定积分与微积分基本定理理课件

定积分与微积分基本定理定积分的概念定义符号意义定积分是函数在某个区间上的积分值，定积分的符号为∫abfxdx，其中a和b为定积分可以用来计算面积、体积、质量它表示的是函数曲线与x轴所围成的面积积分区间，fx为被积函数、功等物理量定积分的几何意义面积体积弧长定积分可以用来计算曲线与x轴之间的面定积分可以用来计算旋转体的体积定积分可以用来计算曲线的弧长积定积分的性质线性性质加法性质定积分运算对积分函数具有线性性质积分区间可以分割，积分值为各部分积分值之和积分上限与下限互换积分上限与下限互换，积分值变号基本积分公式常数积分幂函数积分12∫k dx=kx+C∫xn dx=xn+1/n+1+C指数函数积分对数函数积分34∫ax dx=ax/lna+C∫1/x dx=ln|x|+C换元积分法积分变量替换1将积分变量用一个新的变量替换，并同时替换积分上下限和被积函数积分变量替换2将积分变量用一个新的变量替换，并同时替换积分上下限和被积函数积分变量替换3将积分变量用一个新的变量替换，并同时替换积分上下限和被积函数分部积分法公式1∫u dv=uv-∫v du选择2确定u和dv，使∫v du更容易求解应用3用于积分涉及两个函数的乘积的情况定积分计算实例演示应用公式1例如求函数y=x^2在区间[0,1]上的定积分求解积分2运用定积分计算公式进行积分运算计算结果3得到定积分的值，即曲线下的面积定积分与微分的关系微分积分微分是求导数的过程，代表着函积分是求导数的反过程，代表着数在某一点的变化率函数在某一区间内的累积变化关系微积分基本定理表明，积分和微分是互逆操作微积分基本定理第一定理-定理内容表达式意义123如果函数fx在闭区间[a,b]上连∫[a,b]fxdx=Fb-Fa该定理建立了定积分与导数之间的续，则存在一个可导函数Fx，使联系，将求定积分问题转化为求原得Fx=fx在[a,b]上成立，且函数问题，简化了定积分的计算定积分的值等于函数Fx在区间端点处的差值微积分基本定理第二定理-定积分的计算导数的概念函数的变化率微积分基本定理的证明过程前提假设函数fx在区间[a,b]上连续构建积分函数定义积分函数Fx=∫[a,x]ft dt求导通过微分定义，计算Fx=limh-0[Fx+h-Fx]/h证得结论通过计算，最终证明Fx=fx微积分基本定理的应用工程领域物理领域经济学领域微积分基本定理在工程领域有着广泛的应在物理学中，微积分基本定理用于描述运微积分基本定理在经济学领域应用广泛，用，例如计算面积、体积、长度、力矩、动、力学、热力学等方面的物理规律，例例如计算利润最大化、成本最小化、需求惯性矩等，帮助工程师进行结构分析、设如计算速度、加速度、功、能量等函数、供给函数等，帮助经济学家分析和计和优化预测经济行为反常积分的概念无穷积分瑕积分积分区间为无穷区间，如∫a∞积分区间内存在间断点，如∫abfxdx或∫-∞b fxdxfxdx，其中fx在c∈a,b处无定义反常积分的性质线性性常数倍乘性比较定理两个反常积分的和等于它们各自的反常反常积分乘以一个常数等于反常积分的如果两个反常积分在积分区间上满足某积分之和积分值乘以该常数个条件，则它们的收敛性或发散性可以进行比较判断收敛判断准则比较判别法如果两个函数在某个区间上比值判别法如果两个函数在某个区间上根式判别法如果一个函数在某个区间上满足一定条件，则它们在该区间的收敛性满足一定条件，则它们的比值在该区间的满足一定条件，则它的根式在该区间的极相同极限存在且不为零，则它们在该区间的收限存在且小于1，则该函数在该区间上收敛性相同敛计算反常积分无穷限反常积分1瑕点反常积分2积分计算3运用求导和换元等技巧进行积分计算幂级数的概念定义收敛域性质123幂级数是形如∑n=0∞anx-x0n幂级数的收敛域是指所有使得幂级幂级数在它的收敛域内是连续函数的无穷级数，其中an是常数，x0数收敛的x值的集合，可以进行逐项微分和逐项积分是常数，x是变量幂级数的性质收敛性连续性幂级数在收敛域内是收敛的，这在收敛域内，幂级数表示的函数意味着对于收敛域内的所有x值是连续的，这意味着函数的图形，级数都会收敛到一个有限的值没有断点或跳跃可微性可积性在收敛域内，幂级数表示的函数在收敛域内，幂级数表示的函数是可微的，这意味着函数的导数是可积的，这意味着函数的积分存在且连续存在且连续幂级数的收敛域收敛域的定义收敛域的性质对于给定的幂级数，其收敛域是指所有使得该级数收敛的x值构成幂级数的收敛域是一个关于中心点对称的区间，其边界点可能收的集合收敛域可以是一个点、一个区间或者整个实数轴敛也可能发散泰勒级数的概念无限项和中心点展开收敛域泰勒级数是一种将函数展开成无限项和泰勒级数以某一点为中心，将函数展开泰勒级数并非对所有点都收敛，其收敛的形式，以无限多个项来逼近函数值成以该点为中心的无限项多项式域取决于函数的特性泰勒级数的应用逼近函数求解微分方程计算积分泰勒级数可以用来逼近许多常见的函数泰勒级数可以用来求解某些类型的微分泰勒级数可以用来计算一些难以直接计，例如三角函数、指数函数和对数函数方程，特别是那些无法用其他方法求解算的积分这在概率论、统计学和金融这些逼近可以用于数值计算、图形绘的方程这在物理、化学和生物学等领数学等领域中很有用制和解决各种科学和工程问题域中非常有用泰勒级数的构造麦克劳林公式1n阶麦克劳林公式将函数在x=0处展开泰勒级数2将麦克劳林公式推广到任意点x=a收敛性3泰勒级数不一定收敛，收敛条件需满足极限的计算直接代入1对于一些简单的函数，可以直接将极限值代入函数表达式，得到极限值因子分解2对于含有因子的函数，可以先进行因子分解，然后化简表达式再代入极限值等价无穷小替换3对于含有无穷小的函数，可以使用等价无穷小替换来简化表达式，然后计算极限洛必达法则4当函数的极限形式为0/0或∞/∞时，可以使用洛必达法则来计算极限连续与间断的概念连续函数间断函数在定义域内,函数图像连续不间断,称为连续函数函数图像在某点出现跳跃或断裂,称为间断函数连续函数的性质介值定理最大值最小值定理若函数在闭区间上连续，则在该区间内取到任意介于函数端点值若函数在闭区间上连续，则在该区间内必取得最大值和最小值之间的值微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且续，在开区间a,b内可导，则fa=fb，则存在一点ξ∈a,存在一点ξ∈a,b，使得fξ=b，使得fξ=0fb-fa/b-a柯西中值定理如果函数fx和gx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且gx≠0，则存在一点ξ∈a,b，使得fb-fa/gb-ga=fξ/gξ罗尔定理条件结论12函数fx在闭区间[a,b]上连至少存在一点c∈a,b，使续，在开区间a,b内可导，得fc=0且fa=fb意义3罗尔定理说明，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点取值相同，那么函数在该区间内至少存在一个导数为零的点拉格朗日中值定理函数连续函数可微在闭区间[a,b]上连续在开区间a,b上可微结论存在一点c∈a,b，使得fc=fb-fa/b-a.柯西定理函数连续性可导性两个函数在闭区间上连续两个函数在开区间上可导总结与习题回顾习题练习12本节课回顾了定积分与微积分通过练习，巩固所学知识，并基本定理，并介绍了反常积分提高解决实际问题的能力和幂级数的理论和应用思考3微积分基本定理揭示了微分与积分之间的深层联系，对数学的发展和应用具有重要意义。