函数的单调性和最值-课件

函数的单调性和最值欢迎参加这节精品课程我们将深入探讨函数的单调性和最值，这是数学分析中的关键概念by课程概述单调性定义与性质极值与最值12我们将首先介绍函数单调性的接着探讨函数的极值和最值，基本概念和重要特征以及它们的判定方法应用与实例图像分析34通过实际例子，我们将学习如最后，我们将学习如何从函数何应用这些概念解决问题图像中判断单调性和极值函数的单调性定义单调递增单调递减如果对于定义域内的任意x1x2，都有fx1≤fx2，则函数如果对于定义域内的任意x1x2，都有fx1≥fx2，则函数fx在该区间上单调递增fx在该区间上单调递减单调函数的性质连续性一一对应在开区间上单调的函数必定连续严格单调函数在其定义域上是一一对应的可导性反函数单调函数不一定可导，但可导的单调函数其导数恒为非负或严格单调函数存在反函数，且反函数也是单调的非正单调函数的判定方法定义法直接应用单调性定义，比较函数值的大小关系导数法利用函数的一阶导数判断单调性图像法观察函数图像的变化趋势不等式法利用不等式证明函数值的大小关系单调函数的应用实例经济学化学物理学需求函数通常是单调递减的，价格越高，反应速率与温度的关系通常是单调递增的物体下落距离与时间的关系是单调递增的需求量越少函数极值的定义极大值极小值如果存在δ0，使得当0|x-x0|δ时，fx≤fx0恒成立，则称如果存在δ0，使得当0|x-x0|δ时，fx≥fx0恒成立，则称fx0为函数的极大值fx0为函数的极小值函数极大值和极小值的判定一阶导数法1在极值点处，一阶导数等于零或不存在二阶导数法2利用二阶导数的正负判断极值类型函数值比较法3直接比较函数在邻域内的值图像分析法4观察函数图像的拐点和转折极值点的求解方法求导数1计算函数的一阶导数找临界点2解一阶导数等于零的方程判断性质3确定临界点是否为极值点计算极值4代入原函数求出极值实例求函数的最大值和最小值1步骤1求导步骤2解方程计算函数fx=x³-3x²+1的一阶导数fx=3x²-6x解fx=0得到x=0和x=2步骤3计算函数值步骤4得出结论分别计算f0=1和f2=-3最大值为1，最小值为-3实例用极值判断函数的单调性2确定极值点找出函数的极值点划分区间根据极值点将定义域划分为若干区间分析导数在每个区间上分析导数的符号判断单调性根据导数符号判断函数在各区间的单调性利用导数法判断函数的单调性定理应用如果函数fx在区间I上可导，且对于任意x∈I，都有fx0，则

1.求出函数的一阶导数fx在I上单调递增

2.确定导数的符号

3.根据导数符号判断函数的单调性利用一阶导数判断函数的极值求一阶导数1计算函数的一阶导数fx找临界点2解方程fx=0或fx不存在分析导数符号3研究fx在临界点左右的符号判断极值4根据符号变化确定是否为极值点利用二阶导数判断函数的极值二阶导数测试极大值条件如果fx0=0且fx0≠0，则x0若fx00，则fx0为极大值为fx的极值点极小值条件不确定情况若fx00，则fx0为极小值若fx0=0，则需要进一步分析实例用导数法求函数的最值3求导1计算fx=x³-3x²+2x的一阶导数fx=3x²-6x+2求临界点2解fx=0得x=1或x=1/3计算函数值3求f1/3和f1的值比较结果4比较f1/

3、f1和端点值，得出最值函数图像的单调性与极值图像特征判断方法•单调递增图像从左到右上升观察图像的整体趋势和局部变化，结合切线斜率的变化，可以直观判断函数的单调性和极值•单调递减图像从左到右下降•极值点图像的拐点或尖点实例根据函数图像判断单调性和极值4单峰函数双峰函数S型函数先增后减，存在一个极大值点有两个极大值点和一个极小值点，单调性有一个拐点，单调性在拐点前后保持不变交替变化实例根据函数图像求最值5确定定义域寻找极值点12观察x轴范围，确定函数的定义域找出图像的拐点或尖点，这些可能是极值点考虑端点比较大小34检查定义域端点的函数值比较极值点和端点的函数值，确定最大值和最小值实例综合应用6问题描述解题步骤某公司利润函数为Px=100x-x²，其中x为产品数量求最大利

1.求导Px=100-2x润及对应的产品数量

2.解方程100-2x=0，得x=

503.二阶导数Px=-20，确认极大值

4.计算最大利润P50=2500总结回顾单调性极值函数值随自变量增大而增大或减小的函数在局部范围内的最大值或最小值性质导数应用图像分析利用导数判断函数的单调性和极值从函数图像直观判断单调性和极值常见问题分析单调性与连续性极值与最值单调函数不一定连续，如阶跃函极值不一定是最值，最值可能在数端点取得导数存在性二阶导数函数在极值点处的导数可能不存二阶导数为零时，可能是拐点而在，如|x|在x=0处非极值点思考题讨论单调性与反函数极值与对称性12证明如果fx严格单调，则其反函数f⁻¹x也严格单调讨论对称函数的极值点有什么特点？导数与单调性应用问题34举例一个函数的导数恒大于零，但函数不单调递增的情设计一个利用单调性和极值解决实际问题的例子况拓展知识点探索更深入的数学概念凸函数、拐点、渐近线和多元函数的极值问题这些主题将帮助你更全面地理解函数行为参考文献《高等数学》《微积分》同济大学数学系编，高等教育James Stewart著，机械工业出版社出版社《数学分析》《实变函数与泛函分析》陈纪修、於崇华、金路编，高程其襄等编，高等教育出版社等教育出版社课程评价反馈

4.892%总体满意度知识掌握率学生对课程内容和教学方法的平均评学生通过课后测试的比例，反映了学分（满分5分）习效果85%实际应用学生能够将所学知识应用到实际问题中的比例下一步建议练习题集完成课后习题，巩固所学知识应用探索尝试将单调性和极值概念应用到其他学科高级课程考虑学习更深入的数学分析课程研究项目参与与函数性质相关的数学建模项目环节QA提问讨论反馈欢迎同学们就课程内容提出疑问鼓励同学间相互交流，分享学习心得请提供对课程改进的建议和意见感谢聆听课程总结未来展望我们学习了函数的单调性和最值，掌握了判断方法和应用技巧数学是一个不断探索的过程希望本课程能激发你对数学的兴趣希望这些知识能够帮助你更好地理解和分析函数行为，继续深入学习更多精彩内容。