最优化方法测验及答案套

min/x=x；+x；-2x一x s.t.12x Q]x02则其对偶规划为

4.求解无约束最优化问题min设V是不满足最优性条件的第k步迭代点，贝51用最速下降法求解时，搜索方向d用Newton法求解时，搜索方向/=用共朝梯度法求解时，搜索方向小二二.（10分）简答题试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点（200字左右）三.（25分）计算题

3.（10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解min/（x）=-6xx-x-1）.

1224.（15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束问题nmin f（x）=，x;i=\s.t.c（x）=Z x,一〃二0i=l证明题（共33分）

1.10分设f（x）=_L/Gx+/x+5是正定二次函数，证明一维问题的最优步长为处dkTGdkminpd=f{xk+adk

2.（23分）考虑如下规划问题min fM.x RnGs.t.%0N=1,2,・・•，加GIf其中/X,C.xf=1,…,〃是凸函数，证明z17分上述规划为凸规划；28分上述规划的最优解集”为凸集;38分设/x,c,xi=1,2,…有连续的一阶偏导数，若一是KT点，则,是上述凸规划问题的全局解《最优化方法》试题

3、填空题的一阶充要条件是,当『2时，该充要条件的几何意义

1.设/%是凸集SuH”上的一阶可微函数，则/对是S上的凸函数；

2.设/x是凸集我〃上的二阶可微函数，则fx是我〃上的严格凸函数填当或当且仅当对任意X£R”,v2/x是矩阵;min z=x+-xx-2x-3x{1212,则在点元=2泞处的

3.已知规划问题--%2——266S.t.一%—5-5Xj,x0X22可行方向集为,下降方向集为o

二、选择题min f=玉-22+xr

1.给定问题卜-玉+石40,则下列各点属于K-T点的是Xj-x02J生0A0,0/B1,1/D22]22A/x=x；+-10%+5B2XX XX

222.下列函数中属于严格凸函数的是/x=x；-E x02C/x=2x；+xx+x；+D-6X X{2{3fx=3x+4-6X X23

三、求下列问题min fx=一石H—%；—5玉—10x s.t.2x-303X2l2X]+204X2x x0p2取初始点Of，

四、考虑约束优化问题mins.t.3%+413X2用两种惩罚函数法求解五.用牛顿法求解二次函数f工々—X—X1—%2+%32+—%+%2+32+X]+%

32、的极小值初始点/=

六、证明题

1.对无约束凸规划问题min/x=LTQx+/x,设从点五尺〃出发，沿方向dwR〃作最优一维搜索，得到步长T和新的点歹=冠，试证当/Qd=l时，V=2[/x-/y]o「，、min fx]=x+2x+3x,,,一，]

92.设x*=x*,%*,石尸＞0是非线性规划问题,43的最优123s.t.x+x；+x；=10解，试证1*也是非线性规划问题1nml+#+的最优解，其中s.t.玉+2+3=fX X23《最优化方法》试题4是非题

1.若某集合是凸集，则该集合中任意两点的所有正线性组合均属于此集合

2.设函数/x eC,若可1*=0,并且力/%*半正定，则2是min/%的局部最优解

3.设％*是min/x的局部最优解，则在％*处的下降方向一定不是可行方向

4.设％*是min/%的局部最优解，则％*是min/%的T点

5.设函数/xeC2,则用最速下降法求解min/1时，在迭代点一处的搜索方向一定是/%在/处的下降方向

6.用外点法求解约束优化问题时，要求初始点是不可行点1-2z/lk1111-2,TO

二、在区间上用黄金分割法求函数“x=f_%+2的极小点,求出初始的两个试点及保留区间O

三、验证点匕姮,与0尸31是否是规划问题22min/x=x；+々s.t.X；+x；W9—Xj—x7+1N0的KT点对KT点写出相应的Lagrange乘子

四、用外点法求解min fx=%-12+x；s.t.x12五.用共朝梯度法求解无约束优化问题min2x；+2%2x2XJX+—3+取初始点七=0,0尸，精度为10-3

六、证明题

1.设集合SuR〃是凸集，X,力⑴是S上的凸函数，令/%=max{/；%,人九}xeS证明/x也是S上的凸函数、

2.设X/=0,j=l,xwX,,记j=\VJ、r儿/x=z{1•,m}I Yjaijxj=bi pGJx={j{1,,n\\Xj=o,G证明p是乙在x处的可行方向的充要条件是，，is Pjj ej=iZ%Pj2/x；2Jx o《最优化方法》试题5

二、填空题

1.设Q为n阶对称正定矩阵，为行满秩矩阵，则问题min/x=g/Qx的T点为；s.t.Ax=b

2.min/x=%-2六+%-2%22的平稳点为，该平稳点填是或不是局部最优解；min fx

3.设戈是问题s.t.Axb的可行解，则在戈处有A4=4，4£〃2,其中4=可，用了力=,WY，则dwo是左的下降方向的充要条件为,dwO是2的可行方向的充要条件为o二.运用

0.618法求min/x=x2一%+2在区间［-1,3］上的极小点要求最终区间长度不大于原区间长度的

0.08倍计算结果精确到

0.001

三、用最速下降法求解无约束问题min/⑴=32-22+40-32,取初4台点x⑴=4,3,

四、证明题

1.用牛顿法求函数/x=!/A+ZT+A为对称正定矩阵的极小值X XC只需一次迭代;

2.罚函数内点法定义惩罚函数G@/=/x+由x,其中3%0设〃+i〃k=l,产生序列[”},证明1Gxk+i\r Gxk\r;k+l k2Bxk+iBxk;3/^+,/^.•p2min j=x,+x2

五、求约束问题[x；+x；_9=o的Kuhn—Tucker点s.tAXj+々-1—0六.设连续可微，考虑约束问题片:min/⑴，其中xeDD=[x\Ax=b,xQ]o设xe，y*是问题与miy守%尸丁一%的最优解求1什么条件下工是问题6的K-T点；2什么条件下d=y*-x为1处的可行下降方向.

七、某银行有投资资金与,投资于A,B两个项目，计划5年为一个周期A,B两个项目的资金回收率分别为a,b0«l,0Zl设第i年z=1,2,…，4底o根据现有投资资金当对A,B两个项目的投资额做出决策，以B投资于A项目，一年中可产生经济效益gy,,余额王-y投资于B项目，一年可产生经济效益/天-％,其中g,h为两个单调非减函数显然不投资则效益为

0.问每年底作何投资决策,可使在第5年底的总效益最大？试合理选择问题的特征量，建立特征量之间的定量关系，写出数学模型。