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《计算方法教程（第二版）》习题答案第一章习题答案浮点数系方共有一尸-个数£/L,U2411L+l+l a.
40973、b.
0.11101000x2\
0.11101110x
26、设实数则按夕进制可表达为:4x eR,ld/3±3+1++…x0i-0d.P,j=2,3,・・・/J+!••c.O.llllllOlx26按四舍五入得原则,当它进入浮点数系尸（ZZL,U）时，若4+1则、d[d d力土—+x=V+…+x代P/、d d+1力x=±-+3+…上丁x〃P//4+]对第二种情况:卜-川%）=…x，--—x31=p/3t20t+2对第一种情况:-刈=（需+…）乙乙|x-X,!X,=；W L）Z-Z小;*就就是说总有:2x22x3a.y=g
[2]+、7+、・・523]・!!、669（X）之
①x fxjL（x）=WX（x）/（x,）=ZfXj=i=0（x—七）力（xji=o/=0注意到四2-就是一个最高次项系数为得次多项式，因此插值1n Lag/zmgeXf多项式（）得次项（即最高次项）得系数为£/察;L xn
（七）另一方面以％=）为节点得及插值多项式0,1,•••,«New/oiN（x）=%+乂/,%J（x—%）+乂/,与，々]（入一x°）（x-X）+・・・+Mx（）,七,・・・，x〃]（x—x（））（x—现）・・・（工—七_]）因此，其次项（即最高次项）得系数为义工，七由插值多项式得唯一性,便有:n J「V f⑺1M/，王，・・・，x〃]=Z「^由于节点玉（i=0,1,・・・,〃）互异淇Lagzzmge插值多项式为:、第题p129——10以3/3））,（,73））为插值节点作插值多项式£
（1）,由于/（“）=f（b）=a,易知L（x）=0;又由余项公式:/（x）-L（x）=R（x）=/C）（工一〃）（工一刀,可知:/%=x-ax-b乙注意至”九一4九一方|W—匕一2,因此:max|/x|-b-a2maxlf^x;114axbl18axbl、第题p129——11参见教材、pp177-
178、--第题p13012a由定义:Ay=%+]—%,心乃=41%+1-心一”,因此由差商定义:乂…』=E*）==孚=犷3]_/△叫「」丫丫]_-」+”乂对九362A2v[r人，，人，+人，+」一2%）11，2Xi+2一巧2/z匕+—七£+]—为h1-h-k/Sky--h-k^y=M i左+1吐左！/+I k\l\一般地，若出西,租|,,,加]=±〃一卬/,则有・・k\1_y[x,+i，・・・,巧+攵，巧+々+]一四七，七+11，/XM Xj+k xik+lMX,，…，，+-----------------------------------------------------------------------------------------------------J=Xi+k+\~Xi由此得证左+1!、由插值多项式b NeuYM必+乂/,工一/+乂%,七,々］%一/工一不+・・・Nx=5］0+乂入,,王］一%…茗・・0，47%X—1及％=/+/,即x—x0=th,x-x=・・・,x-x_=t-n+lh,1n x根据前得结论自然可得所求结论、第题p130——12只需证明1在尤=-3,x=4处S〃-3=5〃4=0,这就是因为5%就是自然样条,s〃—3+0=18+6吐=3=，57-3-0=0,=S〃-3=0S〃4—0=—120+30©,=,S〃4+0=0,=S4=0X—4在巧等三点，有2=-1,0,3匕—〃七—例如:S0=Sx SQj-0=Sx S0=Sx5—1—0=28—25+9—1=115—1=26—19+3+1=11・・・s—1—0=S—1S—1—0=25+18x+3/=25—18+3=10x=-\Sf-l=19+6x-3x2=19-6-3=10=Sr-l-0x=-\S—1—0=18+6X|J=18-6=12SX-1=6-6x|1=6+6=12=SX-1-0类似，证明其她两点、第章数值微积分
4、第题P187——1设f{x}dx«J2按待定系数法，令/%=1n b-a=A所以,公式为//xdxp九2确定代数精度:令/%=%n-b2-a2=b-a—令/%==/一力一爸%233Q@2所以，代数精度为且可知误差或了=即i,,c,cb b+a加2在此式中，令小n*—号3解之，得〃=因此中矩形公式-Lb-4,24rb hn1o、第题£fxdx=S-Q,fy—+-/-ay f77p187——3Z J g已知:£讨论:⑺力f{x}dx=AXk+rf a7,令/=Q+Z-Q X,则％:0-1=t:a fb,有j gtdt=J g{a+S-axd{a+b-ax=b-Q Jg〃+S-dxdx=3-〃£A ga+b-ax+rb-m+i gm+l a+b-a}Jg⑺力x S—k kaQZA ga+b-ax kk第章非线性方程求解
5、第题p228——5令超+产三，取初值％则原问题得极限便就是当〃时序列1==0,-00kJ得极限;J记=』，则当时，,且，所以px2+x xe[0,2]0x£[O,2]px=—2j2+x（pr（x）\%也1，因此序列上｝收敛，切收敛于叭x）=j2+x得不动点2;第题p229——7证明:由r（x）o=/⑴为单调增函数，由题设了（%）有零点％*，则此零点％*必唯一迭代4+1=%-4/
（4）,记0（x）=X-4（X）,X*也就是得不动点,火@,£或、£,4a%由•・.4+17*1=h-X*-4/®-/£]=,4C|・・・1—4mNl——及0为%胸2・・.ll-^nl-Af^l-2M-1=|1-^^|£1,由此推得迭代收敛b.y=—————l+xl+2xd.y32x42Q X22!----------14!6!2!y/~X V JC+1+VJC-1q2p+^p234+q2V
1133208、项=
55.98x=
0.
017862、9-
0.233406-
0.
207570.8107宁心+*—T一七H第二章习题答案
1、a.x=3,1,27b.x=2,-l,2,-1，c.无法解、与同上,2a.b.一一c.x=—-17,39,10,-397a-
0.5312,
1.2188,-
0.3125,
1.2188,32^、、’121—2121-2253-22112b.135-2213-3-2-223J[120i13121-
2、1-
1211219、x,=
46.3415,
85.3659,-
295.1220,
95.1220,
85.3659,
46.
34151、必分解:x=
26.8293,
7.3171,
2.4390,
2.4390,
7.3171,
26.8293/10LD2D=diag{10,
193.579,
0.
015、
10.91L=
0.
70.89471©
50.
78950.60301分解Cholesky、,
3.
16232.
84601.3784G=
2.
21361.
23331.
89181.
58111.
08331.
14080.1225,k解:x=2,-2,l,-
112、MM=16,⑷2*11411=16Goc°Ma=CMA=4%Cond A,=22|闻A%=1%,2=L4083,lIL=%Cond A=Cond^A=748Cond A=524}
22220.0139-
0.1111-
0.
0699.0000-
36.
000030.
0000、-
0.
11110.0556-
0.1111,A；1=-
36.
0000192.0000-
180.0000-
0.0694-
0.
11110.0139,
30.0000-
180.
0000180.0000=
0.1666・・・,=372・1151・・・、:对应迭代收敛,迭代不收敛;15A Gauss—Seidel/acobi对应迭代收敛,迭代不收敛;Gauss—Seidel Jacobi:对应迭代收敛,迭代收敛;4Gauss-Seidel JacHi第三章习题答案、插值多项式:1Logzzmge一
2.70了一3・20一
4.80一
5.66乙
14.2X4%=
1.00-
2.70l.00-
3.20l.00-
4.80l.00-
5.66x-
1.00x-
3.20x-
4.80x-
5.66+
17.8x
2.70-
1.
002.70-
3.
202.70-
4.
802.70-
5.66+220*X—1・0%—
2.70x—
4.80x—
5.66，X
3.20-
1.
003.20-
2.
703.20-
4.
803.20-
5.66x-
1.00x-
2.70x-
3.20x-
5.66+
38.3x
4.80-
1.
004.80-
2.
704.80-
3.
204.80-
5.66一x—L00x—
2.
703.20x—
4.80+
51.7x
5.66-
1.
005.66-
2.
705.66-
3.
205.66-
4.80插值多项式Newton7V x=
14.2+
2.117647059x-
1.004+
2.855614973%-
1.00x-
2.70一
0.527480131x-
1.00x-
2.70x-
3.20+
0.21444779%-
1.00x-
2.70x-
3.20x-
4.80差商表:、、
100142、、、
2701782117647059、、、、
32022084000000002855614973、、、、48038310187500000851190476-
052748013、、、、、、
666517155813953521926403860453192530210444779、设其反函数就是以为自变量得函数对作插值多项式:2y=yx,y x=xy,xy Ny=
0.1000-
0.3350y-
0.7001+
0.009640y—
0.7001y-
0.4016+
0.01531^-
0.70013；-
0.4016｝；-
0.1081+
0.01253^-
0.7001^-
0.4016｝；-
0.108ly-
0.1744就是在［］中得近似根N0=
0.3376yx=
00.3,
0.
43、p x=1+2x-28x2+44x3-23x4+4x
55、最小二乘一次式:4y=
4.9655+
3.2593xGa-y=-
0.10092,
0.04271,
0.10654,
0.06247-
0.11080r误差:佟-4=
0.
19884、7n+2n+2n+
2、5a=lA35938875,f3=
1.
026117757、两边分别就是得插值多项式与插值多项式得〃得系9/x New3Lag/zmge x数第四章习题答案、、、、、4a069314718,b
0.22454674c
34543210、、、、d-066911467e
1.8428028f
052693624、、2a k=l;b k=3如2Z749计算公式:―/=!E--xlO-4In
225、步长5=
0.4乂10・〃=75o2f
6、a、Jxdx=|[2/-1-f0+⑺J322720b、J；fxdx=-[/0+4//2+f2h]--/47390J°力力ph2i5Jc、o fxdx=-[/0+/〃]+—[/O-/初+-—/4⑺乙乙1/ZJ\JJ、一份―孙+瞿川d fxdx=^[2///0+2//4s345J%、£=-*+/*]+/⑷
①e,Z
115、〃
326、
15、，/
326、Z
1、
7、8/
1.0«-
0.251254705,f
1.2«-
0.188607265误差e«
0.125xW
2、*』[//-10/x°2fx+h+fx°+2/i]n0e=f\x.-4[/x-2/x+h+/x+2/z]=-矿%+O/z2n
000、、11-0999999998第五章习题答案、准确解
21.465571232…、、3a
0.
5671432904、请将方程改为2/_4/_x+2=0；实根:±
0.707b--,
26、f=
0.301709563…,迭代例如x=ex=expx—
1.
5、’
0.
826031358、、8a多©
56362416、、
141.
373476336、初值2°b
1.524964885,J5,、
3.7’
3.756834008初值x
02.
72.77984959,第六章习题答案1解析、解:2（2}y—Jl+2t,、、a y=---------3b c-t2T2
（3）、3解析解1a.y=（y=—b、c、l+ef2a、
5、（「））a y+i=4y-3y_1-2%_\,E th=h;«h5a=y—W」—3力，=；/“，©•）JL4614,入%=%+彳（2九—九+2力，E^h）=h3y^^4/za、，川=%一3+7（2力一2—力一+2力）■J、728网=P+—（ci-Pi）Mzy+ih=乂-+力+/（%,加加）]4-1+4X1=CM~~（G+i—zy）hpM（—9£T+37力.2—59力一+55〃R=y，十万力）、251mM=0+1+赤（G—R）h+五九力（如*=y-2-5+19+9/M+J]、19,Vi+i=G+i-彳石（G+i-P）M、8Runge-Kutta:（）（（y
0.50j=
0.0761886y
0.25hy=
0.X07668）（
0.75卜3=
0.101006）（
1.00卜％=
0.
110068、、（步长、）10a:01ti、、、、-
09090959718920106103364901、、、、-
08083565808760206195373887、、、、-
07077542377850306351814762、、、、-
06072674328340406577490421、、、、-
05068794649720506879464972、、、、-
04065774904210607267432833、、、、-
03063518147610707754237780、、、、-
02061953738850808356580869、、、、-
01061033648990909095971888、
006072999900、解析解:by=6——_e-e_第七章习题答案、、1a.x*=
2.0000b=
0.
8603335892、x・=0,0/
3、£=
1.383551,
0.978318T
4、/=「％歹％8）,
5、%*=±
0.382683432,±
0.923879533r、£=百,60y习题答案一一证明题第章线性方程组求解
2、第题P79——14证明:、由于料就是范数，它必满足范数得三条件;由于|国.=||除口,所以a
（1）非负性:国”=||跖拒0,且国MT|MM=0当且仅当m=0,又由M得非奇性，当且仅当时才有因此:〔当且仅当x=0Mx=0,HL=0x=0;⑵正齐性:同河=|“*|=囱附）||=闻网=闻比⑶三角不等式眠+附（*+川=||妹+叫花||降||+的ML=1II IH%L+WL因此，按此定义得范数就是范数；11HM、仿前，容易证明定义了一种矩阵范数关于相容性:b ML=[M4MlIIM=MLIW|M引M=||M4x||=第章数据近似
3、第题:p129——6取（）则对插值节点（为,）,•,〃,其插值多项式为a/x=l,1i=0,1,2,・LagAwzge〃+1C巧x三1/,X-Lx=l-£/,x=z=069X=0=/=（）（又由函数、插值多项式与余项得关系，及余项公式，有L x=£/,©,i=0此处，用到:,严%三・・fx=1,・・・0b、证明同上，只就是将/（%）=/,由于左K〃，所以仍有了（〃钊⑺三0；、由二项式定理:c、k tnZ4（x）=£（T），C27i（x）巧-不无=z六3=o）=£—=x-xk=0J=o此处,用到了b、已证明得结论:f x7/jx=xk~j,j=0,1,・・・,左;i=0d、只需注意到由于y（x）就是〃2次多项式，又加〃，因此y（〃”）（x）三0;因止匕,由余项公式:y（x）-尸⑴=—-—y（〃+i）G）颂x）=0，此即所要得证明（）n+1!（）（）（）便就是该插值多项式得余项，由余项公式:P x-^P x/,.%z尸（〃+D0P（x）-ZP（x，）4（x）=69（X）=69（X）,n+1!e、（方法1）:令PQ）为被插函数，则ZP（xMS）为对应得插值多项式，因此此处，用到P（x）就是首项（即最高次项）系数为1得〃+1次多项式，因此P（D（x）=（〃+）1!;（方法2）:首先，记式尤）=P（x）-ZP（xJ4（x），由于//（X）为心华厂加以基本插值多项式,・・・^0
（七）4（々）=P（A）左=0,1,・・・,几=q（xJ=0左=0,1,・・,〃；♦其次,P（x）就是首项系数为1得〃+1次多项式，而Z P（%）4G）就是（不超过）〃次多项式,因此久X）也就是首项（即最高次项）系数为1得〃+1次多项式；综上所述,夕（%）就是以（攵=…/）为零点（共〃+个点），首项（即40,1,1最高次项）系数为得〃+次多项式，因此119（x）=（x—%）（X—X]）・・・（1—=co｛x｝、、第题p129——7（）匚,以点/｝为插值节点得插值多项式记为/x=—=o,12・・・X+1以（x）,求〃〃5+1）解:由余项公式:Rx=/%-p x=/[0,1,2,•••,«,x]xx-lx-2•••x-M,在上n式中取％=〃+1,由于于n+1=+1，便有n+2〃+1〃“〃+1=-/W2…，〃/+U5+1!n+2差商表-12*31*2*31—1-12]*2*3*43*42*3*4••••••n-\]-121n-1--------〃_3〃-2〃n-lnn]-1/7nn+ln{n+1-12i n+1n+}--------------]—1n-2/2-lnn+ln+2n+1H+2nn+1+2-1200几-Ynn+ln+2因止匕p〃L+l=[_]+-n+
2、第题p129——8区义一P（）），若记q（x）=p（x）-p（x），则显然ty（x）=00,这说明〃（）（工-%）«）,此处（）就是（〃-）次多项式，与上式比较，可知x=r x1（）即〃[用/]就是一个（〃一）次多项式、p[x,x]=r x,10n-2n-l/—
1、第题p129——9〃+2!另一方面，浮点数要求〈尸，故有国之^夕,将此两者相除，便得X-力（X）Xa.
1.5960b.
1.5962后一种准确最后一个计算式:
0.00025509原因:避免相近数相减，避免大数相乘,减少运算次数。
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