《高数,微积分》课件

《高数微积分》课件,PPTby课程介绍课程目标课程内容帮助学生掌握高等数学和微积分的基本概念和理论，培养学生的包括实数与极限，函数与极限，导数及其应用，积分与几何，微逻辑思维能力和解决问题的能力，为后续课程的学习打下坚实基分方程等多个重要章节础实数与极限实数极限无穷小无穷大实数是数学中最重要的概念极限是用来描述函数或数列无穷小是指在趋近某个特定无穷大是指在趋近某个特定之一，它包含了所有有理数在趋近某个特定值时的变化值时，其绝对值无限接近于值时，其绝对值无限增大的和无理数趋势零的量量函数与极限函数定义1函数是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的对应关系极限概念2极限表示函数的自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个特定值极限计算3通过代入法、洛必达法则等方法计算函数的极限值导数及其应用瞬时变化率最大值和最小值12导数可以用来描述函数在某一导数可以用来找到函数的极值点的瞬时变化率，例如，速度点，从而确定函数的最大值和是位置函数的导数最小值优化问题3导数可以用来解决各种优化问题，例如，找到最优生产规模或最佳投资策略导数的几何意义切线变化率导数代表函数曲线在某一点的切线斜率导数描述了函数值随自变量变化的速率导数的运算法则和差法则积法则两个函数和差的导数等于它们各自导两个函数积的导数等于第一个函数的数的和差导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数商法则两个函数商的导数等于分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数，再除以分母的平方高阶导数与微分概念描述高阶导数函数的导数的导数，即对函数进行多次求导微分函数在自变量变化量很小时，函数值的增量近似等于自变量变化量的倍数高阶微分函数的微分再求微分，即多次求微分微分中值定理罗尔定理1如果函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且在区间端点处取值相等，那么在该区间内至少存在一点，使得函数的导数为零拉格朗日中值定理2如果函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在该区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数等于函数在区间端点处的平均变化率柯西中值定理3如果两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且导数不为零，那么在该区间内至少存在一点，使得这两个函数在该点的导数之比等于这两个函数在区间端点处的平均变化率之比函数的最值问题最大值最小值函数在某个区间内取到的最大值.函数在某个区间内取到的最小值.极值函数在某个点取得的最大值或最小值.微分中值定理应用证明不等式1利用中值定理推导出函数的范围，从而证明不等式求函数的最值2利用中值定理求函数的极值，判断函数的最大值和最小值近似计算3利用中值定理对函数进行线性近似，估计函数的值不定积分定义符号性质求导数的反运算称为不定积分一个函∫Fxdx表示Fx的不定积分，其中∫不定积分具有线性性质，即∫[aFx+数的导数为Fx的所有函数称为Fx的为积分符号，Fx为被积函数，dx为积bGx]dx=a∫Fxdx+b∫Gxdx不定积分分变量基本积分法则积分符号导数与积分积分公式∫是积分符号，代表求函数的积分积分是导数的逆运算，求导数可得到函数积分公式是求积分的关键，常用公式包括的导数，求积分可得到函数的原函数常数的积分，幂函数的积分，三角函数的积分等积分与几何积分可以用来计算各种几何形状的面积、体积、弧长等例如，可以用定积分计算曲边形的面积，可以用旋转体积公式计算旋转体的体积，可以用弧长公式计算曲线的弧长积分与几何之间的关系是密切的，积分可以帮助我们解决许多几何问题，而几何问题又可以为积分提供新的应用场景定积分及其应用面积1平面图形面积体积2旋转体体积弧长3曲线长度功4力作用下的功广义积分积分上限或下限为无穷被积函数在积分区间内12大有无穷间断点积分区间包含无穷大，例如从函数在积分区间内某个点或多1到无穷大，或从负无穷大到个点处趋于无穷大1计算方法3通过极限运算，将广义积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法常微分方程定义分类包含一个或多个自变量和一个或根据自变量、因变量的个数、导多个因变量及其导数的方程数的阶数等进行分类应用在物理、化学、生物、工程等领域广泛应用一阶常微分方程定义1包含未知函数及其一阶导数的微分方程类型2可分离变量型、齐次型、线性型等解法3通过积分求解未知函数应用4广泛应用于物理、工程、经济等领域高阶常微分方程定义1包含未知函数的高阶导数的微分方程类型2线性与非线性，齐次与非齐次求解方法3特征方程法，待定系数法高阶常微分方程是指包含未知函数及其高阶导数的微分方程，例如二阶微分方程，三阶微分方程等等求解高阶常微分方程需要掌握多种方法，包括特征方程法，待定系数法等一阶线性微分方程定义形如dy/dx+pxy=qx的微分方程称为一阶线性微分方程求解可使用积分因子法求解，首先求解积分因子μx=exp∫pxdx，然后将μx乘以原方程，再进行积分应用广泛应用于物理、化学、生物、工程等领域，例如电路分析、热传导、人口增长模型等高阶线性微分方程常系数齐次线性微分方程1特征方程解法常系数非齐次线性微分方程2待定系数法，常数变易法变系数线性微分方程3降阶法变数分离法分离变量对两边积分求解常数一阶全微分定义1当自变量的变化量趋于零时，函数的变化量与自变量的变化量的比值趋于一个确定值，则称该函数在该点可微公式2设z=fx,y在点x,y处可微，则有dz=∂f/∂x*dx+∂f/∂y*dy应用3全微分可以用来近似计算函数值的变化量，并用于求解微分方程等问题全微分的运用误差估计梯度下降函数逼近123全微分可以用来估计函数值的误差在优化问题中，全微分可以用来计利用全微分，我们可以用线性函数，从而评估测量误差对函数的影响算函数的梯度，从而指导迭代算法来近似地表示函数，从而简化计算寻找最优解偏导数与偏微分偏导数偏微分多元函数中，对一个变量求导，偏导数的微小变化量，可以用来其他变量视为常数，所得导数称描述函数在某个方向上的微小变为偏导数化重要性偏导数和偏微分是多元函数微积分的核心概念，在物理、经济等领域有着广泛应用隐函数的微分隐函数定义1当一个方程不能直接表示一个变量是另一个变量的显函数，但该方程隐含地定义了它们之间的关系，则称此方程为隐函数方程.求导方法2对隐函数方程两边同时关于自变量求导，利用链式法则，可以得到隐函数的导数.应用3隐函数的微分在求解曲线切线、曲率、极值等问题中具有重要作用.方向导数与梯度方向导数梯度方向导数表示多元函数沿某个方向的变化率它告诉我们，当我梯度是一个向量，它指向函数值增长最快的方向，其大小等于该们沿着某个特定方向移动时，函数值的变化有多快方向上的方向导数多元函数的极值驻点Hessian矩阵应用多元函数的极值点一定在驻点上，但驻Hessian矩阵可以用来判断驻点是极大多元函数的极值问题在物理学、经济学点不一定是极值点值点、极小值点还是鞍点等领域都有广泛的应用复变函数入门复变函数是指以复数为自变量，其值也是复数的函数复变函数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如流体力学、电磁学和信号处理复变函数基本性质复变函数是定义在复数域上的函数复变函数的性质与实数函数的性质有区别，但也有一些共同点复变函数可以是连续的、可微的，也可以是解析的，具有很多特殊的性质复变函数的微分与积分复变函数的微分复变函数的积分复变函数的微分是其在复平面上的变化率复变函数的积分是沿复平面上的路径计算的积分复变函数的应用物理学工程学12复变函数在电磁学、流体力学复变函数用于解决信号处理、、热力学等领域发挥着重要作控制系统、航空航天等领域的用复杂问题数学领域3复变函数在数论、微分方程、概率论等数学分支中有着广泛应用。