圆的切线的证明方法

的切线的证明方法天津四中杨建成平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；⑵是从圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判d r断⑵和⑶都是由⑴推演出来的在儿何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种

①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；

②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”例如图，已知是的直径，是的切线，切点为平行于弦

1.AB BCB,0C AD,第I题图求证是的切线CD［分析］:因直线与有公共点故应采用“连半径，证垂直”的方法CD0D,［证明］:连结0DVOC^AD JZCOB=ZDAO,ZCOD=ZADOV OA=OD AZDAO=ZADOAZCOB=ZCOD在^和^中DOC BOCVOD=OB,ZCOD=ZCOBOC=OCAADOC^ABOCAZCDO=ZCBO是的直径，是切线TAB BCNCBO90NCDO90是的半径TOD O・・・是的切线CD0例•如图，已知两个同心圆中，大圆的弦、20AB相等，且与小圆相切于点求证是小CD AB E,CD圆的切线［分析］:因直线与无公共点，故应采CD0用“作垂直，证半径”的方法［证明］:连结过点作0E,0于OF_LCD F与小圆相切于点TAB EA0E1AB AAE=BE,在和CF=DF VAB=CD AE=CF RtA AEO RtA中也CFO VOA=OC,AE=CF/.RtA AEORSCFO OE=OF第题图2是小圆的切线•••CD例.如图，已知在△中，是上的高，且、分别是、3ABC CD AB CD=1/2AB,E FAC BC的中点，求证以为直径的与相切EF O AB［分析］:因直线与无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法AB O［证明］:过点作于O OHLABH、分别为、的中点♦E FAC BC，〃且EF AB,EF=1/2AB・点为的中点，••G CD OH=GD=1/2CDVCD=1/2AB EF=CD・••OH=1/2EF・・・为的切线AB O例.如图，已知是的直径，线段与相切于点是的中点，交4AB OAF A,D AFBF O于点，过点的切线与的延长线交于点，求证与相切E BDE CCD O［分析］:因直线与有公共点故应采用“连半径，证垂直”的方法CD E,［证法一］:如图连结、4-1,OE AE是的直径VAB O•\AE_LBF・是的中点/D AF・・二•DA=DF DEAZDEA=ZDAE・OA=OE AZOAE=ZOEA是的直径，是的切线TAB OAF O，NDAE+NOAE=90・・•ZDEA+ZOEA=90°「是的半径OE0二•与相切于CD OE［证法二］:如图连结、、4-2,OE AEOD是的直径VAB OAAE1BF是的中点,ID AF・••DA=DE=1/2AF在和^中a OEDOADVDE=DA,OD=OD,OE=OA在:•^OEDgZ^OADAZOED=ZOAD是的直径，是的切线TAB AFOAZOAD=90°・:NOED=90・・是的半径•OE O二•与相切于CDOE［点评］:证法一是利用了等式的性质证明，证法二是利用了全等NOED=NOAD=90图5-1三角形的对应角相等证明NOED=NOAD=90例.如图，已知直角梯形中，为上一点，平分5ABCD NA=NB=90AD/7BC,E ABED ZADC,平分试问⑴以为直径的圆与边有怎样的位置关系？并证明⑵以为直CE NBCD,AB CDCD径的圆与又有怎样的位置关系？并证明AB［分析］:⑴取的中点过点作于如果那么以为直径的圆与边相ABE,E EFJ_CD F,EF=AE,AB CD切，这就是“作垂直，证半径工⑵的证明方法是在⑴得到的基础上，作梯形的中位线即要证明为圆的半AE=BE EG,EG径又要证明EG±ABo［证明］:⑴以为直径的圆与边相切AB CD如图过点作于5-1,E EFLCD F〈平分DE NADC,DA±AE,EF±CD AEA=EF同理可证,EF=EB.\EA=EB=EF=l/2AB且VEF±CD,FE=1/2AB・•・以AB为直径的圆与边CD相切⑵以为直径的圆与边相切CD AB如图过点作于过点作〃交于点5-2,E EFJ_CDF,E EGBC CDG在^与^中EAD EFDZA=ZEFD=90°ZADE=ZFDE,DE=DE下转版6如何证明圆的切线垂直于圆的半径用反证法设圆的一条半径是直线与圆切于00A,1A假设直线不垂直于10A,过作垂直于00M1M因为直线不垂直于所以三角形是直角三角形，10A,OMA所以直角三角形斜边大于直角边OAOM即圆心到直线的距离小于圆半径，即直线于圆相交，与假设矛盾，所以垂直于即110A1圆的切线垂直于圆的半径的切线14质定理是“圆的切线垂直于过切点的半径”及其推论“经过圆心或切点且垂直于切线的直线必经过切点或圆心厂.于是，切线具有如下性质切线与圆只有一个公共点；1切线与圆心的距离等于圆的半径；2切线垂直于过切点的半径；3经过圆心垂直于切线的直线必过切点；4经过切点垂直于切线的直线必过圆心.5从上述条性质知道性质⑴是切线的定义；性质⑵是切线判定方法的逆定理；性质、

53、是切线性质定理及其推论，其中性质、应用较多.4523在应用切线性质定理时，如果只有切线，没有半径，要添加辅助线——就是连接过切点的半径，则此半径必垂直于切线.应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题.利用切线性质计算线段的长度1两个圆相交于A,B两点，半径分别为3和4,若两个圆在A点的切线互相垂直，求两个圆圆心的距离两个圆在点的切线互相垂直，也就是过点的两个半径互相垂直，所以两个半径，圆心距A A组成的是直角三角形所以圆心距是根号下A A32+42=5回答人的补充因为过直线上一点与已知直线垂直的直线只有一条，切线垂2009-10-1710:47直与半径，而两切线垂直，所以切线就是另一圆的半径回答人的补充半径和切线在切点处垂直，而两条切线也在切点处垂直，过2009-10-1710:42一点有且只有一条直线和已知直线垂直，所以两条半径是互相垂直的，根据勾股定理得5两个圆在点的切线互相垂直，即过点的两个半径互相垂直AA圆01和圆02相交于A,B两点，过点A作圆01的切线交圆02于点E,连接EB并延长交圆01于点15［标签切线］2,圆和圆相交于两点，过点作圆的切线交圆于点连接并延长交圆0102A,B A0102E,EB于点直线交圆于点01C,CA02D当与不重合时，是否成立？1,D AEA=ED当与重合时，2,DA唯一的.回答人气解决时间・・:1:12:2010022209:52网友完善的答案好评率查看完善答案历史100%解连结过做交于交于AB,B AB_LFG01F,02G连结连结并延长交于连结AG AF02H EHVAB±FG,・・・NABF=90为直角・・・AF为直径，同理AG为直径为切线AE01A01A1AEAAH1AEAZHAE=90二•为直径HE又NHAD=NCAFZCAF=ZCBA=ZEBGZEBG=ZEAG又02A=02EAZHAD=ZHEA・平分弧••E AD・・垂直平分,EH ADAAE=DE有AB两个圆，A圆半径为4厘米，B圆半径为6厘米，如果B圆不动，A沿着B圆圆周滚动，当A到原点时，A的自身转动多少圈分析走过的总长度应该是的周长A B的周长兀兀B=2x6=12cm的周长兀兀A=2x4=8cm所以A要滚动127r/8加=1,5圈已知圆与圆02相交于A,B两点，圆01的切线AC交圆02于点c,直线EF过点B交圆o于点E,交圆02于F若直线交弦于点时（如图）求证平行于若直线交弦于点时（如

1.EF ACD10AE CF2EF ACD图）求证2,DA*DF=DC*DE若直线交弦的反向延长线于点（图自作），判断（）（）的结论是否成立？

2.3EF ACD31,2并证明你的结论、连接1AB、连接1AB即（弦切角的定义）NAEB=NBAC（同弧所对圆周角相等）NCFB=NBACAZAEB=Z CFB，〃AE CF、连接2AB,CF（弦切角的定义）ZAEB=ZBAC（同弧所对圆周角相等）ZCFD=NBAC・・・（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）NAEB=N CFD即NAED=N CFDXVZADE=ZCDFAAADE^ACDFAAD/CD=DE/DFA DA*DF=DC*DE、3成立连接AB,AE,CF（弦切角的定义）NDAE=NABE・（（））圆内接四边形的一个外角等于它的内对角••NACF=NABE G02AZDAE=ZACF，〃AE CF・・△（平行线分三角形相似）•ADEs/XCDF・・・AD/CD=DE/DFDA*DF=DC*DE如何证明圆的切线垂直于圆的半径用反证法设圆的一条半径是直线与圆切于00A,1Ao假设直线不垂直于10A,过作垂直于00M1M因为直线不垂直于所以三角形是直角三角形，10A,OMA所以（直角三角形斜边大于直角边）OAOM即圆心到直线的距离小于圆半径，即直线于圆相交，与假设矛盾，所以垂直于110A1即圆的切线垂直于圆的半径、为半圆的直径，为半圆弧的三等分点，与为半圆的切线，若9AB CPC PBAB=2a,问PA=、已知是以为直径的半圆上一点,10C ABO直线与过点的切线相交于点CH1AB,AC BD,为中点，连并延长交于点E CHAE BD直线延长线于点求证F,AB GoCG是的切线分析或解答、先做图，连接这样因为在三等分点处，9OC OB=OC C故角为度而角为度，根据三角涵数，BOC120POB60得根号三角形为直角三角形，由勾股定理可PB=3a PAB得为根号PA7a.、是直径，10VAB AZACB=，90ZBCF=ZCBF=90°—・・・NCBA=NCAB=NACO ZOCF=90°,・是的切线••CG O或VCH±AB,DB±AB・〃••CH BD是中点•••E CH・是中点••F BDVDCB=90°.\CF=BF=FDAFCB=FBC回答人的补充如果不明白:£是中点，是中点2009-06-0602:35CH FBD可以这么想CE/CF=AE/AF,EH/BF=AE/AFCE/CF=EH/BF,VCE=EH,ACF=BF。