《微分与求导的法则》课件

微分与求导的法则by课程目标理解微分与求导的概念熟练运用求导法则掌握微分与求导的基本定义，并了解掌握基本求导公式，并能够熟练运用其在数学中的重要性复合函数、反函数、隐函数求导法则运用导数解决实际问题理解导数在函数图像性质、最值问题、曲线切线等方面的应用，并能够利用导数解决相关实际问题微分概念微分是函数变化率的线性近似，表示函数在某一点附近微小变化量的变化趋势通俗地说，微分就是函数在某个点附近“几乎是直线”的部分，也就是函数在该点附近的“切线”微分可以用来解决各种问题，比如*计算函数的瞬时变化率*近似计算函数的值*优化函数微分的几何意义切线斜率瞬时变化率微分代表函数曲线在某一点的切线斜率它反映了函数值在该点处的变化速率微分的性质线性性乘积法则微分运算满足线性性质，即两个函数乘积的微分等于第一个dfx+gx=dfx+dgx，函数的微分乘以第二个函数加上dkfx=kdfx，其中k为常第一个函数乘以第二个函数的微数分商法则两个函数商的微分等于分母的平方乘以分子微分减分子乘以分母微分的商基本微分公式常数幂函数12dc=0dx^n=nx^n-1dx指数函数对数函数34da^x=a^xlnadx dlnx=1/x dx复合函数求导法则链式法则1如果y=fu且u=gx，则y对x的导数等于y对u的导数乘以u对x的导数，即dy/dx=dy/du*du/dx举例说明2例如，y=sinx^2，则u=x^2，y=sinu，所以dy/dx=cosu*2x=2xcosx^2应用场景3链式法则广泛应用于求解各种复合函数的导数，例如三角函数的复合函数、指数函数的复合函数等等反函数求导法则反函数定义若函数y=fx的反函数为y=f-1x,则有ff-1x=x.求导公式设y=fx可导且fx≠0,则其反函数y=f-1x的导数为:f-1x=1/ff-1x.隐函数求导法则方程两边同时求导1对等式两边同时进行求导求解导数2将导数表达式化简，得到目标导数隐函数求导3对包含两个或多个变量的方程进行求导高阶导数定义记号应用函数的n阶导数是指对函数进行n次求导fx的n阶导数记为fnx或dny/dxn高阶导数在分析函数的性质、求解微分的结果方程、研究曲线的凹凸性等方面有着广泛的应用导数应用一函数图像的性质单调性凹凸性拐点导数的符号可以判断函数的单调性，如二阶导数的符号可以判断函数的凹凸性拐点是函数图像凹凸性发生改变的点，果导数大于0，则函数单调递增；如果导，如果二阶导数大于0，则函数图像向上可以利用二阶导数为零或不存在的点来数小于0，则函数单调递减凹；如果二阶导数小于0，则函数图像向寻找拐点下凹导数应用二函数最值问题求函数在给定区间上的最大值和最小利用导数的性质，找到函数的驻点和值拐点比较函数在驻点、拐点和端点处的函数值，确定最值导数应用三曲线的切线和法线切线斜率切线方程在某一点处的切线斜率等于该点处的导数利用点斜式方程可以求出切线方程法线斜率法线方程法线与切线垂直，因此其斜率为切线斜率的负倒数利用点斜式方程可以求出法线方程导数应用四速度和加速度问题速度加速度速度是物体位置随时间变化的快慢，是位置函数的导数加速度是速度随时间变化的快慢，是速度函数的导数导数应用五相关速率问题动态关系求导应用12分析两个或多个变量之间随时利用导数来求解变量的变化率间变化的关系应用场景3例如，物体运动速度、水池排水速度、影子变化速度等总复习一基本求导公式常数函数幂函数常数函数的导数为0幂函数的导数为指数减1后的幂函数乘以原来的指数指数函数对数函数指数函数的导数为指数函数乘以对数函数的导数为1除以自变量自然对数底乘以自然对数底总复习二复合函数求导链式法则常见复合函数练习题复合函数的导数等于外函数对内函数的三角函数的复合函数，指数函数的复合针对各种复合函数，进行求导练习，巩导数乘以内函数的导数.函数，对数函数的复合函数等.固链式法则的应用.总复习三隐函数求导隐函数定义求导步骤当一个方程不能直接写成y=fx的对等式两边同时求导，然后解出y形式，但可以表示y是x的函数时，的表达式该方程称为隐函数应用场景求解无法直接表示为显函数的曲线斜率和切线方程总复习四导数应用函数图像的性质函数最值问题速度和加速度单调性，凹凸性，拐点求函数的最大值和最小值利用导数求解运动学问题思考题一求函数y=lnx+sqrtx^2+1的导数思考题二求函数y=x^3+3x^2-9x+5的单调区间和极值思考题三请尝试利用导数求解下列问题-已知函数fx=x^3+2x^2-5x+1，求其导数-已知函数fx=sinx+cosx，求其导数-已知函数fx=lnx+e^x，求其导数-已知函数fx=x^2+1/x-1，求其导数思考题四求函数fx=x^3-3x^2+2x的单调区间和极值.思考题五请解释微分与导数的关系，并举例说明它们在实际应用中的区别课程总结微分和求导求导法则12微分与求导是数学分析的重要我们学习了各种求导法则，包工具，它们描述了函数的变化括基本函数的求导、复合函数率和切线斜率求导、反函数求导和隐函数求导导数应用3导数在许多领域都有广泛的应用，包括函数图像的性质、函数最值问题、曲线切线和法线、速度和加速度问题以及相关速率问题课后思考应用思考拓展思考如何将微分和求导应用于实际问题？微积分中的其他重要概念有哪些？。