《高等数学教学课件汇编》数列的极限

数列的极限本课件将介绍数列的极限概念、性质和计算方法数列极限是微积分中的重要概念，它为我们理解函数的连续性、导数和积分奠定了基础by数列的概念数列是指按照一定顺序排列的一列数数列可以用通项公式来表示，通项公每个数称为数列的项，项的个数称式表示数列的第n项与项号n之间为数列的长度的关系数列可以用图形来表示，在坐标轴上将项号n与对应的项an连接起来形成一个点，所有点连接起来形成数列的图形数列的收敛与发散收敛数列发散数列12当数列的项趋于一个确定的数如果数列的项不趋于任何确定值时，我们称该数列收敛的数值，我们称该数列发散收敛性判定3我们可以通过各种方法来判断数列的收敛性，例如柯西收敛准则数列收敛的充分必要条件ε-N定义柯西收敛准则对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当nN时，不等对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m,nN时，不式|an-a|ε成立这个定义表明，当n趋于无穷大时，数等式|am-an|ε成立该准则说明，当n趋于无穷大时，列an越来越接近于a数列an的项之间的距离越来越小单调数列的收敛性单调递增数列单调递减数列如果一个数列的每一项都大于或如果一个数列的每一项都小于或等于前一项，则称该数列为单调等于前一项，则称该数列为单调递增数列递减数列收敛性单调数列收敛的充分必要条件是该数列有界数列极限的性质唯一性有界性保号性如果数列收敛，那么它的极限是唯一的如果数列收敛，那么它是有界的如果数列的极限大于0，那么从某项起，数列的各项都大于0无穷大与无穷小无穷大无穷小当一个数列的绝对值无限增大时，该数列趋于无穷大，记作当一个数列的极限为零时，该数列称为无穷小，记作limn→∞an=∞limn→∞an=0利用无穷大与无穷小判断极限无穷大1当自变量趋于某个值时，函数的值无限增大，则称该函数为无穷大无穷小2当自变量趋于某个值时，函数的值无限趋于零，则称该函数为无穷小判断极限3利用无穷大与无穷小的性质，可以判断极限是否存在，以及极限的值是多少夹逼定理定义几何意义如果对于任何一个正数ε，都存在一个正整数N，使得当nN夹逼定理的几何意义是，如果两个数列的极限相等，并且一个数时，不等式列始终介于这两个数列之间，那么这个数列的极限也等于这两个数列的极限an≤bn≤cn成立，且limn→∞an=limn→∞cn=A，则数列{bn}也收敛，且limn→∞bn=A利用夹逼定理求极限夹逼定理1如果数列{an}，{bn}，{cn}满足an≤bn≤cn，并且lim an=lim cn=A，那么lim bn=A应用2当直接求极限困难时，可以构造两个收敛于同一极限的数列，夹住目标数列，从而求出目标数列的极限举例3例如，求极限lim n→∞sin n/n，可以构造两个数列an=-1/n，cn=1/n，夹住目标数列邻域和顺序极限邻域顺序极限12在数轴上，一个点x的邻域是一个数列的极限是指当n趋指包含x的一个开区间，它可向于无穷大时，数列的项无限以是任意大小的，但必须包含接近于一个特定值，这个值被x称为数列的极限关系3邻域和顺序极限密切相关，一个数列的极限存在当且仅当该数列在极限点处有一个邻域，使得当n趋向于无穷大时，数列的项都落在该邻域内数列极限的运算加法减法乘法除法如果limn-∞an=A，如果limn-∞an=A，如果limn-∞an=A，如果limn-∞an=A，limn-∞bn=B，则limn-limn-∞bn=B，则limn-limn-∞bn=B，则limn-limn-∞bn=B，且B≠0，∞an+bn=A+B∞an-bn=A-B∞an*bn=A*B则limn-∞an/bn=A/B无穷级数的概念无穷多个数求和运算无穷级数是无穷多个数的和通过求和运算，分析级数的收敛性图形表示用图形直观地展示无穷级数的收敛过程正项无穷级数的收敛性定义比较判别法12如果正项无穷级数的各项之和若存在收敛的正项级数和发散收敛到一个有限值，则称该级的正项级数，且对于所有n，数收敛否则称该级数发散都有an≤bn，则an也收敛比值判别法根值判别法34若limn→∞an+1/an=L，则若limn→∞√nan=L，则当当L1时，级数收敛；当L1L1时，级数收敛；当L1时时，级数发散；当L=1时，判，级数发散；当L=1时，判别别法失效法失效正项级数的收敛判定法比较判别法比值判别法如果两个正项级数满足某种大小通过计算级数项的比值，可以判关系，则可以根据一个级数的收断级数的收敛性敛性判断另一个级数的收敛性根式判别法通过计算级数项的根式，可以判断级数的收敛性交错级数的收敛性莱布尼茨判别法收敛性分析如果一个交错级数满足以下条件，则该级数收敛当满足莱布尼茨判别法时，交错级数的收敛性可以使用该定理来判断•每一项的绝对值都小于或等于前一项的绝对值如果满足莱布尼茨判别法，则该级数收敛•当n趋于无穷大时，每一项的绝对值趋于0绝对收敛与条件收敛绝对收敛条件收敛级数Σan绝对收敛是指级数Σ|an|收敛级数Σan条件收敛是指级数Σan收敛，但级数Σ|an|发散幂级数的概念幂级数是形如∑n=0∞an x-x0n的幂级数的收敛域是使幂级数收敛的x无穷级数，其中an是常数，x是变值的集合收敛域可以是单个点，也量，x0是常数，称为幂级数的中心可以是开区间，闭区间，或整个实数轴幂级数的和函数是幂级数在收敛域内的极限函数和函数是连续函数，且在收敛域内可微分，可积幂级数的收敛域收敛半径端点收敛幂级数的收敛域通常是一个以原点为中心的区间收敛半径表示需要单独判断幂级数在收敛区间端点处的收敛情况该区间的一半长度幂级数的和函数收敛域解析函数性质在一个幂级数的收敛域内，该级数的和幂级数的和函数是解析函数，这意味着幂级数的和函数具有许多良好的性质，是一个函数，称为该幂级数的和函数它可以被表示为一个幂级数例如连续性、可微性和可积性泰勒级数的概念定义表示意义123泰勒级数是以函数在某一点的各阶函数fx在点x=a处的泰勒级数为用多项式函数逼近函数，为研究函导数值为系数的无穷级数数的性质提供了一种工具泰勒级数的收敛性收敛半径收敛区间泰勒级数的收敛半径决定了其收敛区在收敛半径内，泰勒级数可能收敛于域的大小某个区间，称为收敛区间收敛条件泰勒级数的收敛性需要满足一定的条件，例如函数的导数存在性泰勒级数的应用逼近函数求解微分方程用泰勒级数可以逼近许多函数，泰勒级数可以用来求解一些微分例如正弦函数、余弦函数、指数方程的解，例如常系数线性微分函数等方程数值积分物理学和工程学泰勒级数可以用来近似计算积分泰勒级数在物理学和工程学中有，例如使用牛顿-科特斯公式着广泛的应用，例如计算电磁场、振动和波的传播等函数的极限定义求极限应用当自变量x无限接近某个值c（但不等于c常见的求极限方法包括直接代入法、因函数极限是微积分学的基础概念之一，在）时，函数值fx无限接近某个常数A，则式分解法、等价无穷小代换法、洛必达法微积分、微分方程、线性代数等领域都有称常数A为函数fx当x趋近于c时的极限，则等.广泛的应用.记作limx→cfx=A.函数连续性的概念与性质定义性质若函数fx在点x0的某个邻域内有定义，且limx-x0fx=连续函数的性质包括在闭区间上的最大值和最小值定理、介值fx0，则称函数fx在点x0处连续定理、零点定理等函数间断点的分类第一类间断点第二类间断点12当自变量趋近于该点时，函数当自变量趋近于该点时，函数值有限且存在，但左右极限不值无穷大或不存在，左右极限相等，或函数值与左右极限之不存在或不相等，或左右极限一不相等都存在但函数值不存在基本初等函数的连续性幂函数指数函数对于任意实数a，幂函数y=xa对于任意实数a，指数函数y=在其定义域内都是连续的ax a0且a≠1在其定义域内都是连续的对数函数三角函数对于任意实数a，对数函数y=正弦函数、余弦函数、正切函数logax a0且a≠1在其定义、余切函数、正割函数、余割函域内都是连续的数在定义域内都是连续的复合函数、反函数的连续性复合函数反函数如果函数y=fu在点u0处连续，函数u=gx在点x0处连续如果函数y=fx在区间I上单调且连续，则它的反函数x=f-1y，且gx0=u0，则复合函数y=f[gx]在点x0处连续在对应区间fI上也连续闭区间上连续函数的性质有界性最大值最小值定理在闭区间上连续的函数一定有界在闭区间上连续的函数一定取得，即存在常数M，使得对于任意最大值和最小值，即存在x1，的x∈[a,b]，都有|fx|≤M x2∈[a,b]，使得对于任意的x∈[a,b]，都有fx1≤fx≤fx2介值定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa≠fb，那么对于任意介于fa和fb之间的数y，一定存在x0∈a,b，使得fx0=y应用举例例如，我们希望计算数列{an}={n/n+1}的极限，可以利用数列极限的性质进行求解由于数列的通项公式为n/n+1，当n趋于无穷大时，n+1也趋于无穷大，所以可以利用无穷大与无穷小的关系来判断数列的极限总结与展望本课程介绍了数列极限的基本概念、性质和应用，以及无穷级数的概念和收敛判定方法希望通过学习本课程，同学们能够掌握数列极限的基本理论，并能运用这些理论解决实际问题。