《微积分人大》课件

《微积分人大》课程概述课程目标课程内容教学方式培养学生对微积分基本概念的理解，掌握涵盖函数、极限、导数、积分、微分方程采用课堂讲授、课后练习、案例分析等多微积分的基本理论和方法，并能将其应用、级数、多元函数等内容，并结合实际应种教学方式，并结合在线学习平台提供课于实际问题用进行讲解件、视频、习题等资源微积分的历史发展

1.1牛顿-莱布尼茨时期1微积分基本定理的建立微积分的早期发展2古希腊数学家对面积、体积的计算现代微积分3微积分的应用扩展到各个领域微积分在现代科学中的应

1.2用物理学工程学微积分在物理学中有着广泛的应工程学中广泛运用微积分来解决用，例如计算运动、加速度、能结构力学、流体力学、热力学等量等物理量问题经济学计算机科学经济学中使用微积分来分析市场计算机科学中使用微积分来进行供求关系、预测经济增长和制定图像处理、人工智能、机器学习经济政策等方面的研究函数的定义和基本性质

2.1定义基本性质函数是将一个集合中的元素与另一个集合中的元素一一对应的一•单调性函数在某个区间内，如果自变量增大时，函数值也种关系也就是说，对于集合X中的每一个元素x，都存在集合随之增大，则称函数在这个区间内是单调递增的；反之，如Y中的一个唯一元素y与之对应果自变量增大时，函数值随之减小，则称函数在这个区间内是单调递减的•奇偶性如果函数满足f-x=fx，则称函数为偶函数；如果函数满足f-x=-fx，则称函数为奇函数•周期性如果存在一个非零常数T，使得对于任意x，都有fx+T=fx，则称函数fx为周期函数，T为函数的周期基本初等函数

2.2幂函数指数函数形如y=x^n的函数，其中n为实数形如y=a^x的函数，其中a为大于0且不等于1的常数对数函数三角函数形如y=log_a x的函数，其中a为包括正弦函数、余弦函数、正切函数大于0且不等于1的常数等极限概念的引入

3.1趋近1变量无限接近某个特定值极限2变量接近特定值时的最终结果无穷小3变量趋近于零极限的计算方法

3.2直接代入法1当函数在自变量趋近于某一点时，函数值也趋近于一个确定的值，则该值即为该函数在该点的极限等价无穷小替换法2利用等价无穷小替换，将复杂的函数转化为简单的函数，从而更容易地求得极限洛必达法则3当函数在自变量趋近于某一点时，函数值和分母都趋近于零，则可以利用洛必达法则求极限导数概念的引入

4.1切线斜率通过观察曲线在某一点的切线斜率，我们可以了解函数在该点的变化趋势瞬时变化率导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，也就是函数值在该点附近的变化速度微分算子导数是微积分中的一个基本概念，它是用微分算子来定义的导数的性质及基本运算

4.2导数的线性性质导数的乘积法则12导数的线性性质表明，函数和的导数等于其导数的和，函数积的乘积法则用于求两个函数的积的导数该法则表明，积的导数等导数等于其导数的积于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数导数的商法则链式法则34商法则用于求两个函数的商的导数该法则表明，商的导数等于链式法则用于求复合函数的导数该法则表明，复合函数的导数分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数，然后除以分母的平方等于外函数的导数乘以内函数的导数高阶导数

4.3二阶导数三阶导数高阶导数描述函数变化率的变化趋势反映函数变化率变化的快慢程度在物理学、工程学等领域有广泛的应用不定积分概念的引入

5.1反导数1函数fx的导数为Fx=fx不定积分2所有反导数的集合积分符号3∫fxdx表示fx的不定积分基本积分公式

5.2常见积分公式常用积分公式基本积分公式是微积分中的核心概念，可以帮助我们计算各种函•∫x^n dx=x^n+1/n+1+C n≠-1数的积分这些公式可以帮助我们解决许多实际问题，例如计算•∫1/x dx=ln|x|+C面积、体积、路径长度等•∫e^x dx=e^x+C•∫sinx dx=-cosx+C•∫cosx dx=sinx+C换元积分法

5.3基本思想将积分变量替换为一个新的变量，使原积分转化为一个更简单的积分.常用方法第一类换元法，第二类换元法.应用场景适用于被积函数无法直接求积分的场合.分部积分法

5.4公式1∫u dv=uv-∫v du选择2u和dv求导3求du积分4求v定积分概念的引入

6.1面积问题1定积分最早源于求曲边图形面积的需要累积和2通过分割曲线下的区域，并用矩形近似求和极限思想3当分割越来越细时，矩形面积的和趋近于定积分牛顿莱布尼茨公式

6.2-微积分基本定理公式将导数和积分联系在一起，为计∫ab fxdx=Fb-Fa,其中算定积分提供了强有力工具Fx是fx的一个原函数应用计算面积、体积、弧长、曲面面积等几何量，以及解决物理学、经济学等领域的应用问题定积分在几何中的应用

6.3面积计算体积计算弧长计算123定积分可以用于计算平面图形的面定积分可以用于计算旋转体、曲面定积分可以用于计算平面曲线、空积，例如曲边梯形、旋转体等等几何体的体积间曲线的弧长广义积分

6.4积分上限或下限为无穷大被积函数在积分区间内有无穷间断点常微分方程的基本概念定义阶数12包含未知函数及其导数的方程微分方程中最高阶导数的阶数称为微分方程如y+y=0称为微分方程的阶数如y+2y+y=0是二阶微分方程解3满足微分方程的函数称为微分方程的解如y=Ce-x是微分方程y+y=0的解一阶微分方程的解法

7.2可分离变量法将方程整理为$fydy=gxdx$的形式，然后分别积分得到解齐次方程将方程化为$y=Fx/y$的形式，然后进行变量代换线性方程将方程化为$y+pxy=qx$的形式，然后求解积分因子伯努利方程将方程化为$y+pxy=qxy^n$的形式，然后进行变量代换高阶微分方程的解法

7.3常系数齐次线性微分方程1特征方程法非齐次线性微分方程2待定系数法，常数变易法欧拉方程3特殊形式的解法级数的概念及性质

8.1定义收敛性性质无穷多个数按一定次序排列成的序列若级数的部分和序列收敛于某个有限级数具有线性性和比较性等重要性质称为数列数列各项之和称为级数值，则称该级数收敛，否则称该级数，可用于判断级数的收敛性发散幂级数及其应用

8.2函数表示解微分方程幂级数可以表示各种函数，包括三角幂级数可以用来求解许多常微分方程函数、指数函数和对数函数的解，特别是那些非线性或奇异的微分方程曲线拟合利用幂级数可以近似地表示复杂的曲线，在工程和科学领域有着广泛的应用多元函数的基本概念

9.1定义域和值域函数图像函数的极限与连续性多元函数的定义域是一个多维空间，而值多元函数的图像是一个高维空间中的曲面多元函数的极限和连续性与单变量函数的域是一个单维空间，可以借助三维图形或等高线图进行可视概念类似，但需要考虑多维空间中的极限化概念偏导数及全微分

9.2偏导数全微分多元函数在某个变量方向上的变化率多元函数在某点附近的变化量，可以用其偏导数的线性组合来近似表示重积分及其应用

9.3求面积和体积物理应用工程应用重积分可以用来计算平面图形的面积在物理学中，重积分可以用来计算质重积分广泛应用于工程领域，例如计和立体图形的体积，为解决几何问题量、重心、惯性矩等物理量算流体流动、热传导、电磁场等提供了强大的工具总结与展望微积分是数学的重要分支，在现代科学技术各个领域发挥着不可或缺的作用本课程带领大家深入理解微积分的基本概念和应用，并为未来更深入学习打下坚实基础。