方罩位16^第氏数*且中黄3近世数阜有所耦氏数之^，即勾股弦皆^整数之数组氏数名且”之形成法如下今有二整数团舆〃，又^^〉〃，即J勾a=%汴-〃，股人2mnk，弦km2+n2°k亦^正整数°2c若左二，根舆八悬速^^，彳他几二1^始，可列出如下之表1面稹即三角形面稹二,“朱即三角形面稹黄^面稹=，-朱^，4x遏是即黄^一遏之是二黄^面稹q以下^^舆〃^速^数之氏数表ITm na bc面稹c2朱^4x3fa2134562524113251213301691204974372425846253362891754940411801681720961316511606133037211320240149♦・♦♦••••••♦♦•♦•♦••♦••*♦♦・♦♦・♦♦彳纶上表可知若阴舆〃乃:^一条且速^数,即所形成之股舆弦亦必:^一尔且速又若“=及几=，郎」成勾三股四弦五之基本直角三角形21注意各三角形之勾是彳馈^始成奇数之算御亍级数3以下^其一般情况若〃二，，即P42=p+1J勾〃=〃〃，+2+]—2+1/—〃2=〃2“2=股/卷2P p2P，+1=2P2+弦悬Ip1c p+2p+1+2p+]]2+p2=p2++p2=^然〃舆一且速^数2p2+22/2+2,+14直角三角形面稹;〃2p乙M32+12/+lp2+p=2p++p1+p=2P+2P32+p o=2P+3P32朱^二直角三角形面稹〃12P+4P44=42+3P+p=M+x x32弦c之平方篇2p2+2p+I2=4〃4+4P2+1+8P3+4P2+4P黄^面稹〃〃〃〃〃=4+41+8+4P4_8p3+]2+4p42+32+2=4p4+4P1+8P

③+4P+4〃_8P12P4P2+23-2-=4p4+4p2+1+4P2-12p24p2+]=4p4_=2p2-I2°所以黄^一遏之是卷2P2—T注意股-勾〃〃，亦:黄^一遏之是=2p2+2-2+l=2p2—l M若川舆〃加非一速^^，又言殳mn即J勾〃二根一〃,股人悬2mn，弦c禹机之十层22直角三角形面稹^2mn=mn{irr-层22^m-nx4x朱^=4x直角三角形面稹=4mM m2-n2弦c之平方卷w2+ri22=m4+2n2m2+n4黄^面稹=m4+2«2m2+n4-4mnnr-/=加4+2几2m2+_4m371+42〃3=m4+4n2m2+n4-4m3n+Amn3-2z2m2=-m2+2nm+n22°上式可分解成一完全平方式，所以黄^一遏之是^2mn+川2-m+以上丽槿情兄指直角三角形之勾股弦皆卷整数如果勾舆股均^整数，但弦5不一定;整数M若勾舄a，股^b，弦c悬yla2+庐直角三角形面稹;M＞朱二直角三角形面稹、b=2ab4x4x=4x弦C之平方;b2]2=a2+b2M[«*+黄^面稹=a2+b2-lab=b-a2，所以黄^一遏之房二1所以不^何槿直角三角形，只要其勾舆股卷整数，即其中黄^一遏之是亦必:M整数此言正明法其已包括第一舆第二槿言正明法，即以上之方法成立，第一舆第二槿情兄亦必成立以下:机典〃^^之“黄晨”及面稹表M M^m na bb-d里^面稹b-a*21344-3=113251212-5=7494372424-7=172895494040-9=3196165116060-11=492401••♦♦♦♦♦・♦♦••・♦♦♦♦♦p+p2p+2p2+2P2P2-1114p4-4p2+1《周髀算名军》注曰按〈弦〉…以句股之差自乘悬中黄今聚以下例以言兑明之18【例】依以上脩件若根，〃，解此三角形及求中黄1=7=4解勾4=7z—4=33，月殳Z悬2x7x4=56，弓玄c72+42=65°直角三角形面稹卷|x33x56=924朱^二直角三角形面稹=4x924=4x4x3696弦c之平方卷652=4225，黄^面稹，=4225-3696=529所以黄一遏之23或依以上公式算之-m2+2nm+n2=-72+2x4x7+42=-49+56+16=23°或求其勾股差所以黄^一遏之是;56-33=23M23【例】若一直角三角形勾是，股是，求中黄之遏是及面稹21729解中黄^之遏晨二〔军位〕29-17=12中黄^之面稹=〔平方罩位〕122=144第官方余品病4中黄^在勾股数擘中加非重要言果题，故现代^及之者少《周髀算重视之，因;其数容易求得,即勾股差是也M现任^^其丽槿趣端情况，若勾二股，即直角三角形等腰，即勾股差:中黄^M o,之遏是亦悬，其面稹悬，见下o oIB//\/\中/黄W\0/股股\弦/\/勾Z勾若直角三角形之勾是悬，即直角三角形退化成一直泉，股是即弦是,直角4三角形面稹;，中黄^之面稹即弦之平方,如下置所示:M1B股弦即中WMC A上之同:一黑占，所以直角三角形退化成一直々泉，其面稹:1H ACM ABCM直泉左方卷股^，右方卷弦^，亦即:中黄^，三相同o aB最彼，肇者以以下一题结束本文有雨彳固直角三角形，有相同之弦，亦有相等之中黄^，求言正雨三角形全等今^一直角三角形之勾^，股;，弦;，又^另一直角三角形之勾^广，M bM C股卷，弦亦卷，因丽直角三角形之中黄^相等，所以雨三角形之勾股差相等，即s cb-a=s-r，今b-a=s-r=d移项得b=a+d、s=r+d，又依勾股定理得72+/2=r2+52=C2，代入上式得a1+a+d2=r2+r+d2cr+cr+d1+lad=r2+r2+W+2rd2ad-24+2rd24+c^-+ad-i2+rda1-i2+ad-rd=0/-r2+da-r=0上式若二，即」雨项彳直各自等於，因不等於，所以00d0a=r即可得b=s，所以雨直角三角形全等。