《概率论与数理统计》课件_随机过程

概率论与数理统计随机过程欢迎来到《概率论与数理统计》课程中的随机过程部分本课程将深入探讨随机过程的核心概念、应用及其在现代科学中的重要性随机过程的定义与特点时间依赖性不确定性随机过程是随时间演变的随机每次观察可能产生不同结果变量集合数学描述通过概率分布和统计特性进行刻画随机过程的分类离散时间过程连续时间过程离散状态空间连续状态空间如马尔可夫链，状态在特定如布朗运动，状态随时间连如排队系统，状态取有限或如股票价格，状态可取任意时间点变化续变化可数无限个值实数值马尔可夫过程无记忆性1条件独立性2状态转移3预测未来4马尔可夫过程是一类重要的随机过程，其未来状态仅依赖于当前状态，与过去历史无关马尔可夫过程的定义和性质时间依赖性概率转移状态随时间变化，可以是离散或连续通过转移概率矩阵描述状态间的转换时间链式结构未来状态仅依赖于当前状态，形成链式结构马尔可夫过程的状态转移方程初始状态定义系统的起始状态分布转移概率计算从一个状态到另一个状态的概率状态方程描述系统在任意时刻的状态分布吸收马尔可夫链吸收状态瞬时状态一旦进入就无法离开的状态可以从中转移到其他状态的非吸收状态吸收概率吸收时间系统最终被吸收的概率系统被吸收所需的平均时间传递概率与吸收概率传递概率吸收概率从一个状态到另一个状态的概率，可通过矩阵计算系统最终被特定吸收状态捕获的概率泊松过程定义1描述独立事件在连续时间内随机发生的过程特性2事件发生次数遵循泊松分布，相邻事件间隔时间呈指数分布应用3广泛应用于排队理论、可靠性分析和保险精算等领域泊松过程的定义及特性独立增量平稳性12不同时间区间内的事件发生次事件发生率在时间上保持恒定数相互独立无记忆性可加性34未来事件发生与过去历史无关多个独立的泊松过程的和仍是泊松过程泊松过程的参数估计最大似然估计区间估计基于观察数据估计泊松过程的强度参构建参数的置信区间，评估估计的λ数不确定性λ假设检验验证观察数据是否符合泊松过程的特性泊松过程的应用排队理论可靠性分析保险精算模拟顾客到达、服务请求等场景预测设备故障、系统维护需求评估保险索赔频率，制定保险策略布朗运动连续时间1正态增量2独立增量3无限变差4布朗运动是一种重要的连续时间随机过程，描述了粒子在流体中的不规则运动布朗运动的定义与性质数学定义统计特性尺度不变性连续样本路径、独立增量、正态分布增期望为零，方差与时间间隔成正比在不同时间尺度下，统计性质保持不变量的随机过程布朗运动的应用金融建模物理学股票价格波动、期权定价粒子扩散、热传导过程生物学细胞运动、基因漂变扩散过程连续性马尔可夫性状态空间和时间都是连续的未来状态仅依赖于当前状态局部性随机性短时间内状态变化较小状态变化包含随机成分扩散过程的定义与建模随机微分方程使用漂移项和扩散项描述状态变化方程Fokker-Planck描述概率密度函数的时间演化数值模拟使用蒙特卡罗方法模拟扩散过程扩散过程的微分方程Itô引理漂移项Itô描述随机过程函数的微分表示确定性趋势扩散项布朗运动表示随机波动驱动随机性的核心组成连续时间随机过程123定义特征例子状态随时间连续变化的随机过程样本路径连续，状态空间可以是离散布朗运动、扩散过程、连续时间马尔或连续可夫链离散时间随机过程定义特征例子状态在离散时间点变化的随机过程时间离散，状态空间可以是离散或连续马尔可夫链、时间序列模型、随机游走随机过程的信号处理滤波预测从含噪声信号中提取有用信息基于历史数据预测未来状态谱分析分析信号的频率特性随机过程的数值模拟蒙特卡罗方法随机微分方程求解12通过重复随机采样进行数值计使用等数Euler-Maruyama算值方法马尔可夫链蒙特卡罗粒子滤波34用于复杂概率分布的采样非线性、非高斯系统的状态估计随机过程的参数估计最大似然估计1矩估计法2贝叶斯估计3最小二乘法4参数估计是从观测数据中推断随机过程模型参数的关键步骤随机过程的滤波理论卡尔曼滤波线性高斯系统的最优状态估计扩展卡尔曼滤波非线性系统的近似最优估计粒子滤波非线性非高斯系统的蒙特卡罗方法随机过程的最优控制动态规划随机动态规划基于贝尔曼方程的最优策略求解考虑不确定性的最优控制方法模型预测控制强化学习基于预测模型的实时控制策略通过与环境交互学习最优策略随机过程的决策理论马尔可夫决策过程部分可观测马尔可夫决策过程博弈论考虑不确定性的顺序决策问题状态不完全可观测的决策问题多主体决策问题中的策略选择随机过程的风险管理风险度量投资组合优化、等风险指标的计算基于随机过程模型的资产配置VaR CVaR对冲策略利用随机过程理论设计风险对冲方案随机过程建模的局限性模型假设参数估计误差简化假设可能与实际情况不符有限样本导致参数估计存在不确定性计算复杂性模型验证复杂模型可能需要大量计算资难以全面验证模型在各种情况源下的有效性随机过程研究的前沿方向随机过程理论与机器学习、量子计算、高维数据分析等领域的融合正在开辟新的研究方向总结与展望60+100+年研究历史应用领域随机过程理论已有深厚积累，但仍在从物理到金融，随机过程的应用范围不断发展广泛∞未来可能性随机过程将继续在科学和工程中发挥关键作用。