平凡群的定义【基本群的定义】

平凡群的定义【基本群的定义】基本群的定义将基点为的圈同伦类构成的集合记为于（，），则其乘积定义为x0∈xπ1π1x x0（，）在乘法运算下构成一个群，此群的单位元是点[α]d[β]=[α∗β]x x0“d”x0若和属（，）⎣由上一节最后的引理，此乘积有很好的定义，即它与代表元的选取无关[α][β]x x0定理的常值圈所属的同伦类群π1，称为拓扑空间⎡cx在点的基本群或第一同伦⎤⎦x证明x0为了证明该定理，我们需要验证乘法满足群的所有公理在这里，我仅仅讨论结合律即或者说“d”因此我们只需要证明注意到（）（）（）（）[α]d[β]d[γ]=[α]d[β]d[γ]（）（）⎡⎣α∗β∗γ⎤⎦=⎡⎣α∗β∗γ⎤⎦（），（）（），（）（），（），α∗β∗γ≈α∗β∗γ，⎧α4t t∈

[04]⎧α∗β2t t∈

[0]⎪=−∈β4t1tα∗β∗γt=⎨[⎨]⎩γ2t−1t∈[以及1]⎪−∈γ2t1t

[1]⎩（），（），（），（）（），，⎧α2t t∈

[0]⎧α2t t∈

[02]⎪=α∗β∗γ=⎨−∈ttβ42[⎨24]⎩β∗γ2t−1t∈[2现在1]⎪−∈ttγ43

[1]⎩当从（）和（）之间的伦移函数可以用图画出来sα∗β∗γα∗β∗γh1变为时，圈（）变为了圈（）如果假定这种改变是线性的话，即将点（，）与（，）；（，）与（，）用直线相连接，那么通过几何关系01α∗β∗γα∗β∗γ我们可以得到（，）的表t=4s=0t=2s=1t=2s=0t=4s=1达式h t s，⎧⎛4t⎞⎡1+s⎤⎪α⎜1+s⎟t∈⎢04⎥⎠⎣⎦⎪⎝，（，）（）⎪⎡1+s2+s⎤h ts=⎨β4t−1−s t∈⎢⎥4⎦⎣4⎪，⎪⎛4t−2−s⎞⎡2+s⎤1⎥⎪γ⎜⎟t∈⎢⎦⎣4⎩⎝2−s⎠βγx0x0图s1根据这个定理，很显然，t（，）依赖于所选择的圈的基点如果相π1（，）与x x0x0对于不同的基点，基本群不相同，这对于我们来说是一个灾难幸运的是，对于道路x x0连通的的拓扑空间，相对于任何两个不同的基点和，（，）是同构的x x0x1π1定理若是道路连通的拓扑空间，，，则群（，）与（，）是同构π1x x1的x x0x1∈xπ1x x0π1x x1图证明设、是基点为的圈，、是基点为的圈，是从到2α0β0x0α1β1x1γx0的一条道路从图中可以看出，利用道路和，我们可以将基点在的圈变为一个基点为的圈，反过来，也可以将基点为的圈变为基点为x1γγ−1x0的一个圈因此，我们可以定义下面的同态映射α0x1x1α1（，）（，）x0σrπ1x x0→π1x x1[α0]6⎡⎣γ−1以及∗α0∗γ⎤⎦（，）（，）σrπ1x x1→π1x x0−1[α1]6⎡⎣γ∗α0∗γ⎤⎦首先我们证明是群同态，即保持群的乘法运算−1σr（）（）−1σr[α0]d[α1]=σr[α0∗α1]=⎡γ⎣∗α0∗α1∗γ⎤⎦−1=⎡γ⎣∗α0⎤⎦d[α1∗γ]−1−1⎤⎡⎤=⎡∗∗γαγγd0⎦⎣⎣⎦d[α1∗γ]−1−1（）（）⎤⎡=⎡∗∗γαγγd0⎣⎦⎣∗α1∗γ⎤⎦接下来我们还需要证明是群同构，也就是说=σr[α0]dσr[α1]（）σrσrdσr[α0]=[α0]andσrdσr−1（）−1[α]=[α]1这是很直接的，譬如1（）σrdσr[α0]=σr−1（−1）−1⎡γ⎣∗α0∗γ⎤⎦−1−1⎤γγαγγ=⎡∗∗∗∗0⎣⎦−1−1⎤⎡⎤dd=⎡∗∗γγαγγ[]0⎣⎦⎣⎦类似的，也可证明等二个等式=⎡⎣cx0⎤⎦d[α0]d⎡⎣cx0⎤⎦=[α0]该定理说明对道路连通空间，基本群与基点选择无关（在抽象群的意义上讲）因此，我们就可以将（，）简写为（），并称它为道路连通空间π1的基本群那么对于不同的空间，基本群是否存在联系呢或者说，我们基x x0π1x本群是否是拓扑不变量呢x定理若和是两个有相同伦型的道路连通的拓扑空间，则（，）与（，）同构，其中，x y由于两个同胚的空间必定有相同的伦型，故有下面的推论π1x x0π1y y0x0∈x y0∈y推论若和是同胚的道路连通的拓扑空间，则（，）与（，）同构，其中，x yπ1x x0推论若是道路连通拓扑空间，是的形变收缩核，则π1y y0x0∈x y0∈y（，）与（，）同构（）x a x这一推论的用处是很明显的若我们可证明是的一个形变收缩，而且我们知道π1x aπ1a aa∈a如何计算其中一个空间的基本群，那么，也就同时确定了另一个空间的基本群ax例如，如果拓扑空间中只有一个点，那么基点为的圈就只有一个，即，因此x x x cx（）就只有一个元素，即恒等元所以一个点的基本群是平庸π1的由此我们得到任何一个可缩空间的基本群都是平庸的，特别是{x}（）如果一个道路连通拓扑空间的基本群是平庸的，我们将其称为单连通的，否则称它是多连通的所以可缩空间必然是单连通的；反过来，单连通的π1en={1}空间却未必是可收缩的，譬如再比如，单孔平面se2与单位圆有相同的伦型，而由这一章引言中2关于圈的讨论，我们预期−{0}s1（）与整数加法群是同构的，因此π1s1（）2（）就应该与（）同构这里，我将通过图形说明（）是一个非π1e2−{0}≈z群从图中我e−{p}−{q}π8πe−{p}−{q}类似的，双孔平面的基本群able3π121们可以推断出，圈不能连续地变形为，即1αβ另一方面，利用圈我们却可以将圈从变为一个与同伦的圈，即因此αγαβγ−1∗α∗γ≈β[γ]d[α]d[γ]≠[α]or[α]d[γ]≠[γ]d[α]即−1（）是非的π12e−{p}−{q}able图到目前为止，我们还没有讨论如何确定给定空间的基本群下一节，我们将首先引入3一个称为多面体的特殊拓扑空间，而后不加证明地给出计算多面体基本群的定理或步骤简单地说，多面体可看作某个欧氏空间的一个子空间，它是通过将一些称为单形的基本空间粘合而得到的单形是维三角形到维的p sp2推广是一个三角形，是一个四面体，等等如果单形以这样的方式粘合使得p两个单形要么不相交，要么交于一个公共顶点或边，就得到了多面体下面我们用精s2s3确的语言对其描述附录道路同伦这里有必要交待一下道路乘积以及道路同伦的概念设是中从到的道路，而是从到的道路，即的终点是的起点（对于这样两条道路，我们可以αx x0x1定义它们的乘积路βx1x2αβα，（）（））γ为一条到的道1=β0（）（）（）=α∗βx0x2（），⎧⎪α2t t∈

[2]γt=α∗βt=⎨而对于从⎪⎩β2t−1t∈

[21]到的两条道路和，如果存在一个连续映射x0x1α，使得对中每一个，都有α′（，）（），，）（）（h i×i→x is t（，），（，）h t0=αt ht1=α′t则称与同伦，记为h0s=x0h1s=x1，并称是与间的伦移αα′α类似于圈的情形，我们也可以将从到的所有道路划分为一些同伦类，并在从≈α′hαα′到的道路同伦类与从到的道路同伦类之间定义一种乘法运算x0x1x0x1x1x2因此，圈同伦可以看作道路同伦的特殊情形你可以证明下面一个很有用的结论（留[α]d[β]=[α∗β]做习题）如果是从到的一条道路，那么γx0x1γdγ−1≈cxandγ−1dγ≈cx附录若和是有相同伦型的道路连通拓扑空间，则其基本群同构1引理设中x y是两个映射（，）间的伦移，其f（）；是中从到的一条道路那么这里x×i→y fi x→y i=01（，）（，）（，）fix0=yiγy y0y1σrdf0∗=f1∗（）（，）fi∗π1x x0→π1y yii=01（，）（，）[α]6⎡⎣fiα⎤⎦[α]∈π1x x0σγπ1y y0→π1y y1⎡γ[β]6⎣（，）−1证明由于我们感兴趣的是因此，我们考虑下面的映射它由⎤[β]∈π1y y0∗β∗γ⎦定义，其中对于固定的，α对圈同伦类的作用，而映射和是同伦的，s g（，）（（），）fi∗f0f1g i×i→y（）表示中基点为的圈这个映射可以用图来表示g ts=fαt stxx0（）y1f1αy1γγs（，）是中基点为（）的圈，不妨记为（），因此，f0αy0这个映射沿着道路将圈从ts yγs gs tγγ（）连续地变为圈（）现在如果令（）表示（）到（）的道路，它就可以表示f0αf1αγs t（）（（））s y1=γ1（）（）（）（）γs t=γ1−st+swithγs0=γs andγs1=γ1=y1因此就是中基点为为的圈当从变为时，中基点为−1就连续地变为基点为γs∗gs∗γsyy1s01y（）的圈（）γ0=y0γ0−1∗g0∗γ0=γ−1∗f0α∗γ（），所以我们得到结论（）的圈−1因此∗f1α∗cy1γ1=y1γ1−1∗g1∗γ1=cy1（）（）（）−1γ−1∗f0α∗γ≈cy∗f1α∗cy≈f1α11（）（）（）−1∗即⎡⎤σγdf0∗[α]=σγ⎡fαγfαγfαf⎤=∗∗=⎡⎤=0⎣0⎦⎣⎦1[α]⎦⎣1σγdf0∗=f1∗现在由于##和有相同的伦型，因此我们有连续映射和，并且x yf x→y由引理得到g y→x（）fdg≈idyandgdf≈idxσγdid=fdg=f∗dg∗∗y∗由于是一个同构，并且显然也是同构，所以上式意味着构同样可证明∗σγidy g也是同∗为同构这样我们就证明了和的基本群是同构的f∗dg∗df∗x y。