利用导数判断函数的单调性课件

利用导数判断函数的单调性欢迎来到这堂关于利用导数判断函数单调性的课程我们将探讨导数这一强大工具，如何帮助我们理解函数的行为让我们开始这段数学之旅吧！by概述单调性概念导数基础12我们将首先介绍函数的单调性接着，我们会深入探讨导数的，这是理解函数行为的关键定义、计算规则和几何意义判断方法3最后，我们将学习如何利用导数来判断函数的单调性什么是单调性？单调递增单调递减当x增加时，fx也增加对于任意x1x2，都有fx1≤fx2当x增加时，fx减少对于任意x1x2，都有fx1≥fx2什么是导数变化率斜率导数表示函数在某一点的瞬时变它描述了函数图像在该点切线的化率斜率极限导数是函数在某点的差商极限导数的定义fx=limh→0[fx+h-fx]/h极限过程函数差值导数定义涉及一个极限过程考虑函数在微小区间内的变化比值计算函数值变化与自变量变化的比值导数的计算规则和差法则1u±v=u±v乘法法则2uv=uv+uv除法法则3u/v=uv-uv/v²链式法则4[fgx]=fgx·gx导数的几何意义切线斜率导数表示函数图像在某点的切线斜率瞬时变化率它反映了函数在该点的瞬时变化速度函数趋势导数的正负表明了函数在该点附近的增减趋势导数与单调性的关系正导数1函数递增2负导数3函数递减4零导数5当导数为正时，函数递增；为负时，函数递减；为零时，函数可能有极值点判断单调性的步骤求导数1找临界点2确定导数符号3得出结论4通过这四个步骤，我们可以全面分析函数的单调性单调递增函数fx0x↑正导数x增加在区间内，函数的导数始终大于零当自变量x增加时fx↑fx增加函数值fx也随之增加单调递减函数fx0x↑负导数x增加在区间内，函数的导数始终小于零当自变量x增加时fx↓fx减少函数值fx随之减少利用导数判断单调性的方法求导数找临界点12计算给定函数的导数fx解方程fx=0，找出所有临界点划分区间判断符号34用临界点将定义域划分为若干在每个区间内判断fx的符号区间实例判断的单调性1fx=x²步骤结论

1.求导fx=2x fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增x=0是函数的极小值点

2.找临界点2x=0，x=

03.划分区间-∞,0和0,+∞

4.判断符号x0时fx0，x0时fx0实例判断的单调性2fx=sinx步骤结论

1.求导fx=cosx fx在-π/2,π/2上单调递增，在π/2,3π/2上单调递减，以此类推

2.找临界点cosx=0，x=π/2+nπ

3.划分区间-π/2,π/

2、π/2,3π/2等

4.判断符号在不同区间交替为正负实例判断的单调性3fx=x³-3x步骤结论

1.求导fx=3x²-3fx在-∞,-1和1,+∞上单调递增，在-1,1上单调递减x=±1是函数的极值点

2.找临界点3x²-3=0，x=±

13.划分区间-∞,-

1、-1,1和1,+∞

4.判断符号在不同区间分析fx的正负实例判断的单调性4fx=lnx步骤结论

1.求导fx=1/x fx在其定义域0,+∞上始终单调递增这与对数函数的性质一致

2.找临界点无（x≠0）

3.划分区间0,+∞

4.判断符号fx0对所有x0实例判断的单调性5fx=x/1+x步骤结论

1.求导fx=1/1+x²fx在-∞,-1和-1,+∞上都单调递增x=-1是函数的间断点

2.找临界点无（x≠-1）

3.划分区间-∞,-1和-1,+∞

4.判断符号fx0对所有x≠-1小结导数计算符号分析掌握各种函数的导数计算方法是关键准确判断导数的符号对于确定单调性至关重要区间划分合理划分区间有助于全面分析函数的单调性应用举例经济学物理学分析边际成本和边际收益函数研究运动物体的速度和加速度生物学工程学探讨种群增长率的变化优化生产流程和效率案例公司产品销量分析1问题分析某公司的产品销量函数为St=100t²-5t³，其中t表示月份分求导St=200t-15t²找临界点t=0或t≈

13.33判断析销量的变化趋势St在不同区间的符号，得出销量变化趋势案例股票收益率分析2收益率函数假设某股票的收益率函数为Rt=lnt+1，t表示持有时间（年）求导分析Rt=1/t+1，对所有t-1恒为正结论收益率随持有时间的增加而单调递增，但增速逐渐放缓案例房地产市场趋势预测3房价模型分析步骤假设某城市的平均房价（万元/平方米）可以用函数Pt=2t³-

1.求导Pt=6t²-30t+3615t²+36t+10表示，其中t表示年份（t=0代表2020年）

2.找临界点解Pt=

03.分析Pt的符号变化案例生物医学数据分析4药物浓度生长曲线分析药物在血液中浓度随时间的研究细胞群体的生长速率变化变化代谢率探讨新陈代谢率与年龄的关系案例工艺过程优化5问题定义1某化学反应的产量Y与温度T的关系为YT=-

0.1T²+8T-80求导分析2YT=-

0.2T+8，找出YT=0的点结果解释3确定最佳反应温度，使产量达到最大总结与展望知识回顾实践应用我们学习了利用导数判断函数单调性通过多个实例，我们看到了这一方法的方法在实际问题中的应用未来展望这些技能将在高等数学和应用数学中发挥重要作用问答环节互动讨论深入探讨学习交流欢迎同学们提出问题，分享对课程内容的我们将一起深入探讨导数与单调性相关的鼓励同学们相互交流，共同提高对这一主思考和见解更多话题题的理解课后作业基础练习应用题12判断函数fx=x³-3x²+2的某产品的成本函数为Cx=单调性

0.1x²+20x+100，分析边际成本的变化趋势探究题实践项目34研究函数fx=sinx+选择一个实际问题，应用所学cosx的单调性，并绘制其图知识进行建模和分析像。