《影射与函数》课件

影射与函数本课件将深入探讨影射和函数的概念，涵盖定义、性质和应用课程目标了解影射的概念理解函数的概念掌握函数的变换掌握影射的定义、性质和种类，为理解掌握函数的定义、性质和分类，并学习学习函数的平移、伸缩、对称和周期等函数奠定基础常见的初等函数变换，并能够灵活运用什么是影射在数学中，影射是将一个集合中的元素与另一个集合中的元素之间建立对应关系的规则简单来说，影射就像一个“映射器”，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素影射的概念广泛应用于数学的各个领域，例如线性代数、拓扑学、集合论等它为理解和处理不同集合之间关系提供了基础影射的定义定义符号从集合A到集合B的影射是指一个规则f，它将A中的每个元素通常用f:A-B表示影射，其中A是定义域，B是值域x对应于B中的一个元素fx影射的性质保持对应关系唯一映射影射保持集合元素之间的对应关系，每个元素在影射中只能映射到一个目确保每个元素都唯一映射到另一个集标元素，避免出现多对一的映射合中的元素明确规则影射需要遵循明确的规则，确保每个元素的映射结果是确定性的，不依赖于其他因素影射的种类单射满射12每个象都对应唯一的原象每个象都有对应的原象双射3每个象都对应唯一的原象，且每个原象都对应唯一的象单射定义性质例子如果一个映射f:A-B满足对于A单射映射保证了每个像都对应着唯一例如，函数fx=2x是一个单射，因中的任意两个不同元素a1和a2，它一个原象，也就是说，不会出现两个为对于不同的x值，它们的像fx也们的像fa1和fa2也不同，那么称不同的原象映射到同一个像的情况是不同的f为单射满射满射是指定义域中的每个元素在值域想象一个射箭比赛，如果每个靶心都中都有一个对应的元素有一个箭头射中，那么这个射箭比赛就是满射双射定义特征双射是一种既是单射又是满射的映射双射映射中的每个元素在域和陪域中都对应唯一的元素函数概念函数是数学中一个重要的概念，它描述了一种输入与输出之间的对应关系一个函数可以将一个输入值映射到一个唯一的输出值函数在数学、物理、工程等多个领域中都有广泛的应用函数的定义对应关系唯一性12函数表示了一种特殊的对应关对于集合中的每个元素，函数系，它将一个集合中的元素与只能对应唯一一个元素另一个集合中的元素一一对应符号表示3函数通常用字母表示，例如fx，其中x代表输入值，fx代表输出值函数的性质唯一性确定性每个输入值对应唯一的输出值相同的输入值始终对应相同的输出值定义域值域函数定义域是指所有可以作为函函数值域是指所有可能作为函数数输入值的集合输出值的集合函数的分类多项式函数指数函数对数函数由多个变量的多项式组成的函数，例如二以变量为指数的函数，例如2^x,3^x等指数函数的反函数，例如log2x,log3x次函数、三次函数等等初等函数代数函数指数函数由基本代数运算（加、减、乘、除、变量出现在指数位置的函数，例如乘方、开方）构成的函数y=a^x对数函数三角函数指数函数的反函数，例如y=log_ax描述角与边之间关系的函数，例如y=sinx,y=cosx,y=tanx初等函数的性质连续性可导性在定义域内，初等函数通常是连续的，这意味着函数图像是没有大多数初等函数是可导的，这意味着可以计算它们的导数断点的可积性周期性初等函数通常是可积的，这意味着可以求解它们的积分一些初等函数是周期性的，这意味着它们的图像在一定范围内重复出现反函数定义性质若函数fx的定义域为A，值域为B，且对于任意的y∈B，在反函数的图像关于直线y=x对称A中存在唯一的x，使得fx=y，则称函数fx在A上有反函反函数与原函数互为反函数数，记为f-1x，它的定义域为B，值域为A，且满足f-1fx=x，ff-1x=x若函数fx在A上单调递增，则其反函数f-1x也在B上单调递增反函数的定义单射函数满射函数双射函数对于定义域中的每个元素，都有唯一对应值域中的每个元素都对应定义域中的至少既是单射又是满射的函数，每个定义域元的值域元素一个元素素都对应一个唯一的值域元素反函数的性质互逆性定义域与值域互换12如果函数f和g互为反函数，函数f的定义域等于其反函数则fgx=x且gfx=x g的值域，反之亦然3图形关于直线y=x对称函数f和其反函数g的图形关于直线y=x对称函数复合复合函数的定义1将一个函数的输出作为另一个函数的输入,得到一个新的函数,称为复合函数复合函数的性质2复合函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域有关复合函数的应用3复合函数可用于解决实际问题,例如在物理学和工程学中复合函数的定义定义示例设f和g是两个函数，且f的定义域例如，如果fx=x^2和gx=x+包含在g的值域中，则对定义域中的1，则fgx=x+1^

2.每一个x，gx都在f的定义域内，于是可以定义一个新的函数fgx，称这个函数为f与g的复合函数，记作f og，并称f为外函数，g为内函数.性质复合函数具有以下性质•复合函数的定义域是内函数的定义域•复合函数的值域是外函数的值域复合函数的运算满足结合律，即f og oh=f og oh复合函数的性质结合律非交换律12对于三个函数fx，gx和通常，f∘g≠g∘f，除非fhx，如果它们的定义域和值和g是可交换的函数域匹配，则f∘g∘h=f∘g∘h复合函数的导数3如果fx和gx都可微，则f∘gx=fgx*gx函数变换平移将函数图像沿坐标轴方向移动，保持函数形状不变伸缩将函数图像沿坐标轴方向拉伸或压缩，改变函数形状比例对称将函数图像关于某个直线或点进行对称变换，改变函数方向函数的平移水平平移垂直平移将函数图像向左或向右平移向左平移a个单位，则函数表达将函数图像向上或向下平移向上平移b个单位，则函数表达式为fx+a；向右平移a个单位，则函数表达式为fx-a.式为fx+b；向下平移b个单位，则函数表达式为fx-b.函数的伸缩纵向伸缩纵向压缩横向伸缩横向压缩将函数图像沿纵轴方向伸缩，将函数图像沿纵轴方向压缩，将函数图像沿横轴方向伸缩，将函数图像沿横轴方向压缩，系数大于1表示向上伸缩，系系数大于1表示压缩，系数小系数大于1表示向右伸缩，系系数大于1表示压缩，系数小数小于1表示向下伸缩于1表示伸长数小于1表示向左伸缩于1表示伸长函数的对称关于y轴对称关于原点对称若函数图像关于y轴对称，则对于任若函数图像关于原点对称，则对于任意实数x，都有fx=f-x意实数x，都有fx=-f-x关于直线y=x对称若函数图像关于直线y=x对称，则对于任意实数x，都有fx=x，且y=x的图像上任意一点a,a均在函数图像上函数的周期定义性质例子对于函数fx，如果存在一个非零常数T周期函数的图像关于x轴平移T个单位正弦函数sinx的周期为2π，使得对于任意的x，都有fx+T=fx后，与原图像重合成立，那么称函数fx为周期函数，T为函数的周期综合应用将影射与函数的知识应用于实际问题中，可以帮助我们更深入地理解数学概念，并将其运用到生活中例如，我们可以用函数来描述物体的运动轨迹，用影射来分析数据之间的关系习题练习巩固知识提升能力通过练习，加深对影射和函数概念的练习可以提高解题技巧，锻炼逻辑思理解维检验成果通过习题，可以检验学习成果，发现不足之处课程总结本课程介绍了影射和函数的概念，以及它们在数学中的重要应用。