分组与分配问题他人所得

分组与分配问题整理她人所得

一、分组与分配得概念将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题分组问题有完全均分、全非均分与部分均分三种情况将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题分配问题有分为定向分配与不定向分配两种情况彳意思若黯分组问题与分配问题就是有区别得，前者组与组之间只要元素个数相同就是不区分得；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然就是可区分得对于后者必须先分组后排列东争蔷者氐钩鳍骊

二、分组问题例

1、六本不同得书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同得分组方法？1每组2本均分三堆；2一组1本，一组2本，一组3本；3一组4本，另外两组各1本；分析1每组2本均分三堆；分组与顺序无关，就是组合问题可分三步，应就是种方法，但就是这里出现了重复不妨把6本不同得书标记为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记这种分法为AB,CD,EF,那么种分法中包含着AB,EF,CD,CD,AB,EF,CD,EF,AB,EF,CD,AB,EF,AB,CD,共种情况，而这种情况仅就是AB,CD,EF得顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确得分组数就是=15种2一组1本，一组2本，一组3本；分组方法就是，还要不要除以呢？我们发现，由于每组得书得本数就是不一样得，因此不会出现相同得分法，即共有=60种分法或盒盗结睁喔叠蚌成成或3一组4本，另外两组各1本；分组方法就是，有没有重复得分法？我们发现，其中两组得书得本数都就是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书得那一组，由于书得本数不一样，不可能重复所以实际分法就是种统蚁带鹫汹讲颐小结分组问题属于组合问题，一般与顺序无关，常见得分组问题有1完全均分得分组每组元素个数相等，不管它们得顺序如何，都就是一种情况，应该除序，即除以相等组数得阶乘；一般地，km个不同得元素分成k组，每组m个，则不同得分法种数为

（2）全非均分得分组各组元素个数均不等，无需考虑重复现象；一般地，把n个不同元素分成k组，每组分别有个，且互不相等则不同分法种数为

（3）部分均分得分组部分组元素个数相等，应除以部分相等组数得阶乘；一般地，把n个不同元素分成k组，每组分别有个，蚊膳枫骋鲫镶磴且，如果中有且仅有i个相等，则不同得分法种数为

三、分配问题

1、定向分配问题例

2、六本不同得书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同得分配方法？

（1）甲2本、乙2本、丙2本；

（2）甲1本、乙2本、丙3本；

（3）甲4本、乙1本、丙1本；分析由于分配给三人，每人分几本就是一定得，这就是分配问题中得定向分配问题，由分步计数原理不难解出

（1）（种）

（2）（种％或或或

（3）（种），或或小结定向分配问题可用分步计数原理计算

2、不定向分配问题例

3、六本不同得书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同得分配方法？

（1）每人2本；

（2）一人1本，一人2本，一人3本；

（3）一人4本、一人1本、一人1本；分析此组题属于分配中得不定向分配问题，就是分配问题中比较困难得问题由于分配给三人，同一本书给不同得人就是不同得分法，所以就是排列问题实际上可瞧作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以即可（可理解为三人分别有3种、2种、1种选择法）到禽毁辄以昆爱辗

（1）（种）

（2）（种），或或或

（3）（种），或或小结不定向分配问题得解决办法就是先分组后分配例

4、12支笔按33222分给A、B、C、D、E五个人有多少种不同得分法？分析问题可转化为先分组后分配先分组分组法数有后分配将这五组（即五个不同元素）分配给五个人（不同对象），分配方法数有根据分步计数原理共有种不同得分法例

5、四个不同得小球放入编号为1,2,3,4得四个盒子中，恰有一个空盒得放法有多少种？分析恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2o于就是问题可转化为先分组后分配先分组四个不同得小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法数有后分配将这三组（即三个不同元素）分配给四个小盒（不同对象），分配方法数有根据分步计数原理共有例

6、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中4人承担这三项任务,不同得选派法有多少种？挨谪鹃旖骁醴分析问题可转化为先分组后分配先分组第一步从10人中选4人，选法有，第二步分为三组，其中两组各1人，另一组2人，分组方法数有，共有；陶规^第讷篇辔后分配第一步分配甲任务，分配法只有1种，第二步分配乙、丙任务，分配法有根据分步计数原理共有种不同得选派法例

7、设集合A={1,2,3,4},B={6,7,8},A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B得不同得函数有多少个？^言夬箭剑谄彦叔分析由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中得每个元素都有“归宿”，而集合B得每个元素接受集合A中对应得元素得数目不限，所以问题可转化为先分组后分配涨^镀单踏先分组集合A中4个元素分为三组，各组得元素数目分别为

1、

1、2,则共有后分配将这三组（瞧作种三个不同元素）分配给B中得三个不同元素，分配方法数有种根据分步计数原理共有个不同得函数例

8、六本不同得书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？分析六本书与甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手因此，先分组，后分配先分组六本书怎么分为三组呢？有三类分法每组2本，有=15种；三组分别有1本、2本、3本，有=60种；两组各1本，另一组4本，有种所以根据加法原理，分组法有15+60+15=90种蜀晶遛^益攫蝉艰后分配将这三组（即三个不同元素）分配给三个人（不同对象），分配方法数有（种）根据分步计数原理共有种不同得分法

四、元素相同问题得等效转化——隔板分割法例

9、5本相同得书全部分给3个人，每人至少1本，有多少种分法？分析5本相同得书没有差别，可把它们排成一排，相邻两书之间形成4个空隙，在4个空隙中选2个空隙，每个空隙插入1个隔板，可把5本相同得书分成3部分，对应地分给3个人，每一种插板方法对应一种分法因为两个隔板无顺序，所以共有种分法盗旖焉贯簪闭幺会例

10、5本相同得书分给3个人，有多少种分法？分析1把5本相同得书排成一排，相邻两书之间有4个空隙及两端有2个空隙，在这6个空隙位置插2个隔板，这样第2个人至少能分到1本，为了让第2个人可能分到0本，我们在这6个空隙位置上再增加一个位置，形成7个位置2个隔板进行分割，所以共有种分法湃辞金居羞瘦分析2以第2个人为标准，问题可分为两类，第一类第2人至少分到1本，相当于在4个空隙位置及两端共6个空隙位置插2个隔板，有种插种法；第一类第2个人分到0本，在上述得6个空隙位置同时插2个隔板，有种插法；于就是共有十种端称绷钊口内谄赎下列问题用隔板分割法如何解释？有待高人帮助例

11、3本相同得书全部分给5个人，每人至多1本，有多少种分法？分析从5人中选3人来分书，因为分给得书相同，所以无顺序，有种分法例

12、3本相同得书全部分给5个人，有多少种分法？分析问题可分为三类，第一类把3本相同得书分给1人，可从5人中选1人，有种；第二类3本相同得书分给2人，可从5人中选2人，有种（先选人，后分配）；第三类3本相同得书分给3人,可从5人中选3人，有种；共有酱阖飕镭尴髓车巨最后，相同元素分配给相同对象得问题很简单，这里不再赘述如5个相同得小球放入2个相同得盒子里，有0+5,1+4,2+3三种分法言吾偿彳监郸阑枭。