单摆高二物理素养提升学案（人教版2019选择性）

高中物理选择性必修一素养提升学案第二章机械振动单摆【核心素养目标】物理观念知道什么是单摆，了解单摆的构成及单摆的回复力科学思维

1.理解单摆做简谐振动的条件，会利用图像法分析单摆的运动2,掌握单摆的周期公式，并能够进行计算科学探究经历单摆周期与摆长关系的探究过程，体会实验设计思路科学态度与责任借助单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度【知识点探究】

2.单摆模型如果细线的长度不可改变,细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆单摆是实际摆的理想化模型

3.单摆的回复力

（1）回复力的提供摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即/^=mgsin9

（2）回复力的特点在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,方向总指向平衡位置⑶运动规律单摆在偏角很小时做直谐运动思考卜在单摆做简谐运动的平衡位置时，摆球所受合外力为零吗？提示不为零体验卜1思考辨析（正确的打M错误的打x）⑴单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力（x）⑵单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

（4）⑶单摆是一个理想化的模型

（4）知识点二单摆的周期

1.影响单摆周期的因素伽利略1564—1642是一位虔诚的天主教徒，每周都坚持到教堂做礼拜1582年的一天,伽利略到教堂做礼拜礼拜开始不久，一位修理工人不经意触动了教堂中的大吊灯，使它来回摆动摆动着的大吊灯映入了伽利略的眼帘，引起他的注意伽利略聚精会神地观察着，脑海里突然闪出测量吊灯摆动时间的念头，凭着学医的经验，伽利略把右手指按到左腕的脉搏上计时，同时数着吊灯的摆动次数起初，吊灯在一个大圆弧上摆动,摆动速度较大，伽利略测算来回摆动一次的时间过了一阵子，吊灯摆动的幅度变小了，摆动速度也变慢了，此时，他又测量了来回摆动一次的时间让他大为吃惊的是，两次测量的时间是相同的于是伽利略继续测量来回摆动一次的时间，直到吊灯几乎停止摆动时才结束可是每次测量的结果都表明来回摆动一次需要相同的时间通过这些测量使伽利略发现吊灯来回摆动一次需要的时间与摆动幅度的大小无关，无论摆幅大小如何，来回摆动一次所需时间是相同的即吊灯的摆动具有等时性，这就是伽利略最初的发现问题

1.吊灯摆动的快慢与吊灯的摆动幅度有关吗？提示没关系

2.上述吊灯的摆动快慢的现象说明什么？提示吊灯的摆动具有等时性⑵单摆的周期与摆球质量、振幅无关

2.周期公式1提出周期公式由惠更斯首先提出体验12思考辨析正确的打错误的打x⑴摆球的质量越大，周期越大x⑵单摆的振幅越小，周期越小X2公式T=2^⑶单摆的摆长越长，周期越大一个理想的单摆，已知其周期为兀如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振3填空幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为［答案］2T□考点1单摆的回复力⑴判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？⑵试分析单摆的回复力由什么力提供？提示1模型

①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略模型

②不是单摆，因为绳子质量不可忽略模型

③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径模型

④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化模型

⑤是单摆⑵单摆的回复力是重力的切向分力，也是摆球沿运动方向的合力，即F=mgsin e=mgCjo

1.单摆的回复力⑴摆球受力如图所示，摆球受细线拉力和重力作用⑵向心力来源细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力⑶回复力来源摆球重力沿圆弧切线方向的分力歹=〃吆sin提供了使摆球振动的回复力

2.单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sin%又回复力b=mgsin仇所以单摆的回复力为尸=一竿双式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，/表示单摆的摆长，负号表示回复力厂与位移x的方向相反，由此知回复力符合尸=一息，单摆做简谐运动角度1单摆回复力的理解

1.关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是（）A.摆球经过平衡位置时所受合力为零B.摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比C.只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力D.摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力【答案】C【详解】A.摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；B.摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；CD.根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误故选C＞角度2单摆的运动过程分析

2.关于单摆，下列说法正确的是（）A.摆球运动的回复力是摆线的拉力与重力的合力B.摆球运动过程中经过轨迹上同一点，加速度是不等的C.摆球运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置D.摆球经过平衡位置时，加速度不为零【答案】D【详解】A.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，故A错误；B.摆球在运动过程中，经过轨迹上的同一点时，受力不变，故加速度相同，故B错误；C.摆球在运动过程中，回复力产生的加速度的方向始终指向平衡位置，而向心加速度指向悬点，合成后，方向在变化，故C错误；D.单摆过平衡位置时，由于具有向心加速度，所受的合力指向悬点，不为零，D正确故选D注意对于单摆的两点说明⑴所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡⑵回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力b=mgsin提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力

3.如图所示，点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，5点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（）A.摆球在A点和C点处，合力为零B.摆球在A点和C点处，回复力为零C摆球在8点处，回复力最大D.摆球在8点处，细线拉力最大【答案】D【详解】A.摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、处合力为重力沿圆弧切线的分力，即合力不为零，故A错误；D.根据小球的运动可知，在最低点8处小球速度最大，由可知，细线上的拉力最大，故D正确；BC.摆球的回复力Qmgsin仇其中为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、处回复力最大，在最低点3处回复力为零，故BC错误故选D

4.关于单摆做简谐运动的过程，下列说法中正确的是（）A.在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值B.在最大位移处速度最小C.在平衡位置摆球速度最大D.摆球由最大位移处向平衡位置运动时，速度变大【答案】BCD【详解】AC.在平衡位置处，摆球的势能最小，动能最大，速度最大，而位移最小，故A错误，C正确；B.在最大位移处，摆球的势能最大，动能最小，速度最小，故B正确；D.摆球由最大位移处向平衡位置运动时，势能变小，动能变大，速度变大，故D正确故选BCDo□考点2单摆周期公式的理解及应用⑴应用如图所示的装置，探究单摆周期的影响因素

（2）央视新闻2019年3月日消息:“嫦娥四号”着陆器已于今天上午（3月1日）7点52分自主唤醒，中继前返向链路建立正常，平台工况正常，目前正在进行状态设置，按计划开始第三月昼后续工作假设将一单摆随“嫦娥四号”着陆器带至月球表面，单摆在做简谐运动时其周期与在地球上相比有何变化？提示

（1）T0cs

（2）变大

1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟

2.单摆的周期公式丁=2兀

3.对周期公式的理解⑴单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立（偏角为5时，由周期公式算出的周期和精确值相差

0.01%）⑵公式中/是摆长，即悬点到摆球球心的距离1=1+r线球⑶公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定⑷周期7只与/和g有关，与摆球质量机及振幅无关所以单摆的周期也叫固有周期（2020•浙江杭州西湖高中月考）

5.摆长是1m的单摆在某地区振动周期是2s,则在同一地区C周期是1s的单摆的摆长为2mD.周期是4s的单摆的摆长为4m【答案】D【分析】根据单摆的周期公式即可求解【详解】AB.根据单摆的周期公式7=2%，代入题中数据:两式相比解得工=也，故AB错误;C.同理两式相比解得4=；m,故C错误；D.同理两式相比解得4=4m,故D正确【点睛】熟记公式及公式中的物理意义是解决此题的关键注意利用单摆周期公式计算的三个核心利用单摆的周期公式7=2兀脏进行有关计算，要把握三个核心⑴单摆的周期公式在偏角很小时成立（先5）⑵单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度，能求出摆球在不同的空间位置、物理环境（如带电小球在匀强电场、匀强磁场）中的等效重力加速度

（3）单摆的摆长

①因为实际的摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，注意摆线长是从悬点到摆线与摆球连接点的长度，不要把摆长与摆线长弄混淆

②等效摆长

6.惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟.如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟，图乙所示为摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动.在甲地走时准确的摆钟移到乙地未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是（）A.甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动B.甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动C.乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动D.乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动【答案】C【详解】由甲地到乙地摆动加快则说明周期变小，因T=2兀则重力加速度变大，要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动.ABD.由上分析可知，ABD错误；C.由上分析可知，C正确.【同步训练】（2023浙江杭州九校期中联考）

7.如图所示，以点为平衡位置，单摆在A、3两点间做简谐运动，已知摆球从A点第一次运动到8点历时

0.5s,则下列说法中正确的是（）A.摆球从A点经点运动到B点即完成一次全振动

8.单摆的摆长约为1mC.从A点向点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力也不断增大D.将单摆从地面移至山顶，摆动周期将增大【答案】D【详解】A.摆球从A点经点运动到B点，然后从B点再经过点返回A点，摆球完成一次全振动，故A错误；B.单摆周期为解得故B错误；C.从A点向点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力不断减小，故C错误；D.将单摆从地面移至山顶，由于重力加速度减小，由单摆周期公式可知，摆动周期将增大，故D正确故选Do（2023石家庄三模）

8.如图甲所示，点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，现将小球拉开一定的角度后开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过5从某时刻开始计时，绳中的拉力大小尸随时间，变化的关系如图乙所示，重力加速度g取10m/s2,忽略一切阻力下列说法正确的是（）A.，=O.brs时小球位于5点B.，=

0.4磔时小球位于C点C.OA D.OP【答案】D【详解】AB,由图像可知，

00.2万s内应该对应着摆球在C3之间的摆动；

0.2夜.6公内应该对应着摆球在BA之间的摆动，因，=

0.l〃s时摆线拉力最小,可知小球位于点,，=

0.4»s时小球位于A点，选项AB错误；C.摆球在A8之间摆动的周期为Tms根据可得Li即04之间的距离为l.6m,选项C错误；D.摆球在3C之间摆动的周期为72TCS根据可得Li即PB之间的距离为

0.4m,OP之间的距离为L2m,选项D正确故选D（2023吉林通化梅河口五中二模）

9.利用如图所示的装置进行单摆实验将小球拉离平衡位置释放，摆角小于5借助传感器可知最大拉力为巴，最小拉力为尸2,这两个数据出现的时间间隔为人当地重力加速度为g下列说法正确的是（）A.单摆的振动周期为“B.单摆摆长为工1一C.用所给数据可以表示出最大摆角的余弦值D.传感器的示数增大时，小球的势能在变大【答案】C【详解】A.由题意可得，单摆的振动周期为小，A错误；B.由周期公式可得，单摆的摆长为B错误；C.摆球重力沿切线方向的分力提供回复力，摆球在最低点时，由牛顿第二定律从最高点到最低点的过程中，由机械能守恒定律得在最高点时，摆线的拉力为联立解得，最大摆角的余弦值为C正确；D.传感器的示数增大时，由牛顿第二定律及向心力公式得小球的速度在变大，则小球的势能在变小，D错误故选Co

10.如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度U匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，若测得木板长度为L,墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g,则该单摆的等效摆长为（）的:.；A.*B.gf C.25D25g【答案】B【详解】由图乙可知，该单摆恰好摆动

2.5个周期，故满足单摆周期公式为联立解得该单摆的等效摆长为B正确

11.一物体在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的九分之一，在地球表面走时准确的摆钟，搬到此行星表面后，秒针走一圈所经历的时间是（）A.180s B.540s C.20s【答案】A【详解】ABCD.根据在星球表面万有引力等于重力可知，某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的九分之一，质量不变，所以该星球的重力加速度=根据单摆的周期公式丁=29口可知，该星球的周期是地球上周期的3倍，所9，g以此钟的秒针走一整圈所经历的时间实际上是地球上秒针走一圈的3倍即180s,故A正确，BCD错误故选Ao【课堂小结】回归本节知识，自我完成以下问题

1.单摆看成简谐运动的条件是什么？提示摆角夕很小,生sin

2.单摆的回复力是由哪个力提供？提示重力垂直于摆线的分力

3.单摆的周期由哪些因素决定？提示摆长、重力加速度

4.单摆周期的表达式是什么？提示7=2兀\月【知识拓展】教堂里的发现——单摆的等时性1564年2月15日，伟大的物理学家伽利略出生于意大利比萨城的一个没落贵族家庭他出生不久，全家就移居到佛罗伦萨近郊的一个地方在那里，伽利略的父亲万桑佐开了一个店铺，经营羊毛生意孩提时的伽利略聪明可爱，活泼矫健，好奇心极强他从不满足别人告诉的道理，喜欢亲自探索、研究和证明问题对于儿子的这些表现，万桑佐高兴极了，希望伽利略长大后从事既高雅、报酬又丰厚的医生职业，1581年，万桑佐就把伽利略送到比萨大学学医可是，伽利略对医学没有兴趣，他却把相当多的时间用于钻研古希腊的哲学著作,学习数学和自然科学。