如何求二面角 综合法求二面角

如何求二面角综合法求二面角综合法求二面角

一、基本知识二面角图形的识别与思考途径找二面角的棱；找二面角的两个半平面；观察是否有直线半平面；观察是否有平面半平面；观察是否有直线棱立体

1.

①②③几何中，几种常用的平面图形的计算⊥

④⊥

⑤⊥.

2.矩形中的垂直；中，斜边上的高的计算；中，直角边上一点向斜边引垂线，垂线段的计算

①421

②rtΔ

③rtΔ若＝，则在内的射影是的平分线；.

二、求直线与平面所成的角、求二面角的三种基本模式

3.∠poa∠pob poα∠aob模式一夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面题（、湖北、理）如图，四棱锥－的底面是正方形，平面，＝，

1..＝，点是上一点，且＝（＜）（）求证对任意的（，，都有109s abcd sd⊥abcdsd2a；（）设二面角－－的大小为，直线与平面所成的角为若ad√2a esd deλa0λ≤

2.1λ∈02]＝，求的值ac⊥be2c aedθbe abcdΦ.解（），，所以平面，又在平面内，（图）；【二tanθ·tanΦ1λ.面角的识图找二面角的棱；找二面角的两个半平面；找图形特征（二面角的1ac⊥bd ac⊥sd ac⊥sbd besbd∴ac⊥be1三种模式特征）】

①②③【斜线与平面所成的角的识图找斜线；找垂线；找射影】（）图【夹在二面角－－的直线半平面】

①②③作于，由三垂线定理知，所以＝，在中，＝22c aed cd⊥adedh⊥ae hch⊥ae∠chdθrtΔade dh＝de·daaeλa2aλa+2a22＝22·λa，＝＝tanθcd dh2aλ+22＝2·λaλ+2λ

2.λa2aλ+2又＝，则＝＝＝2∠ebdΦtanΦde bdλ由2＝，有.tanθ·tanΦ1λ+2λ2·λ＝2解得＝

1.评注本题把平面的斜线与平面所成的角、二面λ√

2.角融合为一道题，结合、湖北考题，可以估测湖北考

①“”“题方向及武汉市、月模拟考题方向；解答这类问题，首先要认识图形，掌握平”08面的斜线与平面所成的角、二面角的识图方法；本题的图形模式是最简单的，24

②“”“”

③平面的斜线与平面所成的角中，有一条直线平面；二面角的图形中，夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面“”⊥

④“”模式二夹在二面角内的一条直线垂直于棱.题（、全国Ⅰ）四棱锥－中，底面为矩形，侧面底面，＝

2..，＝，＝（）求证；（）设侧面为等边三角形，求二面角－208a bcde bcde abc⊥bcde bc－的大小2cd√2ab ac.1ad⊥ce2abc c ad（）证明作于，e.则底面所以是在底面上的射影易证，由三垂线定理1ah⊥bc h（）【所求二面角－－的棱是；两个半平面分别是、；ah⊥bcde.dh ad bcde.ce⊥dh图形特征是夹在二面角－－内的一条直线棱】ad⊥ce.2

①c ad e ad

②cad ead

③解作于，，面所以，，是二面角－－cade ce⊥ad的平面角【找、作、证算】cf⊥ad f∵ad⊥ce∴ad⊥efc.ef⊥ad cf⊥ad∴∠efc cade→＝＝，得＝，得＝；由此为，＝；.＝

①ah dh√3ad√6ae√6

②△acd rt△∴cf·ad ac·dc

③sade12＝从而求出、12在中，用余弦定理，求de·a2ad·ef.ef cf.评注夹在二面角－－内的一条直线垂直于棱，是作二面角的平面角的

④△efc∠efc.依托；空间图形的分解，是基本功；

①e ad c ce模式三夹在二面角内的一个平面其中的一个半平面题（、湖南、理）四

②棱锥－的底面是边长为的菱形，＝，是的中点，底面

3.⊥.30817，＝（p abcd1∠bcd600e cdpa⊥）abcd pa

2.1求证平面平面；（）求平面和平面所成锐二面角的大小（）证明【证明经过的一条垂线】pbe⊥pab2pad pbe.1，，所以又，所以面又在平面内，平面αβ平面；be⊥cd cd∥ab be⊥ab.be⊥pa be⊥pab.be pbe∴（）解【无棱二面角－】pbe⊥pab设与交于，2pad pbebead f由（）知面二面角－－的一个半平面作于，则1pab⊥a pf b pbf.作于，则面是二面角－－的平面角在中，ag⊥pb gpf⊥ag.＝，＝gh⊥pf hpf⊥ahg.∴∠ahg a pfb.rt△agh ah2ag25，所5以＝＝评注无棱二面角的棱的作法，有两条依据；凭借夹在二面角－－内的一sin∠ahg agah.个平面其中的一个半平面，作出二面角的平面角；如果在图形中，出现

①②“apfb三条直线两两垂直，可考虑向量法pab⊥pbf”

③高考试题巩固练习“”.（、陕西、文）三棱锥被平行于底面的平面截得的几何体如图所示，截面为，＝，平面，＝，＝＝＝，为的中

1.0819abc点（a1b1c1∠bac900a1a⊥abc a1a√3ab ac2a1c12dbc）求.1证平面平面；（）证明，，所以a1ad⊥bcc1b1面又在平面内，所以平面平面；1bc⊥ad bc⊥a1a（）求二面角－－的大小bc⊥a1ad.∵bc bcc1b1a1ad⊥bcc1b1【找二面角－－的棱；找半平面；找图形特点】2a cc1b【存在一个半平面与二面角的半平面－－垂直】

①a cc1b

②③解过作于，连abc a cc1a1面，在平面內，a ae⊥cc1e be又，是二面角－－的平面角在中，∵ba⊥cc1a1a cc1cc1a1a∴ba⊥c1ccc1⊥ae∴cc1⊥be⇒∠aeb acc1b rtΔabe tan∠aeb=abae==3所以二面角－－的平面角为acc1b3（、全国）如图，直三棱柱－中，，分别为、的中.点，平面（）求证＝；（）设二面角－－为，求与平面

2.092abc a1b1c1ab⊥ac deaa1b1c所成的角的大小de⊥bcc

1.1ab ac2a bd c60°b1c解（）连结，－为直三棱柱，＝为的中点，＝bcd.（矩形的对角线相等）1be∵abc a1b1c1∴∠b1bc

90.∵eb1c∴be又平面，＝（射影相等的两条斜线段相等）而平面，ce.＝（相等的斜线段的射影相等）de⊥bcc1∴bd cd.da⊥abc（）求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可∴ab ac.作于，连，则，为二面角－－的平面角＝不2b1c bcdb1bcd.妨设＝，则＝，＝在中，由＝，易得＝ag⊥bd g gc gc⊥bd∠agc abdc.∠agc

600.设点到面的距离为，与平面所成的角为由，ac23ag2gc

4.rt△abd ad·ab bd·ag ad√

6.b1bdc h b1c bcdα.vd-b1bc=vb1-bdc∴13＝，可求得13s∆b1bc·de s∆bdc·h＝，＝h所以＝=bc2√6∴b1c4√

3.＝＝＝sinαhb1c（、重庆）如图，在四棱锥中，且；平面平面，4√31/

2.α

30.，；为

3.09s-abcd ad∥bc ad⊥cd csd⊥abcd的中点，cs⊥ds cs=2ad=2e bsce=（）点到平面的距离；as=解（）【点到平面的距离点到平面的距离】1a bcs在1a bcs=d bcs=dsrt∆中，ads ds=点到平面的距离=【（）二面角的大小】=∴a bcs（）过作，交于点，又过点作，交于，故2e-cd-a为2e eg⊥cd cdgggh⊥cd abh∠二面角的平面角，记为，过点作，交于点，连结，因平面e-cd-aθe ef//bc csf gf平面，，易知，故πabcd⊥csd gh⊥cd gh⊥gfθ=-∠egf.由于为边中点为的中点2e bs⇒f cs⇒ef=1cd===effg，⇒gf=π在3中，的大小为rt∆feg tanegf=θ=π可得，故所求二面角6=∠egf=（、湖北、文）四棱锥－的底面是正方形，底面，点在棱上（）求证平面平面；（）当＝，且为的中点时，求与平面409p abcpd⊥abcd epb.1aec⊥pdb2pd√2ab epb ae所成的角的大小解（）四边形是正方形，，底面，，平面，平面平面；pdb.1∵abcd∴ac⊥bd∵pd⊥abcd（）设，连接，由（Ⅰ）知平面于，为与平面所∴pd⊥ac∴ac⊥pdb∴aec⊥pdb的角2ac∩bd=o oeac⊥pdb o∴∠aeo ae pdb，分别为、的中点，，＝∵o edb pb∴oe//pd oe12又面，底面，，在中，＝＝pd1∵pd⊥abcd∴oe⊥abcd oe⊥ao rt△aoe oepd＝，＝2abao∴∠aoe450即与平面所成的角的大小为aepdb450（、安徽）如图，四棱锥－的底面是菱形，其对角线，.

5.09f abcd abcd ac=2，、都与平面垂直，，bd=（）求二面角－－的大小；解（）连接、交于菱形的中心，过作ae cf abcd ae=1cf=2，为垂足连接、由，得平面，故1b af d iac bdo oog⊥af g.bg dg.bd⊥ac bd⊥cf bd⊥acf bd⊥af.2于是平面，所以，，为二面角－－的平面角由2，，得af⊥bgd bg⊥af dg⊥af∠bgd bafd.fc⊥ac fc=ac=2∠fac=π，4og=2由，ob⊥og ob=od=，得2∠bgd=2∠bgo=π2【（）求四棱锥－与四棱锥－公共部分的体积】解连、、，设直线与直线相交于点，则四棱锥与四棱锥2e abcd f abcd.的公共部分为四棱锥－过作平面，为垂足因为平面eb eced afce he-abcdf-，平面，，所以平面平面，从而，由abcd habcd.h hp⊥abcd p.ea⊥abcd fc⊥abcd acfe⊥abcd p∈ac hp⊥ac.，hpcf==apachpaehpcf，两式相加pcachp=apac+pcac=1⇒+得ae23hp=.12又因为菱形ac⋅bd=故四棱锥s abcd=的体积h-abcdv=菱形13s abcd⋅hp=9在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，、、分别是棱、、的中点（）证明直线平面；

6.abcd-a1b1c1d1abcd ab//cdab=4bc=cd=2解（）在直四棱柱中，取的中点，连接，，，因aa1=2e e1f ad aa1ab1ee1//fcc1为，，且，1abcd-a1b1c1d1a1b1f1a1dc1f1cf1所以，为平行四边形，所以，ab=4cd=2ab//cd//又因为、分别是棱、的中点，所以，所以，又因为cd=a1f1a1f1cd cf1//a1d平面，平面，所以直线平面【（）求二面角的余e e1adaa1ee1//a1d cf1//ee1弦值】ee1⊄fcc1cf1⊂fcc1ee1//fcc

1.2b-fc1-c（）因为，，是棱的中点，所以，为正三角形取的中点，则，又因为直四棱柱中，平面，所以2ab=4bc=cd=2fabbf=bc=cf△bcf cf，所以平面，过在平面内作，垂足为，连接，则o ob⊥cf abcd-a1b1c1d1cc1⊥abcd为二面角的一个平面角，在为正三角形中cc1⊥bo ob⊥cc1f occ1f op⊥c1f pbp，∠opb b-fc1-c△bcfob=opcc1在中，，ofc1frt△cc1f△opf∽△cc1f∵=∴op=2=2在中，rt△opfbp===，2cos∠opb=opbp，所以==二面角72b-fc1-c7。